можно задать с помощью матриц, представленных в табл. 19 - 21.

Таблица 19

Таблица 20

Величины 5А, 52 являются результатом описанных выше случайных ходов. Следовательно,

1 VI

(ч> 1 is 7i 7s) = s 5fsigii(Sj-Sg) (Ц* Ц).

19.14.3. Перейдем теперь к смешанным стратегиям в смысле п. 17.2.

Ими являются векторы £, т), принадлежащие £р. Мы должны обозначить компоненты этих векторов подобно тому, как это было сделано для чистых стратегий. Вместо £Tl, цХ2 мы должны писать £гь ...,isi Ли,

Выпишем функцию (17:2) из п. 17.4.1, определяющую ожидаемый выигрыш игрока 1. Мы имеем

К(, Л)= 2 ,ЗР& kli Js)Ei1.....is4i1.....is =

*i.....\s

sv . Js *

1 XI VI

~S2 ZJ sign (e4-e2) (Ц 7e2)5llf - isTlii>

Целесообразно изменить порядок суммирования и написать Если мы теперь положим

{19:25) л

<19:26)

21.....г£,

исключая г

h.....3S,

исключая js

то приведенное выше равенство примет вид

(19:27) К (I, л) = ж 2 S 3ei n d-V (* Л PiS2

(19:29) все os20, 2 а

и что произвольные pf1, Oj2i удовлетворяющие этим условиям, можно

получить из надлежащих g и г\ по формулам (19:25) и (19:26). (См. соответствующий шаг в п. 19.5.3 и, в частности, сноску 1 на стр. 216.) Благодаря этому можно ввести двумерные векторы

Тогда условия (19:28) и (19:29) выражают именно тот факт, что все р8*,

о82 принадлежат S2.

Итак, вектор £ (или rj) принадлежит £3, т. е. зависит от (3 - 1 = 2s-1

параметров; р81 (или of) составляют множество из S векторов из £2 (т. е. каждый вектор зависит от одного числового параметра); следовательно, для задания этого множества нужно ровно S числовых констант. Таким образом, 2s - 1 мы свели к S. (См. конец п. 19.5.3). 19.14.5. Перепишем теперь (19:27) в соответствии с п. 19.6:

<19:30) К(р\ Jeoi, ...,а*)=4-2 У?°?

s2,i

с коэффициентами

~S~ / ~ ~S2 2 sign (s!-s2) (h j) Pi1 si, i

или, исцользуя матричные схемы табл. 19 - 21,

82-1 S

<19:31:а) ТЙ==+ { ( ар*-&р+ 2 ( РГ + 6рГ)} ,

Si = l ? Si=S2+l

S2-1 S

(19:31:Ь) Tl2 = 4 { 2 - + ЬР? + 2 №х + 6Р?)}

si=l si=s2-fl

19.14.4. Все сказанное в точности соответствует проделанному в п. 19.5.2. Как и там, формула (19:25) показывает, что pf1 есть вероят-ность того, что игрок 1, использующий смешанную стратегию , выберет £, имея расклад s4, а формула (19:26) показывает, что of есть вероятность того, что игрок 2, использующий смешанную стратегию г), выберет /,

имея расклад $2. Снова интуитивно ясно, что ожидаемое значение К (£, rj) зависит только от этих вероятностей, а не непосредственно от определяющих их вероятностей &lf...,ig, тЬч, ..., js- Равенство (19:27) выражает именно этот факт, и на основе этого его можно было бы получить непосредственно.

Понятно также, что величины pf1, of, как по своему смыслу, так и в силу их формальных определений из (19:25), (19:26) удовлетворяют условиям

(19:28) все pJiO, 2р\*=1

(19:30*) К=2 J У?*?***

о о

22 1

(19:31 :а*) Y?2 = j (- ар\1 - Ър?) dzt + J (ap2i + 6p2i) dzu

0 22

22 1

(19:31:Ь*) y22 = j (6p2i - 6p2i) dzt + j (bp? - bpp) dz>

*) Имеется в виду по / (i), но не по s2, j (su i)l

Поскольку эта игра уже не симметрична, нам нужны такие модификации формул, в которых роли двух игроков меняются. Это следующие формулы:

(19:32) К(р\ ..., ps а1, .. .,os) = -jr 2 W.

8Ь г

с коэффициентами

~s~ б*х=ж 2 <si-s2) (*> /) °?

S2,i

или, если использовать матричные схемы табл. 20 - 21,

81-1 8

(19:33:а) fiji = -L { 2 (оо? + 6о*2) + бор + 2 (- оо? + бор)} ,

S2=l 82=Si~{-l

81-1 S

(19:33:Ь) вр = { 2 (6*?2 +62) + 2 (-Ьо?-Ьо?)} .

S2== 1 S2=Si+l

Далее, критерии того, что стратегии оптимальны, остаются, по существу теми же, что и в.п. 19.6. Это значит, что, благодаря асимметричности, рассматриваемого сейчас варианта, наш критерий будет получен из общего-критерия (17:D) в п. 17.9, точно так же, как можно было бы из симметричного критерия в конце п. 17.11.2 получить критерий в п. 19.6.

-> -> -> -+

(19 :G) Векторы р1, . . . , ps и о\ . . . , os (все они принадлежат $2}

описывают оптимальную стратегию в том и только том случае,

когда справедливо следующее:

Для каждой пары s2l jf, для которой yf не достигает минимума

(по У *)), имеем of2 = 0. Для каждой пары su i, для которой б®1

не достигает максимума (по i*)), имеем pf1 = 0.

19.14.6. Заменим теперь дискретные расклады sA, s2 на непрерывные в смысле п. 19.7. (См., в частности, табл. 18.) Это приводит, как было

-► -У

описано в п. 19.7, к замене векторов p8i, aS2 (su s2 = 1, . . - , S) на векторы

р21, a22 (0 zi9 z2 1), которые по-прежнему являются вероятностными векторами той же самой природы, т. е. принадлежат S2. Так вместо компонент pf1, of появляются компоненты р\1 о)9. Аналогично величины

б?1, yf переходят в б?1, yf. Суммы в наших формулах (19:30), (19:31 :а), (19:31 :Ь) и (19:32), (19:33:а), (19:33:Ь) переходят в интегралы, подобна тому как это было с (19:7*), (19:9:а*), (19:9:Ь*), (19:9:с*) в п. 19.7. Итак, мы получаем