Результаты, полученные нами при изучении блефа, находятся в полном согласии с заключениями из п. 17.10.2. Мы видим, что для этого варианта покера единственная оптимальная стратегия не всегда будет перманентно оптимальной; следовательно, в этом случае не существует перманентно оптимальной]стратегии. (См. начало п. 17.10.2, в частности доказательство на стр. 186.) Блеф оказывается защитной мерой в том смысле, как это обсуждалось во второй половине п. 17.10.2.

19.10.4. В-третьих, рассмотрим, наконец, отмеченные выше наступательные шаги, т. е. отклонения от оптимальной стратегии, с помощью которых игрок может извлечь пользу из отклонений противника от корректного блефа.

Поменяем игроков ролями. Пусть игрок 1 блефует некорректно, т. е. использует вероятности р), отличающиеся от указанных на рис. 24. Поскольку рассматривается некорректный блеф, мы пока предположим, что

pi = 0 для всех з,

2 А Г ДЛЯ ВСеХ Z > Т-

Pi = o J а

Теперь нас интересуют только последствия неравенств

(19:23) р* % для некоторого z = z0 < -у-*).

Левая часть равенства (19:15) из п. 19.8 остается пока в силе как выражение для 1 - Yf - Рассмотрим теперь некоторое z <я0. Тогда знак в (19:23) не влияет на

jpfidz4, о

но он увеличивает (уменьшает)

j Pi dzi;

следовательно, он уменьшает (соответственно увеличивает) левую часть равенства (19:15), т. е. у\ - у\. Поскольку разность у* - у\ осталась бы равной 0, если бы не изменение (19:23) (см. рис. 25), теперь эта разность 0. Поэтому у\ yl. Рассмотрим, далее, некоторое z из интервала

z0<z - .

Знак в (19:23) увеличивает (уменьшает) \ pfidz4 и не влияет на 1 pf1;

2) На самом деле нам это необходимо более чем для одного z (см. замечание на стр. 223). Простейшее допущение состоит в том, что эти неравенства выполняются в небольшой окрестности интересующей нас точки z0.

Не представляло бы труда рассмотреть все это строго в смысле замечания на стр. 223 и сноски 4 на стр. 221. Мы отказываемся здесь от этого по изложенным там причинам.

) Мы не собираемся рассматривать что-либо отличное от игры двух лиц}

следовательно, он увеличивает (соответственно уменьшает) левую часть равенства (19:15), т. е. yz - у{. Поскольку разность у* - у\ осталась бы равной нулю, если бы не изменение (19:23) (см. рис. 25), теперь эта разность 0. Таким образом, у* у\. Подведем итоги:

(19:Е) Изменение знака в (19:23) приводит к неравенствам

у\ у\ для z < z0,

Vlyf Для 20<<rg.

Следовательно, партнер может выиграть, т. е. уменьшить К в (19:22), за счет использования величин о, которые отличаются от найденных pf.

Для z < z0 следует увеличить J за счет \, т. е. уменыпая-;(увеличнвая) о\ от значения p=p: до крайнего значения. А для z0 < z rg--следует увеличить \ за счет * ,т. е. увеличивая (уменьшая) of от вначе-

Оз °1

ния pf, q- до крайнего значения Q. Иными словами:

(19 :F) Если партнер блефует слишком часто (редко) при некотором

раскладе z0, то его можно наказать следующим отклонением от оптимальной стратегии: блефовать реже (чаще) при раскладах более слабых, чем zQ, и чаще (реже) при раскладах более сильных, чем z0.

Таким образом, следует копировать ошибки партнера при раскладах более сильных, чем z0, и поступать противоположным образом при более слабых раскладах.

Мы привели точное описание того, как откорректировать олефование, для того, чтобы защититься от слишком часто или слишком редко блефующего партнера, и описание непосредственных выводов. Эти соображения можно было бы получить и иначе, но мы не собираемся этим заниматься.

19.11. Более общие формы покера

19.11. Несмотря на то, что проведенное только что обсуждение пролило в достаточной мере свет на структуру стратегий и возможности покера, однако оно вообще оказалось возможным только благодаря существенному упрощению правил этой игры. Эти упрощения были введены и сформулированы в пп. 19.1, 19.3 и 19.7. Для правильного понимания этой игры нам следует теперь затратить усилия, чтобы от этих упрощений избавиться.

Сказанное отнюдь не означает, что все исключенные нами причудливые усложнения этой игры (см. п. 19.1) должны быть обязательно восстановлены *), но было бы весьма полезно вновь рассмотреть некоторые простые и важные особенности этой игры, которые до сих пор опускались. В частности, имеется в виду следующее:

(A) Расклады должны быть дибйретными, а не непрерывными (см. п. 19.7).

(B) Следует допустить ставки более чем двух уровней (см. п. 19.3).

(С) Каждому игроку надо предоставить возможность многократно делать ставки; следовало бы также рассмотреть случай, когда игроки делают ставки по очереди, а не одновременно (см. п. 19.3).

Задача, в которой учитываются одновременно все эти требования (А), (В) и (С) и требуется найти оптимальные стратегии, не решена. Поэтому сейчас мы должны удовлетвориться раздельным добавлением требова-ний (А), (В), (С).

Для (А) и (В) известны полные решения, в то время как для (С) полученные результаты очень незначительны. Подробное рассмотрение всех этих математических построений завело бы нас слишком далеко, поэтому мы сжато приведем эти результаты для (А), (В), (С).

19.12. Дискретные расклады

19.12.1. Рассмотрим сначала (А), т. е. вернемся к дискретной шкале раскладов s = 1, . . . , 5, которая была введена в конце п. 19.1.2 и использована в пп. 19.4-19.7. В этом случае решение во многом похоже на решение, описанное на рис. 24.

Вообще, р = 0 и существует такое s°, что pf = 1 для s > Д в то время как pf Ф 0 для s < s°. Кроме того, если мы изменим шкалу z (см. табл. 18), то величина (s° - l)/(S - 1) будет очень близка к (а - Ъ)1а *). Далее, точно так же как на рис. 24, мы имеем зону блефа, а выше нее зону высоких ставок.

Но числа pf для s < s°, т. е. в зоне блефа, не все равны или хотя бы близки к Ъ1(а + Ъ) на рис. 24 2). Они отклоняются от этого значения на величины, зависящие от некоторых арифметических особенностей числа S, но не стремящиеся к нулю при £->- оо. Однако, средние значения pf стремятся к --т-г3)- Иными словами:

а-\-Ь

Оптимальная стратегия дискретной игры очень похожа на оптимальную стратегию непрерывной, игры. Это справедливо для всех деталей, что касается разбиения на две зоны (зону блефа и зону высоких ставок); то же относится к положениям и размерам этих зон и к явлениям, происходящим в зоне высоких ставок. Однако в зоне блефа это применимо только к формулировкам в среднем (относительно нескольких раскладов примерно равной силы). Точные процедуры для отдельных раскладов могут сильно отличаться от приведенных на рис. 24 и зависят от арифметических особенностей чисел s и S (по отношению к alb) 4).

19.12.2. Таким образом, стратегия, соответствующая стратегии на

рис. 24 для s < s°, т. е. стратегия pf = для всех s< s°, не является

оптимальной и отличается от нее значительно. Тем не менее можно показать, что максимальные потери, которые можно понести, играя эту среднюю стратегию, невелики. Более точно, они стремятся к нулю при

S -> оо б).

2) Точнее говоря, (s° - 1)1 (S - 1) -> (а - Ь)/а при S -> оо.

2) То есть числа pf не стремятся к b/(a + Ь) при S оо, как бы ни изменялось s.

3) Фактически i/2 (pf + pf+1) = Ъ/(а + b) для большинства s < s°.

4) Таким образом, если говорить о рис. 24, левая часть графика не будет прямой

линией ( р = -в0 z --I , но она будет колебаться около нее как около

\ а + Ь ш ) J

среднего.

5) Фактически эта сходимость имеет порядок 1/S. Напомним, что в реальном покере S имеет порядок 2,5 миллиона (см. сноску 4 на стр. 209).