Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 [ 71 ] 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

{19:32*) <19:33:а*)

(19:33:Ь*)

к=2 $ W1!,

г О

6fi= (aaf2 + baj2)dz2+ j ( - ao\2-\-bof) dz2,

0 zi

6*i = j (baf + bo?) dz2 + j (- 6af2 - bof)dz2.

Соответственно преобразуется теперь и наш критерий для оптимальных стратегий. (Подобно тому как был осуществлен переход от дискретного критерия в п. 19.6 к непрерывному критерию в п. 19.7.) Мы получаем:

-> ->

(19:Н) Векторы pzi и о22 (О zu z2 rg 1), принадлежащие £2, описывают оптимальную стратегию й том и только том случае, если: Для всех z2, /, для которых yf не достигает минимума (по *)), будет of = 0. Для всех zb i, для которых б!1 не достигает максимума (по г *)), будет р!1 = 0.

19.15. Математическое описание всех решений

19.15.1. Нахождение оптимальных стратегий р2 и о2, т. е. решений, определяемых неявным условием, установленным в конце п. 19.14, может быть осуществлено полностью. Математические методы, которые позволяют это сделать, аналогичны тем, которые были использованы для нахождения в п. 19.8 оптимальных стратегий в нашем исходном варианте покера,



V 1 z

V J 2

Рис. 26.

Рис. 27.

т. е. решений, задаваемых неявным условием, сформулированным в конце п. 19.7.

Мы не будем цриводить здесь математического рассмотрения, но опи-

-V -у

шем оптимальные стратегии pz и az, которые оно дает.

Существует одна и только одна оптимальная стратегия pz, в то время

как оптимальные стратегии oz образуют обширное семейство. См. рис. 26, 27. Фактические пропорции этих рисунков соответствуют случаю alb ~ 3. Здесь

(а - 6)6 д2 + 2д& -62

и- а(а + ЗЬ) V~ а(а + ЗЬ)

г) Имеется в виду по / (£), а не по z2, / (zu i)\



Сплошные линии изображают соответственно кривые р = pf и о = = of. Таким образом, превышение ординат сплошной линии над линией: р =0 (а - 0) равно вероятности высокой ставки pf (af), а превышение ординат линии р = 1 (а = 1) над сплошной линией равно вероятности низкой ставки pf = 1 - pf (of = 1 - of). Неправильная часть кривой

о = af (см. рис. 27) в интервале и 5g z v представляет сложность опти-

->

мальных стратегий az. Действительно, эта часть кривой а = of удовлетворяет следующим (необходимым и достаточным) условиям:

- (о?

V-ZQ J 1

если z0 - u,

> - , если m<Cz0<z;.

Это означает, что между и я v среднее значение af равно b/а, а на правом конце каждого такого интервала среднее значение af Ыа.

Таким образом, как рг, так и <тг соответствуют трем различным типам поведений на этих трех интервалахх).

Первый: Oz <. и. Второй: и <; z 5g у. Третий: i; < z <; 1. Длины этих интервалов соответственно равны и, и - и л I - у, а довольно сложные выражения для и ж v лучше всего запомнить с помощью следующих, легко проверяемых пропорций:

и а - Ъ

а + Ъ

1-и b

19.15.2. Формулы (19:31:а*), (19:31:Ь*) и (19:33:а*), (19:33:Ь*) позвр-ляют теперь вычислить коэффициенты у), б*. Вместо формул (как и в п. 19.& на рис. 25) мы дадим графическое представление, оставляя элементарную-

проверку читателю. Для проверки, являются ли pz, az оптимальными стратегиями, нужны только разности 6f - 6f, yl - у\. Действительног критерий в конце п. 19.14 можно переформулировать следующим образом..


Рис. 28.

Рис. 29.

Как только разность >0, должно быть pf = 0 или соответственно af = 0 и как только разность <0, то pf = 0 или соответственно af = 0. Поэтому мы приводим графики этих разностей. (См. рис. 28, 29. Фактические пропорции этих рисунков соответствуют пропорциям рис. 26, 28, т. е. alb ~ 3. Здесь tg a = 2а, tg fi = 2Ь, tg у = 2 (а - Ь).)

Линия на рис. 28 изображает кривую у = yl - у\, а линия на рис. 29> изображает кривую б = 8f - 6f. Нерегулярная часть кривой б = 6f - Ь%

г) О граничных точках этих интервалов см. замечание на стр. 223.



(см. рис. 29) на интервале и z rg v соответствует аналогичной нерегулярной части кривой а = о\ (на рис. 27) на том же самом интервале,

->

т. е. характеризует сложность оптимальных стратегий о*. Ограничение, наложенное на часть исследуемой кривой о = of (см. обсуждение после рис. 27), означает, что эта часть кривой б = 6* - 6* должна лежать в заштрихованном треугольнике (см. рис. 29).

19.15.3. Сравнение рис. 26 с рис. 28 и рис. 27 с рис. 29 показывает, что наши стратегии действительно являются оптимальными, т. е. они удовлетворяют (19:Н). Мы предоставляем читателю проверить это, аналогично тому как это было сделано при сравнении рис. 24 и рис. 25 в п. 19.9.

Из рис. (19:30*) или (19:32*) в п. 19.14.6 можно получить также и значение К. Оно таково *):

v , (а - 6)62 а (а + Зб)

Таким образом, игрок 1 имеет положительное Ожидаемое значение-партии - преимущество, являющееся правдоподобным следствием обладания инициативой 2).

19.16. Интерпретация решений. Заключение

19.16.1. Точно так же как в п. 19.10 обсуждались результаты, полученные в пп. 19.8, 19.9, следовало бы обсудить и результаты, полученные в п. 19.15. Мы не хотим этого делать в полном объеме и поэтому сделаем лишь несколько замечаний.

Мы видели, что на рис 26 и 27 появляются три зоны вместо двух зон на рис 24. На всех этих рисунках (т. е. для обоих игроков) наивысшая зона (крайняя справа) соответствует только высоким ставкам. Однако поведение в других зонах не столь единообразно.

Для игрока 2 (рис 27) средняя зона описывает тот тип блефа, который мы имели в самой низкой зоне на рис 24 - случайным образом чередуются высокая и низкая Ставки при одном и том же раскладе. Но соответствующие этим ставкам вероятности выбираются хотя и не произвольно, но* и не однозначно, как на рис 24 3). Существует низшая зона (на рис. 27), в которой игрок 2 всегда должен ставить мало, т. е. зона, где его расклад; слишком плох для смешанного поведения.

Кроме того, в средней зоне игрока 2 величины у* как на рис. 25, так и на рис. 28 так же несущественны, как и разность у* - у\ == 0 на< рис. 25. Таким образом, мотивы поведения в этой зоне столь же косвенны, как и те, которые обсуждались в последней части п. 19.10. Действительно, эти высокие ставки являются более действенной защитой от блефа, чем

г) Для количественной ориентировки: если а/Ь = 3, что соответствует отноше нию, при котором построены все наши рисунки, то и = 1/9, v = 7/9, К = 6/9.

2) При а/Ь ~ 3 оно равно примерно 6/9 (см. сноску выше), т. е. около 11% от низкой ставки.

3) См. обсуждение после рис. 27. Действительно, эти требования могут встретиться только при о\ = 0 и 1; например, o~f = 0 для меньшей дроби и aj = 1 для большей дроби Ь/а для среднего интервала.

Существование такого решения (т. е. никогда af Ф 0 или 1, а в силу рис. 26 такж& никогда р5 =т= 0 или 1) означает, конечно, что этот вариантявляется вполне определенным. Но рассуждение на этой основе (т. е. с чистыми стратегиями) не позволяет* построить решений, подобных фактически построенному на рис. 27.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 [ 71 ] 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227