требует использования аксиоматического метода. На этой основе возможно фактически провести достаточно простое рассмотрение. Мы проведем его в пп. 3.5-3.7.

3.3.3. Во избежание недоразумений подчеркнем, что события , которые мы использовали выше в качестве носителей предпочтений, рассматриваются нами как будущие события с тем, чтобы сделать все логически возможные альтернативы в равной мере допустимыми. Однако в рамках наших непосредственных целей было бы излишним усложнением запутываться в задачах о предпочтениях между событиями в различные периоды будущего 1). Представляется тем не менее, что подобного рода трудности можно обойти, помещая все события, которые нас интересуют, в один ж тот же стандартизованный момент времени - желательно в ближайшем будущем.

Все перечисленные рассмотрения настолько по существу основаны на численном понятии вероятности, что будет весьма уместно сказать несколько слов относительно этого понятия.

Вероятность часто представляют себе как некоторое субъективное понятие - нечто вроде оценки. Так как мы предполагаем использовать это понятие при построении индивидуальной численной оценки полезности, указанная точка зрения будет для наших целей неподходящей. Поэтому простейший подход состоит в принятии другой альтернативы - достаточно хорошо обоснованной интерпретации вероятности как частоты в длинных сериях испытаний. Это непосредственно дает нам необходимый численный плацдарм 2).

3.3.4. Эта процедура численного измерения полезностей для индивидуума, разумеется, опирается на предположение о полноте системы индивидуальных предпочтений 3). Мыслимо допустить случаи - это может сказаться даже более реалистичным,- когда индивидуум не может ни указать, какую из двух альтернатив он предпочитает, ни констатировать, что обе они одинаково желательны. В этом случае анализ с помощью кривых безразличия также становится неосуществимым4).

Вопрос о том, насколько реальна эта возможность (как для индивидуумов, так и для коллективов), является чрезвычайно интересным, но зто действительно вопрос. Он определенно заслуживает дальнейшего изучения. К его рассмотрению мы ненадолго вернемся в п. 3.7.2.

Во всяком случае, мы надеемся, что мы показали, что анализ посредством кривых безразличия требует либо слишком многого, либо слишком малого: если не все предпочтения индивидуума сравнимы, то кривые безразличия не существуют 5). Если все предпочтения индивидуума сравнимы, то мы можем получить даже единственным образом определенную численную полезность, которая делает кривые безразличия излишними.

2) Известно, что это дает интересные, хотя до сих пор и чрезвычайно темные связи с теорией накопления и заинтересованности.

2) Тот, кто возражает против частотной интерпретации вероятности, может аксиоматизировать оба эти понятия (вероятность и предпочтение) совместно. Это также приводит к удовлетворительному количественному понятию полезности, которое будет рассмотрено нами в другой связи.

3) Мы не получили никакой базы для сравнения - качественного или количественного - полезностей для различных индивидуумов.

4) Все эти проблемы относятся к математической теории упорядоченных множеств. В частности, указанный выше вопрос сводится к выяснению того, образуют ли события линейно упорядоченное или лишь частично упорядоченное множество в смысле отношения предпочтения. См. п. 65.3.

5) Точки на одной и той же кривой безразличия должны отождествляться и не дают поэтому примеров несравнимости.

Разумеется, для предпринимателя, который может проводить калькуляцию втерминах денежных издержек и прибылей, все это становится беспредметным.

3.3.5. Можно выдвинуть то возражение, что для нас вовсе не обязательно входить во все эти запутанные детали, относящиеся в измерениям полезности, поскольку, очевидно, рядовой индивидуум, поведение которого мы хотим описать, не измеряет свои полезности точно; скорее он проводит свою экономическую деятельность в довольно густом тумане. То же, разумеется, справедливо для значительной части его поведения по отношению к свету, теплоте, мускульным усилиям и т. п. Но для построения физической науки эти явления должны были подвергнуться измерение Впоследствии наш индивидуум пришел даже к использованию - прямому или косвенному - результатов этих измерений в своей повседневной жизни. То же самое может в будущем произойти и в экономике. Если с помощью теории, использующей этот аппарат, будет достигнуто более полное понимание экономического поведения, то это сможет оказать влияние и на материальную жизнь индивидуума. Поэтому изучение этих проблем вовсе не является бесполезным отступлением от темы.

3.4. Принципы измерения. Подробное рассмотрение

3.4.1. Из сказанного выше читатель может почувствовать, что мы получим численный масштаб для полезности, лишь выдвинув соответствующий принцип, иначе говоря, постулировав существование подобного масштаба. В п. 3.3.2 мы говорили, что если индивидуум предпочитает А равновероятной комбинации В ж С (считая, что С для него является более предпочтительным, чем А, а А - более предпочтительным, чем В), то это дает правдоподобное основание для численной оценки того, что его предпочтение А по сравнению с В превышает предпочтение С по сравнению с А. Не постулируем ли мы здесь - или считаем само собой разумеющимся,- что одни предпочтения могут превышать другие или хотя бы что подобные утверждения имеют смысл? Такая точка зрения была бы полным непониманием нашего подхода.

3.4.2. Мы не постулируем и не предполагаем ничего подобного. Мы предполагаем только одну вещь - и это является достаточно обоснованным эмпирически,- что мыслимые события могут комбинироваться с некоторыми вероятностями. Поэтому то же самое следует предположить для связанных с этими событиями полезностей, каковы бы они ни были. Выскажем это более математическим языком.

В естественных науках часто появляются величины, которые априори не являются математическими и соотнесены некоторым сторонам физического мира. Иногда эти величины можно группировать в области, на которых возможны некоторые естественные, физически осмысленные операции. Так, физически определенная величина масса допускает операцию сложения. Ту же операцию допускает определенное в физике и геометрии понятие расстояния г). С другой стороны, определяемая физически и геометрически величина положение не допускает этой операции 2),

г) Для определенности мы считаем геометрию физической дисциплиной - такая точка зрения имеет под собой достаточные основания. Под геометрией мы понимаем - также для определенности - евклидову геометрию.

2) Мы имеем в виду однородное евклидово пространство, в котором никакая* система координат или репер не предпочитаются.

но допускает операцию образования центра тяжести двух положений г). Другие физико-геометрические понятия, обычно именуемые векторными - например, скорость и ускорение,- снова допускают операцию сложения.

3.4.3. Во всех тех случаях, когда подобной естественной операции приписывается наименование, напоминающее нам о некоторой математической операции,- подобно упомянутому выше примеру сложения ,- следует всячески избегать недоразумений. Эта терминология не имеет своей целью провозглашение тождественности двух операций с одним и тем же названием, да это, очевидно, и не имеет места; она выражает лишь мнение о том, что они обладают сходными чертами, и надежду на то, что в конечном счете будет установлено некоторое соответствие между ними. Разумеется, это - если это вообще осуществимо - делается путем нахождения некоторой математической модели для рассматриваемой физической области, в рамках которой эти величины будут представляться числами, так что в модели математическая операция описывает синонимичную с ней естественную операцию.

Возвратимся к нашим примерам. Энергия и масса в подходящих математических моделях становятся числами, а естественное их сложение - обычным сложением. Положение , равно как и векторные величины, становится тройками чисел2), именуемых соответственно координатами или компонентами. Естественное понятие центра тяжести двух положений 3) {#!, х2, х3} и {х[, хг, х3} с массами а и 1 - а (см. сноску 1 на стр. 47) реализуется в виде

{axi + (1 - а) х[, ах2 + (1 - а) х2, ах3 + (1 - а) х3} 4).

Естественная операция сложения векторов {xt, х2, х3} и {х[, х2, хв} описывается как {х± + х[, х2 + х2, х3 + х3) 5).

Все сказанное выше об естественных и математических операциях равным образом применимо к естественным и математическим отношениям. Хорошими примерами являются различные встречающиеся в физике варианты понятия больше : большая энергия, сила, теплота, скорость и т. д.

Эти естественные отношения являются наилучшей основой для построения математических моделей и согласования с ними физических данных.

Замечание 1. Наилучшей, но не единственной. Хорошим контрпримером является температура. Естественное понятие больше оказалось бы недостаточным для установления современной математической модели - шкалы абсолютной температуры. В действительности здесь использовались другие приемы. См. п. 3.2.1.

Замечание 2. Мы не хотим создавать у читателя ложного впечатления, что картина формирования математических моделей, т. е. создания физических теорий, описана здесь исчерпывающим образом. Не нужно забывать, что этот процесс весьма индивидуален и содержит множество этапов, которые трудно предвидеть. Одним из важных этапов является, например, распутывание понятий, т. е. расщепление некоторых вещей, которые при поверхностном рассмотрении кажутся представляющими одну физическую величину, на несколько математических понятий. Скажем, в соответствующих областях решающее значение имело распутывание силы и энергии или количества теплоты и температуры.

В настоящее время совершенно невозможно предвидеть, сколько подобных дифференциаций нам еще предстоит проделать в экономической теории.

х) По отношению к двум данным массам а и р, занимающим эти положения. Может оказаться удобным нормировать их так, чтобы общая масса была равна единице, т. е. принять Р = 1 - а.

2) Мы имеем в виду трехмерное евклидово пространство.

3) Теперь мы описываем их тремя числами - их координатами.

4) Обычно это обозначается как а {х±, х2, xz}+{i - #2 хз)- См. (16: А: с) в п. 16.2.1.

5) Обычно это обозначается через {х1у х2, #з}+ #2 з}- См. начало п. 16.2.1.