3.4.4. Здесь следует сделать еще одно замечание. Пусть для некоторой физической области найдена удовлетворительная математическая модель в указанном выше смысле и рассматриваемые физические величины согласованы с числами. В этом случае вовсе не обязательно, чтобы описание математической модели давало нам единственный путь согласования физических величин с числами. Иначе говоря, модель может давать целое семейство подобных соответствий - называемых в математике отображениями,- любое из которых можно использовать для целей теории. Переход от одного из этих соответствий к другому приводит к некоторому преобразованию числовых данных, описывающих физические величины. В этом случае мы говорим, что рассматриваемые физические величины описываются числами с точностью до этой системы преобразований. В математике подобные системы преобразований называются группами г).

Примеры подобных ситуаций весьма многочисленны. Так, геометрическое понятие расстояния является числом с точностью до умножения на положительные постоянные множители 2). Такова же ситуация с физической величиной массы. Физическое понятие энергии описывается числом с точностью до линейного преобразования, т. е. прибавления любой постоянной и умножения на любую положительную постоянную 3). Понятие положения определено с точностью до неоднородного ортогонального линейного преобразования 4 5). Векторные понятия определены с точностью до однородных преобразований того же типа 5 6).

3.4.5. Возможны также случаи, когда физическая величина представляет собой число с точностью до любого монотонного преобразования. Так обстоит дело с величинами, для которых существует только естественное отношение больше - и ничего другого. Так было, например, с температурой, пока было известно только понятие теплее 7); то же справедливо для шкалы Мооса твердости минералов; то же справедливо и для полезности, если это понятие основано на идее предпочтения. При виде такого произвола в числовом описании в подобных случаях напрашивается мнение о том, что рассматриваемая величина вовсе не является численной. Представляется, однако, более целесообразным воздержаться от подобных качественных утверждений и вместо этого установить объек-

г) В другом контексте мы встретимся с группами в п. 28.1.1; там же можно найти ссылки на литературу.

2) Иначе говоря, фиксация единицы длины в евклидовой геометрии несущественна.

3) Иначе говоря, в механике несущественна фиксация нуля или единицы энергии. Ср. это с предыдущей сноской. Расстояние обладает естественным нулем - это расстояние от любой точки до нее самой.

4) Это значит, что {zj, х2, х3} заменяется на {xf, х%, х$}, где

я? = aiixi + а12х2 + а13хз + bt, X* = а21Х1 + aZ2x2 + а23х3 + &2> х* = a3ixx -f азгх2 + а33х3 + Ъ3.

Здесь cijj и Ъ1 - постоянные, а матрица (а) является ортогональной.

б) Иначе говоря, если речь идет о положении, то фиксация начала координат или репера в геометрии несущественна; если рассматриваются векторы, то несущественен выбор репера.

6) Это значит, что в приведенной выше сноске 4 все bt = 0. Иногда допустимым является более широкий класс матриц - именно все матрицы с ненулевыми определителями. Рассмотрение этих вопросов нам здесь не понадобится.

7) Но не существовало никакого количественно воспроизводимого метода измерения температуры.

тивным образом, с точностью до какой системы преобразований определено это численное описание. Случай, когда эта система преобразований состоит из всех монотонных преобразований, является, конечно, довольно крайним; различные градации на другом конце этой шкалы даются упомянутыми выше системами преобразований: неоднородными или однородными линейными преобразованиями в пространстве, линейными преобразованиями одной числовой переменной, умножением этой переменной на постоянную 1). В общем, может представиться и случай, когда численное описание является абсолютно строгим, т. е. когда не нужно допускать вообще никаких преобразований 2).

3.4.6. Система преобразований, с точностью до которой данная физическая величина описывается числами, может изменяться во времени, т. е. в зависимости от этапа развития предмета. Так, температура первоначально описывалась числом лишь с точностью до произвольного монотонного преобразования 3). С развитием термометрии (в частности, термометрии гармоничного идеального газа) класс этих преобразований был сужен до линейных, т. е. не хватало лишь абсолютного нуля и абсолютной единицы. Последующее развитие термодинамики зафиксировало даже абсолютный нуль, так что система преобразований в термодинамике состоит только из умножения на постоянные. Эти примеры могут быть дополнены другими, но, по-видимому, нам нет нужды вдаваться в более подробные обсуждения.

Представляется, что ситуация с полезностью имеет сходную природу. Мы можем встать на ту точку зрения, что единственным естественным видом данных в этой области является отношение больше , т. е. понятие предпочтения. В этом случае полезности представляют собой числа с точностью до некоторого монотонного преобразования. В действительности эта точка зрения является в экономической литературе общепринятой; наиболее полное свое отражение она находит в методе кривых безразличия.

Для сужения системы преобразований необходимо обнаружить дальнейшие естественные операции или отношения в области полезности. Так, еще Парето 4) отметил, что достаточно было бы отношения равенства для разностей полезностей; в нашей терминологии это свело бы систему преобразований к линейным преобразованиям 5). Однако поскольку это соотношение не кажется нам в полной мере естественным - иначе говоря, поддающимся интерпретации путем воспроизводимых наблюдений,- это предположение не достигает своей цели.

г) Можно представить себе также и промежуточные случаи более широких, чем указанные, систем преобразований, которые, однако, не содержат всех монотонных преобразований. Различные формы теории относительности дают довольно сложные примеры таких случаев.

2) Говоря обычным языком, это должно быть справедливо для физических величин, для которых можно определить как абсолютный нуль, так и абсолютную единицу. Таков, например, случай с абсолютной величиной (но не вектором!) скорости в тех физических теориях, в которых скорость света играет некоторую нормативную роль,- в максвелловской электродинамике или в специальной теории относительности.

3) Пока было известно только понятие теплее , т. е. естественное отношение больше . Этот вопрос подробно обсуждался нами ранее.

4) V. Pareto, Manuel deconomie politique, Paris, 1907, p. 264.

5) Это в точности то же самое, что Евклид проделал для положения точки на прямой. Понятие предпочтения в теории полезности соответствует отношению лежит справа от в геометрии, а желательное для нас отношение равенства разностей полезности - геометрической конгруэнтности отрезков.

3.5. Принципиальная структура аксиоматического рассмотрения численных полезностей

3.5.1. Неудача одного конкретного приема не исключает возможности достижения той же цели посредством другого приема. Наше основное утверждение состоит в том, что область полезности содержит некоторую естественную операцию, суживающую систему преобразований в точности до такого предела, как это могло бы быть достигнуто при помощи другого приема. Этой операцией является комбинирование двух полезностей с двумя заданными альтернативными вероятностями а, 1 - а. (0<С(х<С1). как это было описано в п. 3.3.2. Этот процесс столь сходен с образованием центров тяжести, упомянутым в п. 3.4.3, что может оказаться выгодным использовать здесь ту же терминологию. Таким образом, для полезностей и и v мы имеем естественное отношение и> и (читается: и предпочтительнее г;) и естественную операцию аи + (1 - a) v (читается: центр тяжести и и v с весами а, 1 - а, или: комбинация и и г; с альтернативными вероятностями а, 1 - а). Если признать существование и воспроизводимую наблюдаемость этих понятий, то наш путь становится ясным - нужно найти соответствие между полезностями и числами, которое переводит отношение и > v и операцию аи + (1 - а) и для полезностей в синонимичные понятия для чисел.

Обозначим это соответствие через

и -> р = v (и),

где - полезность, a v (и) - число, которое наше соответствие ей сопоставляет. Наши требования заключаются в следующем:

(3:1:а) Из u>v следует v (u)>v (и),

(3:1 :Ь) v (аи + (l - a)v)= av (и) + (1 - a) v (v)г).

Если существуют два таких соответствия: (3:2:а) и->p = v(u),

(3:2:Ь) и->р = у(и),

то они устанавливают соответствие между числами (3:3) рр,

которое можно записать также в виде (3:4) v Р = Ф(Р).

Так как соответствия (3:2:а) и (3:2:Ь) удовлетворяют соотношениям? (3:1:а) и (3:1:Ь), соответствие (3:3), т. е. функция ф (р) в (3:4), должно сохранять Отношение2) р > а и операцию ар + (1 - а) °: (ср. сноску 1 на этой стр.). Это означает, что

(3:5:а) Из р>а следует ф(р)>ф(а),

(3:5:Ь) ф (ар+ (1 - а) а) = аф (р) + (1 - а) ф (а).

Следовательно, функция ф (р) должна быть линейной, т. е. (3:6) р = ф (р) = со0р + 1

где о)0 и ©1 - фиксированные числа (постоянные), причем со0 > 0.

х) Отметим, что в каждом из этих случаев в левой части фигурируют естественные понятия для полезностей, а в правой - обычные понятия для чисел. 2) Эти отношения и операция теперь применяются к числам р и а!