просто блеф. Поскольку этой ставкой игрока 2 игра заканчивается, для последующих действий действительно нет никаких причин, в то время как блефу партнера необходимо противопоставить высокие ставки, вынуждая его тем самым к раскрытию.

Для игрока 1 (рис. 26) эта ситуация не такова. В высшей зоне он должен назначать высокие ставки, и ничего более; в средней зоне он должен назначать низкие ставки, и только. Эти высокие ставки на самых плохих раскладах - в то время как на средних раскладах делаются низкие ставки - являются агрессивным блефом в своем наиболее чистом виде. Значения 8? совсем не безразличны в этой зоне блефа (т. е. в низшей зоне): 6f - 6f > 0 на рис. 29, т. е. любое отступление от блефа в этих условиях приводит к немедленным потерям.

19.16.2. Итак, в нашем новом варианте покера можно различать два типа блефа: чисто агрессивный, используемый игроком, который владеет инициативой, и защитный (состоящий в том, чтобы время от времени раскрывать противника, подозреваемого в блефе, даже имея на руках скромные карты), используемый игроком, который ставит вторым. Наш исходный вариант, где инициатива поделена между двумя игроками - потому что они ставят одновременно,- содержит процедуру, которую теперь можно было бы назвать смесью этих двух поведений х).

Все это дает ценное эвристическое указание, как следует подходить к реальному покеру - с последовательностью (попеременных) ставок и повышений. Математическая задача сложна, но, по-видимому, использован еще не весь доступный аппарат. Это будет сделано в других наших работах.

*) Рассмотренный Э. Борелем вариант покера, упоминавшийся в замечании на стр. 208, порождает процедуру, имеющую некоторое сходство с нашей. Используя нашу терминологию, ход рассуждений Э. Бореля можно описать следующим образом.

Максимин (максимум для игрока 1, минимум для игрока 2) определяется как для чистых, так и для смешанных стратегий. Они идентичны, т. е. этот вариант является вполне определенным. Получающиеся при этом оптимальные стратегии несколько напоминают наши стратегии на рис. 27. Поэтому характеристики блефа не проявляются столь отчетливо, как на наших рис. 24 и 26. См. аналогичные рассуждения в приведенном выше тексте.

Глава V

ИГРЫ ТРЕХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ

§ 20. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ОБЗОР

20.1. Общие соображения

20.1.1. Поскольку теория игр двух лиц с нулевой суммой уже завершена, мы сделаем следующий шаг по пути, намеченному в п. 12.4: построим теорию игр трех лиц с нулевой суммой. Это потребует совершенно новых точек зрения. Типы игр, обсуждавшихся до сих пор, также имели свои собственные характерные проблемы. Мы видели, что игра с одним игроком характеризовалась появлением задачи максимизации, а игра двух лиц с нулевой суммой - четко выраженной противоположностью интересов, которая уже не могла быть описана задачей максимизации. И так же, как переход от игры с одним игроком к игре двух лиц с нулевой суммой изменил чисто максимизационный характер проблемы, так переход от игры двух лиц с нулевой суммой к игре трех лиц с нулевой суммой уничтожает отчетливую противоположность интересов.

20.1.2. В самом деле, очевидно, что взаимоотношения между двумя игроками в игре трех лиц с нулевой суммой могут быть разнообразны. В игре двух лиц с нулевой суммой все, что выигрывает один игрок, необходимо проигрывает другой, и наоборот. Поэтому такой игре всегда присущ абсолютный антагонизм интересов. В игре трех лиц с нулевой суммой некоторый конкретный ход игрока, который простоты ради предполагается несомненно выгодным для него, может быть невыгодным для обоих других игроков. Но он может быть также выгодным для одного из противников и (тем более) невыгодным для другого х). Таким образом, у некоторых игроков время от времени могут быть совпадающие интересы, и можно догадаться, что понадобится более сложная теория даже для того, чтобы решить, является ли это совпадение интересов полным, частичным и т. д. С другой стороны, в игре должна существовать противоположность интересов (это игра с нулевой суммой), и, таким образом, теория должна будет распутывать сложные ситуации, которые могут встретиться.

Может случиться, в частности, что игрок имеет выбор среди различных линий поведения. Он может управлять своим поведением так, чтобы оно соответствовало интересам другого игрока или же противоречило им, а также выбирать, с каким из двух других игроков ему установить контакт и (возможно) в какой именно степени.

20.1.3. Как только появляется возможность совпадения интересов, встает вопрос о выборе союзника. Когда союз создан, следует ожидать, что будут необходимы некоторого рода взаимные £ соглашения между двумя игроками, входящими в него. Это можно сформулировать следующим образом. Совпадение интересов делает кооперацию желательной

г) Все это, конечно, связано с теми же трудностями, которые мы уже рассмотрели и преодолели в случае игры двух лиц с нулевой суммой: является ли отдельный ход выгодным или невыгодным для некоторого игрока, может зависеть не только от его хода, но также от того, что делают другие игроки. Однако сначала мы попытаемся выделить новые трудности и анализировать их в наиболее чистой форме. Затем мы обсудим их связь со старыми.

и, таким образом, вероятно, будет вести к соглашению между игроками, входящими в кооперацию. С другой стороны, противоположность интересов, по-видимому, требует лишь того, чтобы игрок, который выбрал такую альтернативу, действовал независимо в своих собственных интересах.

В игре двух лиц с нулевой суммой такого быть не может. Когда выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, какие-либо договоры или соглашения между этими игроками бессмысленны*). Это должна быть ясно из общих соображений. Если необходимо формальное подтверждение (доказательство), то его можно найти в том, что мы завершили теорию игр двух лиц с нулевой суммой, даже не упоминая о договорах и соглашениях между игроками.

20.2. Коалиции

20.2.1. Таким образом, мы рассмотрели черту, качественно отличающую игру трех лиц с нулевой суммой от игры двух лиц с нулевой суммой. Является ли она единственной - это вопрос, который мы сможем решить только позже. Если мы достигнем успеха в завершении теории игр трех лиц с нулевой суммой без привлечения каких-либо дальнейших новых понятий, то мы сможем утверждать, что установили эту единственность. По существу, это произойдет, когда мы дойдем до п. 23.1. В данный момент мы просто отмечаем, что это является наиболее важным новым элементом в создавшейся ситуации, и предполагаем обсудить его полностью, прежде чем браться за что-либо другое.

Таким образом, мы хотим сосредоточиться на альтернативах, среди которых игрок может выбирать: действовать ли в кооперации с другими игроками или же действовать против них. Это значит, что мы хотим анализировать возможность коалиций: между какими игроками и против какого игрока будут создаваться коалиции.

Замечание. Представляется важным отметить следующее. Коалиции в игре с нулевой суммой появляются впервые, когда число участников игры достигает трех. В игре двух лиц для возникновения коалиций недостаточно игроков; коалиция поглощает хотя бы двух игроков, и поэтому в оппозиции не остается никого. Но хотя игра трех лиц и допускает коалиции, число игроков еще настолько мало, что удерживает-коалиции в определенных границах: коалиция должна содержать ровно двух игроков, и должна быть направлена ровно против одного (оставшегося) игрока.

Если имеется четыре или больше игроков, то ситуация становится значительно более сложной: могут создаваться несколько коалиций, и они могут соединяться или противостоять друг другу и т. д. Несколько примеров этого появляется в конце п. 36.1.2, и далее, в конце п. 37.1.2 и далее; другие близкие явления см. в конце п. 38.3.2.

Следовательно, желательно построить пример игры трех лиц с нулевой суммой, в которой этот аспект находится на первом плане, а все другие скрыты, т. е. игру, в которой только коалиции имеют значение и являются единственной целью всех игроков 2).

*) Это, конечно, не так в общей игре двух лиц (т. е. в игре с переменной суммой) В ней два игрока могут при случае кооперироваться, чтобы создать больший выигрыш. Таким образом, имеется определенное сходство между общей игрой двух лиц и игрой трех лиц с нулевой суммой.

В гл. XI, особенно в п. 56.2.2, мы увидим, что за этим кроется общая связь: общая игра п лиц тесно связана с игрой п 1 лица с нулевой суммой.

2) Методически это тот же самый план, что и при рассмотрении игры в орлянку в теории игр двух лиц с нулевой суммой. Мы установили в п. 14.7.1, что решающей новой чертой игры с нулевой суммой двух лиц была трудность принятия решения., при котором игрок раскрывал своего противника. Орлянка являлась той игрой в которой это раскрытие определяло всю картину и только оно имело значение-