Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 [ 79 ] 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

§ 25]

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

определенной для всех подмножеств S cz I = (1, . . п). Займемся установлением основных ее свойств.

Оказывается, что эти основные свойства - следующие:

Сначала докажем, что характеристическая функция множества v (S) любой игры обладает свойствами (25:3:а) - (25:3:с).

25.3.2. Простейшим доказательством является концептуальное, которое практически может быть проведено без математических формул. Однако, поскольку мы дали точные математические выражения для v(S) в п. 25.1.3, можно было бы пожелать строго математического формального доказательства - при помощи операций max и min и соответствующих векторных переменных. Подчеркнем поэтому, что наше концептуальное доказательство строго эквивалентно такому желаемому формальному математическому доказательству и что нужный перевод может быть осуществлен без особого труда. Кроме того, поскольку концептуальное доказательство делает основные идеи более ясными, в то время как формальное доказательство потребовало бы громоздких выкладок, мы* предпочитаем в качестве первого дать именно концептуальное доказательство. Читатель, который этим интересуется, может в качестве хорошего упражнения провести формальное доказательство путем перевода нашего концептуального.

25.3.3. Доказательство свойства (25:3:а) х). Коалиция 0 не имеет участников, поэтому она всегда получает выигрыш нуль, следовательно v(0) =0.

Доказательство свойства (25:3:Ь). Величины v(S) и v(-S) определяются одной и той же (фиктивной) игрой двух лиц с нулевой суммой - коалиции S против коалиции -S. Значением партии в такой игре для ее двух составных игроков являются соответственно v(S) и v(-S). Поэтому v(-S) = - v(5). .л

Доказательство свойства (25:3:с). Коалиция S может получить от своих противников (используя надлежащую смешанную стратегию) выигрыш v(iS), но не более. Аналогично коалиция Т может получить выигрыш v(T), но не более. Следовательно, коалиция S [} Т может получить от своих противников выигрыш у(б) + v(T), даже если под-коалиции S и Т и не смогут кооперироваться друг с другом 2). Поскольку

г) Отметим, что и пустое множество 0 мы рассматриваем в качестве коалиции. Читателю следует тщательно это обдумать. Несмотря на кажущуюся странность, этот шаг совершенно безопасен и вполне соответствует духу общей теории множеств. В самом деле, было бы большим техническим неудобством исключить из рассмотрения пустое множество. Конечно, такая пустая коалиция не имеет ни ходов, ни переменных, ни влияния, ни выигрышей, ни потерь. Но это несущественно.

Множество, дополнительное к 0\ т. е. множество всех игроков /, также будет рассматриваться как возможная коалиция. Это также удобно с теоретико-множественной точки зрения. До некоторой степени такая коалиция также может показаться странной, поскольку у нее нет противников. Хотя она имеет много участников, а следовательно, и ходов, и переменных, она также не оказывает никакого влияния (в игре с нулевой суммой) и не имеет ни выигрышей, ни потерь. Но это также несущественно.

2) Заметим, что мы используем здесь условие S f) Т = 0. Если бы множества S и Т имели общие элементы, то мы не могли бы разбить коалицию S {J Т на подкоали-ции S и Т7.

(25:3:а) (25:3:Ь) (25:3:с)

v(0) = O, v(-S)=-v(S), v(S[jT)v(S) + Y(T)1 если S(\T=0.



максимум, который может получить коалиция S [} Т при любых условиях, равен v(S(jr), отсюда следует v (S [} Т) v (S) + v (Т).

Замечание. Это доказательство является почти что повторением доказательства неравенства а + Ь 0 из п. 22.3.2. Свойство (25:3:с) можно даже вывести из этого соотношения. Действительно, разложим / на три взаимно непересекающихся подмножества S, Г, -(S\JT). Рассмотрим три соответствующие (гипотетические) абсолютные коалиции в качестве трех игроков игры трех лиц с нулевой суммой, в которую игра Г переводится таким разложением. Тогда v (S), v (Г), v (S\JT) соответствуют приведенным выше величинам -а, -&, с; следовательно, а -f- Ъ с 0 означает -v(S) - у(Т) + v(S{JT) Ш 0, т. е. v (S (J Т) v (S) + v (Г).

25.4. Непосредственные математические следствия

25.4.1. Прежде чем продолжать, мы выведем из свойств (25:3:а) - (25:3:с) несколько следствий. Эти утверждения будут выведены в том смысле, что они верны для любой числовой функции множеств v (51), которая удовлетворяет условиям (25:3:а) - (25:3:с), независимо от того, является она характеристической функцией игры п лиц с нулевой суммой Г или нет.

(25:4) v (/) = ().

Доказательство1). На основании свойств (25:3:а) и (25:3:Ь) мы имеем v(i) = y ( - 0) - - v (0) =0.

(25:5) Если S{, - попарно непересекающиеся подмножества

множества /, то

v (S, U ... U Sp) v (SJ + ... + v (Sp).

Доказательство получается непосредственно, повторным использованием свойства (25:3:с).

(25:6) Если £ь Sp - разложение множества /, т. е. такие

попарно непересекающиеся подмножества множества /, что

SiUU № = то

v(SJ + ...+v(Sp)0.

Доказательство. По условию Si{] ... U Sp = /, следовательно, v(iSr1U ... U Sp) = 0 на основании (25:4); поэтому (25:6) следует из (25:5).

25.4.2. Утверждения (25:4) - (25:6) являются следствиями свойств (25:3:а) - (25:3:с); в то же время они - и даже некоторая их часть - могут эквивалентно заменить свойства (25:3:а) - (25:3:с). Перейдем к точной формулировке.

(25:А) Условия (25:3:а) - (25:3:с) эквивалентны утверждению (25:6) только для значений р = 1, 2, 3; но (25:6) должно тогда выполняться для р = 1, 2 со знаком =, а для р - 3 - со знаком fg.

Доказательство. (25:6) для р = 2 со знаком = означает V (S) + v (-S) = 0 (Si обозначено через S, так что S2 есть -S), т. е. v (-S) = - v (S), что является свойством (25:3:Ь).

(25:6) для р = 1 со знаком = означает v (/) = 0 (в этом случае множеством Si должно быть /), что является утверждением (25:4). На основании (25:3:Ь) мы получаем (25:3:а) (см. приведенное доказательство утверждения (25:4)).

х) Для функции v (£), возникающей из игры, обе формулы (25:3:а) и (25:4) по смыслу содержатся в сноске 1 на стр. 261.



§ 26]

ИГРА С ЗАДАННОЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ

(25:6) для /?= 3 со знаком означает v (S) + v (Т) + v (- (S[) T))0 (обозначаем St и Sz соответственно через S, Т; тогда множеством £3 является -(S (J Г)), т. е.

-v(-(S[)T))v(S) + v(T).

На основании (25:3:Ь) мы получаем v (S [} Т) t v (S) + v (Г), т. е. <25:3:с).

Итак, наши утверждения в точности эквивалентны конъюнкции свойств (25:3:а) - (25:3:с).

§ 26. ПОСТРОЕНИЕ ИГРЫ С ЗАДАННОЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ

ФУНКЦИЕЙ

26.1. Построение

26.1.1. Докажем теперь утверждение, обратное тому, которое было установлено в п. 25.3.1. Именно, для всякой числовой функции множеств у(5), удовлетворяющей условиям (25:3:а) - (25:3:с), существует игра п лиц с нулевой суммой Г, для которой эта функция y(S) является характеристической.

Во избежание недоразумений удобнее обозначить данную числовую функцию, удовлетворяющую условиям (25:3:а) - (25:3:с), через v0 (S). Мы определим с ее помощью некоторую игру п лиц с нулевой суммой Г и обозначим ее характеристическую функцию через v (S). Тогда нужно будет доказать, что v (S) === v0 (S).

Итак, пусть дана числовая функция множеств v0 (S), удовлетворяющая условиям (25:3:а) - (25:3:с). Определим игру п лиц с нулевой суммой Г следующим образом х).

Каждый игрок к = 1, 2, . . ., п, делая ход, выбирает подмножество Sk cz /, содержащее к. Каждый игрок делает свой выбор независимо от выборов других игроков 2). После этого платежи, которые должны быть сделаны, определяются следующим образом.

Назовем кольцом 3>4) любое множество игроков S, для которого

(26:1) Sb = S при каждом

Всякие два кольца с некоторым общим элементом совпадают 5). Другими словами, совокупность всех колец (которые фактически образовались в партии) является системой попарно непересекающихся подмножеств множества /

х) Эта игра Г является, по существу, более общим аналогом простой мажоритарной игры трех лиц, определенной в п. 21.1. Мы будем сопровождать последующее изложение комментариями, раскрывающими детали этой аналогии.

2) Множество /, состоящее из п элементов, имеет 2п~1 подмножеств £, содержащих к, которые можно пронумеровать индексами х (S) = 1,2, . . ., 2п~1. Если теперь игрок к выбирает вместо множества Sh свой индекс xk = xh (Sk) = 1,2, . . ., 2n-1, то игра приобретает нормальную форму, как в п. 11.2.3. Очевидно, все §к = 2п~1.

3) Кольца являются аналогами пар в п. 21.1; поэтому здесь применима сноска 2 €0 стр. 243; в частности, кольца являются формальным понятием из множества правил игры, ведущим к коалициям, которые влияют на фактическое течение всякой партии.

4) Другими словами, кольцо - это такое множество игроков, в котором каждый игрок выбирает как раз это множество. Аналогия с определением пары в п. 21.1 очевидна. Различия вызваны формальными соображениями: в п. 21.1 каждый игрок должен назвать другой элемент желаемой пары; теперь же мы пред полагаем, что он указывает все кольцо. Более подробный анализ этого отличия был бы достаточно легким, но в нем не видно необходимости.

5) Доказательство: пусть S и Т - два кольца с общим элементом к; тогда на основании (26:1) = S и = Г, и, следовательно, S - Т.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 [ 79 ] 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227