верхних границ, т. е. сумма (с - х) + (Ь - я), меньше, чем та, которую игроки 2 и 3 могут получить, объединившись в коалицию друг с другом, то можно с уверенностью предположить, что игрок 1 не найдет себе партнера х). Коалиция игроков 2 и 3 может получить сумму а. Итак, мы видим: если игрок 1 желает при всех условиях получить сумму х, то у него нет никакой надежды найти партнера, если это х удовлетворяет неравенству

(с - х)-\-(Ь - х) <а.

Таким образом, желание получить х будет нереальным и нелепым, пока х не будет удовлетворять неравенству

(с - х)-\-(Ь - х)1а. Это неравенство может быть равносильно записано как

- а-\-Ъ-\-с

Резюмируем сказанное.

(22:1:а) Игрок 1 реально не может рассчитывать на получение при всех условиях суммы, большей а = ~-а+ + с в

Те же рассуждения можно повторить для игроков 2 и 3; это даст нам следующее.

(22:1 :Ь) Игрок 2 реально не может рассчитывать на получение при всех условиях суммы, большей чем 3 = а - Ь+с

(22:1:с) Игрок 3 реально не может рассчитывать на получение при всех условиях суммы, большей чем 7 = а+ -с ш

22.2.3. Условия (22:1:а) - (22:1:с) являлись всего лишь необходимыми, и априори можно было бы предполагать, что дальнейшие рассуждения могут либо уменьшить верхние границы а, 3, 7, либо же привести в: некоторым другим ограничениям, наложенным на то, к чему игроки могут стремиться. Как показывает следующее простое рассмотрение, это не так.

Можно непосредственно проверить, что

а + Р = с, а + 7 = Ь, р + 7 = а.

Другими словами: если игроки 1, 2, 3 не стремятся к большему, чем предусмотрено в утверждениях (22:1:а), (22:1:Ь), (22:1:с), т. е. к большему, чем соответственно а, р, 7, то любые два игрока, которые объединяются в коалицию, фактически могут получить соответствующую сумму. Таким образом, эти требования полностью оправданы. Конечно, только два игрока (те, которые составят коалицию) получат в действительности то, на что они по справедливости претендуют. Третий игрок, который исключается из коалиции, соответственно будет получать не а, р, 7, а -а, -Ь, -с 2).

г) Конечно, мы предполагаем, что игрок не является безразличным к любой возможной прибыли, сколь бы мала она ни была. Это предположение подразумевалось также и при анализе игры двух лиц с нулевой суммой.

Традиционная идея homo oeconomicus в тех пределах, в каких ее вообще можно ясно представить, также содержит это предположение.

2) Действительно, это те суммы, которые коалиция других игроков может выбить соответственно у игроков 1, 2, 3. Больше этого коалиция получить не может.

22.3. Одно неравенство. Формулы

22.3.1. В этом месте возникает один очевидный вопрос. Любой игрок 1, 2, 3 может получить соответственно сумму а, р, 7, если он добивается успеха в создании коалиции; в противном случае он вместо этого получает только -а, -Ь, -с. Это имеет смысл только в том случае, если а, 3, 7 больше, чем соответствующие -а, -Ь, -с, так как в противном случае соответствующий игрок вовсе не захочет вступать в коалицию, а предпочтет играть сам за себя. Таким образом, вопрос состоит в том, являются кж все три разности

р = а - (- а) = а + а, г = у - ( - с) = у + с

неотрицательными.

Непосредственно видно, что все эти разности равны друг другу. Действительно.

а-\-ЪА-с

Обозначим эту величину через у-. Тогда вопрос сводится к тому, справедливо ли неравенство

А = а + Ь + с0.

Это неравенство может быть доказано следующим образом.

22.3.2, Кбалиция игроков 1, 2 может получить (от игрока 3) не более чем сумму с. Если игрок 1 играет один, то он может помешать игрокам 2, 3 выиграть у него больше чем а, так как даже коалиция игроков 2, 3 может получить (от игрока 1) не более чем сумму а; это значит, что игрок 1 может получить сумму -а без какой-либо посторонней помощи. Аналогично игрок 2 может без посторонней помощи получить сумму - Ь. Следовательно,два игрока 1, 2 вместе могут получить сумму - (а + Ь), даже если они не будут кооперироваться друг с другом. Так как максимум того, что они могут получить вместе, есть с, отсюда следует, что с - а - Ь, т. е. что А = а + Ь + с*0.

22.3.3. Это доказательство наводит на следующие соображения.

Во-первых, наши аргументы опирались на рассмотрение возможностей игрока 1. Благодаря симметрии результата А = а + Ь + с0 относительно трех игроков, то же неравенство могло бы быть получено, если бы мы анализировали положение игрока 2 или игрока 3. Это указывает на то, что существует некоторая симметрия ролей всех трех игроков.

Во-вторых, А = 0 означает с = - а- Ъ или, что то же самое, а = = - а, так же как и две пары соответствующих равенств, которые получаются из написанных циклической перестановкой трех игроков. Поэтому в этом случае никакая коалиция не имеет смысла. Любые два игрока могут получить, не кооперируясь, ту же сумму, которую они могут получить в коалиции (т. е. для игроков 1 и 2 этой суммой является -а - Ъ = с). Кроме того, каждый игрок, которому удается присоединиться к коалиции, получает не более того, что он может получить и без посторонней помощи (например, для игрока 1 этой суммой является а = -а).

С другой стороны, если А >> 0, то каждый игрок имеет определенную заинтересованность в присоединении к коалиции. Выгода, содержащаяся в этом, одна и та же для всех трех игроков: она равна А/2.

Мы здесь снова имеем указание на симметрию некоторых аспектов ситуации для всех игроков: А/2 является стимулом для стремления к коалиции; эта величина для всех игроков одна и та же.

22.3.4. Наши результаты можно выразить в виде табл. 22.

Таблица 22

Если мы положим

то будем иметь

и можем выразить результаты, сведенные в табл. 22, следующим образом.

{22:А) Для игроков 1, 2, 3 партия имеет основные значения соответственно а, Ь\ с. (Это - возможные оценки, так как сумма всех значений равна нулю.) Партия, однако, достоверно приведет к образованию некоторой коалиции. Те два игрока, которые ее образуют, получат (помимо своих основных значений) премию А/6, а исключенный игрок понесет потери, равные -Д/3.

Таким образом, стимулом для образования коалиции для каждого игрока является А/2 и всегда А/2 0.

§ 23. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

23.1. Исчерпывающее обсуждение. Несущественные и существенные игры

23.1.1. Теперь мы можем снять все ограничения. Пусть Г - совершенно произвольная игра трех лиц с нулевой суммой. Достаточно простого рассуждения, чтобы перенести на нее анализ пп. 22.2 и 22.3. Будем рассуждать следующим образом.

Если два игрока, скажем 1 и 2, решают полностью кооперироваться, временно откладывая впредь до расплаты урегулирование вопроса о распределении, т. е. вопроса о компенсациях, выплачиваемых партнерами друг другу, то игра Г превращается в игру двух лиц с нулевой суммой. Двумя игроками в этой новой игре являются коалиция 1, 2 (которая представляется составным игроком, состоящим из двух естественных игроков ) и игрок 3. Рассматриваемая таким образом игра Г подпадает под теорию игр двух лиц с нулевой суммой, изложенную в гл. III. Каждая