Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [ 78 ] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

Глава VI

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ. ИГРЫ П ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ

§ 25. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

25.1. Мотивировка и определение

25.1.1. Обратимся теперь к изучению игры п лиц с нулевой суммой для произвольного п. Опыт, приобретенный в гл. V и касающийся случая п = 3, наводит на мысль, что возможности коалиций игроков будут играть решающую роль в общей теории, которую мы развиваем. Поэтому важно разработать математические средства для количественного выражения этих возможностей .

Поскольку мы имеем точное понятие значения (значения партии) для игры двух лиц с нулевой суммой, мы можем также приписать значение любой данной группе игроков при условии, что ей противопоставлена коалиция всех остальных игроков. В дальнейшем этим несколько эвристическим рассуждениям мы придадим точный смысл. Во всяком случае важно то, что мы таким образом придем к математическому понятию, опираясь на которое можно пытаться строить общую теорию, и что эта попытка в конце концов приведет к успеху.

Сформулируем теперь точные математические определения, которые осуществят эту программу.

25.1.2. Предположим, что мы имеем игру Теп игроками, обозначенными числами 1, 2, . . ., п. Удобно ввести множество всех игроков / = = (1, 2, . . ., п). Не делая пока никаких предсказаний или предположений о вероятном протекании партии этой игры, отметим следующее: если мы разобьем игроков на две группы и рассмотрим каждую группу как абсолютную коалицию (т. е. если мы предположим полную кооперацию внутри каждой труппы), то мы получим игру двух лиц с нулевой суммой г). Точнее: пусть S - некоторое данное подмножество множества /, a -S - его дополнение в /. Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой, которая получается, если все игроки к, принадлежащие S, кооперируются между собой на одной стороне, а все игроки к, принадлежащие -S, кооперируются между собой на другой стороне.

Рассматриваемая таким образом игра Г подпадает под теорию игр двух лиц с нулевой суммой (гл. III). Каждая партия такой игры имеет вполне определенное значение (мы имеем в виду значение v, определенное в п. 17.8.1). Обозначим через v (S) значение партии для коалиции всех игроков к, принадлежащих S (в нашей интерпретации эта коалиция является одним из игроков).

Математическое выражение для v (S) получается следующим образом2).

25.1.3. Пусть имеется игра п лиц с нулевой суммой Г в нормальной форме, как в п. 11.2.3. Каждый игрок к - 1, 2, . . ., п выбирает в ней

*) В точности то же самое мы делали для случая п = 3 в п. 23.1.1. Возможность обобщения уже упоминалась в начале п. 24.1.

2) Здесь повторяется построение из п. 23.2, которое применялось там только в случае п = 3.



ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

переменную Тд (каждый из них не знает об остальных п - 1 выборах) и получает выигрыш

fflk(tlj *2, .. ., тп).

Конечно (игра является игрой с нулевой суммой),

(25:1) 2 aSTftCt та> ...,т )=0.

Области значений переменных суть

тА = 1, ...,рА для к = 1, 2, ..., п.

Тогда в игре двух лиц, которая возникает между абсолютной коалицией всех игроков к £ S (игрок 1) и абсолютной коалицией всех игроков к £ -S (игрок 2), создается следующая ситуация.

Составной игрок 1 имеет набор переменных тд, где к пробегает все элементы из S. Этот набор следует рассматривать как одну переменную, которую мы поэтому будем обозначать одним символом ts. Составной игрок 2 имеет набор переменных т, где к пробегает все элементы из -S. Этот набор также является одной переменной, которую мы обозначим через r~s. Игрок 1 получает выигрыш

(25:2) &С (ts, г-5) - 2 Ш\ (ть ..., т ) = - 2 &Ch (ть ..., ) *);

ues ke-s

игрок 2 получает тот же выигрыш с противоположным знаком.

Смешанной стратегией игрока 1 является вектор g £ .Ss 2), компоненты которого обозначаются через £xs. Таким образом, принадлежность

вектора £ множеству Ss характеризуется условиями

iTs0, SiTs = l-

Смешанной стратегией игрока 2 является вектор r\Sss), компо-

ненты которого обозначаются через \-s- Таким образом, г) £ £p-s характеризуется свойствами

\-s0, S r,T s=l.

Билинейная форма К(, rj), аналогичная (17:2) из п. 17.4.1, имеет вид и5 наконец,

-> -> ->

v (5) = max min К (£, г]) = min max К (£, r\).

-> -> ->

x) Переменные ts и t~s из левой части равенства образуют вместе набор т1? . . ., т , из двух других частей равенства. Таким образом, rs и r~s определяют т1? . . ., хп.

Равенство двух последних выражений является, конечно, лишь констатацией свойства равенства нулю суммы выигрышей.

2) Ps - число возможных наборов rs, т. е. произведение всех где к пробегает по всем элементам из S.

3) P~s - число возможных наборов r~s, т. е. произведение всех где к пробегает все элементы из -S.



25.2. Обсуждение введенного понятия

25.2.1. Введенная выше функция \(S) определена для всех подмножеств S множества / и принимает вещественные значения. Следовательно, в смысле п. 13.1.3 она является числовой функцией множеств. Назовем ее характеристической функцией игры Г. Как мы уже неоднократно указывали, мы предполагаем основать на этой функции построение всей теории игр п лиц с нулевой суммой.

Легко представить себе, что содержится в этом утверждении. Нам придется давать определения всему, что может касаться коалиций между игроками, компенсаций между партнерами в любой коалиции, объединений или борьбы между коалициями и т. д., используя только характеристическую функцию y(S). На первый взгляд эта программа может показаться неразумной, особенно ~ точки зрения следующих двух фактов:

(a) Для определения v(S) была использована фиктивная игра двух лиц которая связана с реальной игрой п лиц лишь через посредство теоретического построения. Следовательно, функция v(S) опирается на гипотетическую ситуацию, а не непосредственно на саму игру п лиц.

(b) Функция \(S) описывает,*что может получить данная коалиция игроков (а именно множество S) от своих противников (от множества -S), но она не указывает, как должен распределяться выигрыш между партнерами к из Sm Это распределение, или дележ , на самом деле непосредственно определяется индивидуальными функциями Жк(хи . . ., тп), к £S, в то время как v(S) зависит от гораздо меньшего. Действительно, величина v(S) определяется лишь их частичной суммой Ж (xs, x~s), и даже еще меньшим, чем эта сумма, поскольку v) является значением в седловой

точке билинейной формы К (£, г]), построенной по Ж (xs, x~s) (см. формулу из п. 25.1.3).

25.2.2. Несмотря на сделанные замечания, мы рассчитываем показать, что характеристическая функция v (S) определяет все, включая дележ (см. (Ь) выше). Анализ игры трех лиц с нулевой суммой, приведенный в гл. V, устанавливает, что непосредственное распределение (т. е. дележ ) на основе функций Жк(х11 . . ., хп) с необходимостью является возмещением в виде некоторой системы компенсаций , которые игроки должны дать друг другу, прежде чем могут образоваться коалиции. Эти компенсации должны существенно зависеть от имеющихся у каждого партнера из коалиции S (т. е. для каждого к £ S) возможностей отказаться от этой коалиции и примкнуть к некоторой другой коалиции Г. (Можно рассматривать также влияние возможных одновременных и согласованных выходов из коалиции различных подмножеств партнеров из S и т. д.) Другими словами, дележ величины v(S) между игроками к £ S должен определяться другой величиной \ (Т)1), а не величинами Жк (х1У . . ., хп). Мы продемонстрировали это в гл. V для игры трех лиц с нулевой суммой. Одна из главных целей теории, которую мы пытаемся построить,- установить то же самое для общей игры п лиц.

25.3. Фундаментальные свойства

25.3.1. Прежде чем разъяснить важность характеристической функции v (S) для общей теории игр, исследуем ее как математическое понятие само по себе. Мы знаем, что она является числовой функцией множеств,

х) Все это в значительной мере - в духе замечаний о роли виртуального существования из п. 4.3.3.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [ 78 ] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227