партия в этой игре имеет вполне определенное значение (мы имеем в виду v, определенное в п. 17.4.2). Обозначим через с значение партии для коалиции 1, 2 (которая в нашей интерпретации является одним из игроков).

Сходным образом можно предположить абсолютную коалицию между игроками 1, 3 и рассматривать игру Г как нулевую игру двух лиц между этой коалицией и игроком 2. Обозначим через Ъ значение партии для коалиции 1, 3.

Наконец, можно предположить абсолютную коалицию между игроками 2, 3 и рассматривать игру Г как игру двух лиц с нулевой суммой между этой коалицией и игроком 1. Обозначим через а значение партии для коалиции 2, 3.

Следует отдавать себе отчет в том, что мы пока еще не*предполагаем, что какая-нибудь из этих коалиций с необходимостью появится. Величины а, &, с определены просто вычислительным образом; мы составили выражения для них, исходя из основной (математической) теоремы п. 17.6. (По поводу точных выражений для а, Ь, с см. ниже.)

23.1.2. Ясно, что для игры трех лиц с нулевойсуммой Г полностью справедливы рассуждения пп. 22.2 и 22.3. Коалиции игроков 1, 2, или 1, 3, или 2, 3 могут соответственно получить (от исключенных игроков 3, 2 или 1) не более чем суммы с, Ь, а. Следовательно, все результаты пп. 22.2 и 22.3 остаются в силе и, в частности, сформулированный в конце результат, который описывает положение каждого игрока в коалиции и вне ее.

23.1.3. Эти результаты показывают, что игра трех лиц с нулевой суммой попадает в один из двух количественно различных классов, соответствующих возможностям Д = 0 и А > 0.

Действительно, мы видели, что нет причин для образования коалиции при Д = 0, и каждый игрок может получить ту же сумму, что и в любой коалиции, играя в одиночку против всех остальных. В этом и только в этом случае возможно предположить единственность значения каждой партии для каждого игрока, а сумма этих значений равняется нулю. Ими являются основные значения а, Ь, с, упомянутые в конце п. 22.3. В этом случае формулы п. 22.3 показывают, что а = а = -а, Ъ = Р = = - Ь, с = у = -с. В случае, когда образование коалиций бесполезно, мы будем называть игру несущественной.

В случае, когда А > 0, к образованию коалиций имеется определенный стимул, как обсуждалось в конце п. 22.3. Нет необходимости повторять приведенные там рассуждения. Отметим лишь, что здесь а > а > -а, Р > V > -Ь, у > с > с. В этом случае, когда коалиции являются существенными, будем называть игру существенной.

Приведенное разделение игр на несущественные и существенные было сформулировано только*применительно к случаю игр трех лиц с нулевой суммой. Впоследствии мы увидим, что оно может быть распространено на все игры и что эта дифференциация имеет исключительную важность.

23.2. Окончательные формулы

23.2. Прежде чем приступать к дальнейшему анализу полученного результата, сделаем несколько чисто математических замечаний о величинах а, &, с и связанных с ними а, р, у, а, с, Д, в терминах которых выражалось наше решение.

Предположим, что Г является игрой трех лиц с нулевой суммой в нормальной форме, как в п. 11.2.3. В этой игре игроки 1, 2, 3 выбирают

= - 2 3 (Т4, Т2, Т3) птгПтз

ж, наконец,

с = max min К (£, rj) = min max К (£, rj).

£ л /л £

Выражения для Ь, а получаются из написанного циклической перестановкой игроков 1, 2, 3 во всех деталях этого представления.

х) Число пар ti, т2, очевидно, равно р4р2.

соответственно переменные т4, т2, т3 (каждый игрок не информирован о выборах двух других) и получают соответственно выигрыши е/Г! (т, т2, т3), е/?2 (т4, т2, т3), &Сг (ть т2, т3). Конечно (игра с нулевой суммой),

&Сi (Ti> т2, г3) + &С2 (т4, т2, Tg) + SK3 (xlf т2, т3) = 0. Областями изменения переменных являются

Ti=l, 2, ./.,plf т2 = 1, 2, ..., р2, т3 - 1, 2, ..., р3.

Теперь в игре двух лиц, которая возникает между абсолютной коалицией игроков 1, 2 и игроком 3, имеет место следующая ситуация.

Составной игрок 1, 2 располагает переменными т4, т2; оставшийся игрок 3 распоряжается переменной т3. Первый получает выигрыш

#Pi(t4, т2, г3) + Ж2(ти т2, т3) = - $С3 (т4, т2, т3),

последний получает этот выигрыш с обратным знаком.

Сметанной стратегией составного игрока 1, 2 является вектор

->

£££02 компоненты которого можно обозначить через т1)- Таким

образом, принадлежность £ множеству характеризуется соотноше-

ниями

->

Смешанной стратегией игрока 3 является вектор г)6рз,компоненты кото-> ->.

рого обозначим через т]Тз. Принадлежность вектора г) множеству S$3

характеризуется соотношениями

Поэтому билинейная форма К (£, т]) из (17:2) в п. 17.4.1 выглядит так:

К (I, rj) = 21 {1 Ы> т2, Г3) + Жг (т4, Т2, Т3)} iriTzllts =

*1 *2 Тз

Выпишем еще раз формулы, выражающие а, 3, у, а, Ъ, с, Д: Д = а + Ь + С необходимо 0,

- а + 6 + с , -2а-\-Ъ-\-с

и мы имеем

2 ~ 3

ft а - b-j-c а-2Ь + с

Р- 2 = 3

а-\-Ь - с , а-\-Ь-2с

a + b + c = 0,

/ Д 7, 7,/ Д / Д

- а=а -~ , -b = b-, -с = с--.

§ 24. ОБСУЖДЕНИЕ ОДНОГО ВОЗРАЖЕНИЯ 24.1. Случай полной информации и его значимость

24.1.1. Мы получили решение игры трех лиц с нулевой суммойг которое учитывает все возможности и указывает направление поиска решений игры п лиц. Именно, следует анализировать все возможные коалиции и конкурентное взаимоотношение между ними, что позволит определить компенсации, которые игроки, желающие образовать коалицию, будут выплачивать друг другу.

Мы уже отмечали, что для п > 4 это будет гораздо более трудной проблемой, чем в случае п = 3 (см. замечание на стр. 242).

Прежде чем заниматься этим вопросом, разумно, уделить некоторое время пересмотру нашей позиции. В дальнейших рассуждениях мы будем уделять основное внимание образованию коалиций и компенсациям между участниками этих коалиций, используя теорию игр двух лиц с нулевой суммой для определения выигрышей окончательных коалиций, которые противостоит друг другу после того, как все игроки примкнули к той или другой коалиции (см. пп. 25.1.1, 25.2). Но действительно ли этот аспект/ вопроса является таким всеобщим, как мы это предполагаем?

Мы уже привели некоторые сильные аргументы в пользу такой точки зрения при рассмотрении игр трех лиц с нулевой суммой. Наша способность построить на описанном основании теорию игр п лиц (для всех п) будет, наконец, решающим аргументом. Тем не менее имеются и доводы против ; возражение, которое нам предстоит рассмотреть, возникает/ в связи с играми с полной информацией.

Возражение, которое мы теперь обсудим, касается только игр упомянутого выше частного класса. Поэтому, если это возражение окажется справедливым, оно не даст нам некоторой иной теории, которая применима ко всем играм. Но так как мы претендуем на общую истинность предложенной нами точки зрения, то мы должны опровергать все возражения, и даже те, которые приложимы только к некоторому частному случаю х).

г) Другими словами, при провозглашении общей истинности теории необходимо предполагается возможность опровержения всех возражений.