24Л.2, Игры с полной информацией уже обсуждались в§ 15. Мы видели там, что эти игры обладают важными специфическими особенностями и что их природу можно полностью понять только тогда, когда они рассматриваются в позиционной форме, а не просто в нормальной, к которой главным образом и относились наши рассуждения (см. также п. 14.8).

Анализ в § 15 начался с рассмотрения игр п лиц (для всех п), но в последней части § 15 мы сузили вопрос, ограничившись играми двух лиц с нулевой суммой. В частности, в конце § 15 мы изложили словесный метод рассуждения (см. п. 15.8), который обладал некоторыми примечательными особенностями. Во-первых, не будучи совершенно свободным от возражений, он оказался достойным рассмотрения. Во-вторых аргументация, которая при этом использовалась, существенно отличалась от аргументации, при помощи которой мы разобрали общий случай игры двух лиц с нулевой суммой;и хотя она была применима только к этому частному случаю, она была более действенной, чем другая аргументация. В-третьих, она привела в случае игр двух лиц с нулевой суммой с полной информацией к тем же результатам, что и наша общая теория.

Теперь можно попытаться применить эту аргументацию также к случаю п 3 игроков. Действительно, поверхностная проверка содержания п. 15.8.2 не выявляет каких-либо причин, по которым применение использованной там аргументации следовало бы ограничить случаем п = 2 игроков (см., однако, п. 15.8.3). Однако в этих рассуждениях не упоминается о коалициях или соглашениях между игроками и т. п. Поэтому, если они и применимы для п = 3 игроков, то используемый здесь подход можно подвергнуть серьезному сомнению.

3 амечание. Можно надеяться обойти этот вопрос, ожидая, что для всех игр трех лиц с нулевой суммой с полной информацией окажется А = 0. Это сделало бы коалиции излишними. См. конец п. 23.1.

Точно так же как игры с полной информацией, будучи вполне определенными, избежали трудностей теории нулевых игр двух лиц (см. п. 15.6.1), они могли бы теперь избежать трудностей теории игр трех лиц с нулевой суммой, будучи несущественными.

Однако это не так. Чтобы увидеть это, достаточно модифицировать правила простой мажоритарной игры (см. п. 21.1) следующим образом: пусть игроки 1, 2, 3 делают свои личные ходы (т. е. соответственно выборы тА, т2, т3, см. там же) в указанном порядке, причем каждый из них информирован о предшествующих ходах. Легко проверить, что значения с, b\ а трех коалиций 1,2,1,3, и 2, 3 являются теми же самыми, что и раньше,

с = Ь = а=1, А = а + Ь + с = 3>0.

Детальное обсуждение этой игры* в соответствии с рассуждениями п. 21,2 представляло бы определенный интерес, но мы не предполагаем в данный момент продолжать эту тему.

Поэтому мы хотим показать, почему метод п. 15.8 несостоятелен, когда число игроков не менее трех.

Чтобы сделать это, повторим некоторые существенные пункты примененной аргументации (см. п. 15.8.2, обозначениями которого мы будем пользоваться).

24.2. Детальное обсуждение. Необходимость компенсаций между тремя или более игроками

24.2.1. В соответствии со сказанным выше рассмотрим игру Г с полной информацией. Пусть с#1? оМ2у . . . , oMv будут ходами в этой игре, оь о2, . . . , ov - выборами при этих ходах, я (оь о2, °ч>) - партией, описываемой этими выборами, a 3F$ (я (сгь о2, . . . , ov)) - исходом этой партии для игрока / (= 1, 2, ... , п).

Предположим, что ходы oMi, <М2, . . . , ©#v-i уже сделаны и исходами их выборов являются а4, а2, . . ., av-i- Рассмотрим последний ход <MV и соответственно av. Если oSv является случайным ходом (т. е. если &v (аь о2, . . . , orv !) =0), то различные возможные значения av = = 1, 2, . . . , av (о, . . . , av !) имеют соответственно вероятности pv (1), pv (2), . . . , £v (av (ai, . . . , oTv.j)). Если это личный ход игрока к (т. е. если kv (аь . . . , av i) = к = 1, 2, . . . , п), то игрок к выбирает av так, чтобы сделать (я (о, . . . , <7v-i av)) максимальным. Обозначим это <уу через av (a4, . . . , av ±). Таким образом, можно доказать, что значение партии становится известным (для каждого игрока j = 1, . . . , п) уже после ходов о/Их, оМъ, . . ., c#v-i (и перед ходом c#v); иными словами, значение партии является функцией только аи а2, . . . , av-i. Действительно, на основании сказанного выше

<*v(ov ..., av-1)

2 Pv (av) J- (я (ab ..., av 4, av))

J-(n (ai> ....a*-i)) = <

для kv(au ..., 0 = 0, (я (a4, ov-i, av (a4, ..., av-i))),

где av = oy (a4, ..., av-i) максимизирует (я (a4, ..., av)), для kv (a, ..., av-0 =

= 1,.. f /г.

Следовательно, мы можем рассматривать игру Г так, как будто она состоит только из ходов оЖи о/Я2, . . . G#v-i (т. е. без oMv).

С помощью проведенного рассуждения мы отбросили ход aMv. Повторяя его, мы аналогично можем отбросить последовательно ходы qMv-x, g#v 2, . . . , JiH, наконец, получить определенное значение партии (для каждого игрока 7=1, 2, ... , п).

24.2.2. Для критической оценки этого метода рассмотрим два последних шага c#v-i, gv и предположим, что они являются личными ходами двух различных игроков, скажем соответственно 1 и 2. В этой ситуации мы предполагали, что игрок 2 определенно выберет av, с тем чтобы максимизировать JF2 (ои ... , av b av). Это даст av = av (Фи ... , av 4). Далее, мы предположили также, что игрок 1, выбирая av !, может быть уверен в таком выборе игрока 2. Это значит, что он может без риска заменить JFi (a4, ... , av !, av) (то, что он в действительности получит) на 3Fi (<Ti, a2 > ffv-i> cTv (<*!> o2j . . orv 4)) и максимизировать последнюю величину 1). Но может ли он быть уверен в этом предположении?

Прежде всего, av (a4, . . . , av t) может даже не определяться однозначно: можно предположить, что 2(1, . . . , av-i> av) достигает своего максимума (при данных о, . . . , на нескольких crv. В игре двух лиц с нулевой суммой этого не может быть: поскольку ± = - $F2, два av, которые доставляют одно и то же значение JF2, дают также одно и то же значение tr12). Но уже в игре трех лиц с нулевой суммой $F2 не определяет

г) Так как она является функцией только от о, сг2, . . . , crv 2, crv i из которых cTj, . . . , av 2 к моменту хода o#v i известны, а crv i контролируется игроком 1, он способен ее максимизировать.

Он не может, в каком-либо смысле, максимизировать (at, . . . , av i, o*v), так как эта величина зависит от переменной av, которую игрок 1 не знает и не контролирует.

2) Действительно, в п. 15.8.2 мы воздержались от упоминания F2 вообще: вместо максимизации F2 мы говорили о минимизации Там не понадобилось даже вводить av (a4, .... tfv-i) так как все описывалось операциями шах и min над iFi.

1F\ из-за существования третьего игрока и его 3F$\ Таким образом, здесь впервые появилась возможность того, что различие, которое является несущественным для одного игрока, может быть важным для другого. Этого не могло быть в игре двух лиц с нулевой суммой, где каждый игрок выигрывает в точности то, что проигрывает другой.

Чего должен ожидать игрок 1, если два выбора crv являются одинаково важными для игрока 2, но не являются таковыми для игрока 1? Можно ожидать, что он постарается убедить игрока 2 выбрать то crv, которое более предпочтительно для него. Он может предложить игроку 2 заплатить ему некоторую сумму, вплоть до той разницы, которую он получит от более предпочтительного для себя действия игрока 2.

Допустив это, нужно считаться также с той возможностью, что игрок 1 может даже стараться убедить игрока 2 выбрать crv, которое не максимизирует JF2(cri, . . ov b av), если это изменение вызовет меньший проигрыш игрока 2, чем увеличение выигрыша игрока 1 г). Последний может компенсировать игроку 2 его потери и, возможно даже, отдаст ему некоторую часть своей прибыли.

24.2.3. Если, однако, игрок 1 может предложить это игроку 2, то он должен также рассчитывать на подобное предложение игроку 2 и со стороны игрока 3. Это значит, что вовсе не обязательно игрок 2, выбирая crv, будет максимизировать cF<i(g<l, . . ., о-и °v)- Сравнивая два выбора 0V, надо рассмотреть, будут ли потери игрока 2 покрываться выигрышем игрока 1 или игрока 3, так как это может привести к соглашениям и компенсациям. Таким образом, следует выяснить, какая коалиция будет при данном изменении crv выигрывать - коалиция 1, 2 или коалиция 2, 3.

24.2.4. Сказанное снова приводит к рассмотрению коалиций. Более тщательный анализ привел бы нас к рассуждениям и результатам пп. 22.2, 22.3 и § 23 во всех деталях. Но нет необходимости в проведении этого анализа во всех деталях: в конце концов, это просто частный случай, а рассуждения пп. 22.2, 22.3 и § 23 были справедливы (для игр трех лиц с нулевой суммой) при условии, что допускалось рассмотрение соглашений и компенсаций и тем самым коалиций.

Мы хотели показать, что слабость аргументов п. 15.8.2, обнаруженная уже в п. 15.8.3, становится опасной как раз тогда, когда мы выходим за пределы игр двух лиц с нулевой суммой. А это немедленно приводит к механизму коалиций и т. д., что мы и предвидели в начале этой главы. Все это должно быть ясно из приведенного выше анализа. Таким образом, мы возвращаемся к первоначальному методу исследования игр трех лиц с нулевой суммой, т. е. утверждаем справедливость результатов пп. 22.2, 22.3 и § 23.

) То есть когда это произойдет за счет игрока 3.