Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [ 80 ] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

Каждый игрок, не содержащийся ни в каком из определенных так колец, образует сам по себе (одноэлементное) множество, которое называется сольным множеством. Таким образом, совокупность всех колец и сольных множеств (которые действительно образовались в партии) является разложением множества /, т. е. системой попарно непересекающихся подмножеств множества /, сумма которых есть /. Обозначим эти множества через Ci, . . . , Ср, а число элементов в них соответственно через пи . . . . ., пр.

Рассмотрим теперь игрока к. Он принадлежит одному из этих множеств Ci, . . ., Ср, скажем Cq. Тогда игрок к получает сумму

(26:2) J Vo(Ce) i2 Md)1)-

q T=l

На этом описание игры Г закончено. Покажем теперь, что игра Г является игрой п лиц с нулевой суммой и что она имеет нужную характеристическую функцию v0 (S).

26.1.2. Доказательство того, что построенная игра является игрой с нулевой суммой. Рассмотрим одно из множеств Cq. Каждый из nq игроков этого множества получает один и тот же выигрыш, выражаемый формулой (26:2). Следовательно, игроки из Cq получают вместе-

(26:3) Vo(Cg) 2 Уо(Сх).

Чтобы найти полную величину выигрыша, которую получают все игроки 1, . . ., п, нужно просуммировать выражение (26:3) по всем множествам Cq, т. е. по всем q = 1, . . ., р. Эта сумма, очевидно, равна

2 *o(Cq)- Sv0(CT),

т. е. нулю 2).

Доказательство того, что характеристической функцией игры является v0 (S). Обозначим характеристическую функцию игры Г через v (S). Напомним, что условия (25:3:а) - (25:3:с) для v(S) выполняются, так как эта функция является характеристической, а для v0 (S) - по предположению. Поэтому условия (25:4) - (25:6) также выполняются для каждой из функций v(S) и v0 (S).

Докажем сначала, что

(26:4) v (S) v0 (S) для всех подмножеств Sczl.

Если S пусто, то обе стороны неравенства равны нулю на основании свойства (25:3:а), поэтому можно предполагать, что S не пусто. В этом случае-коалиция всех игроков к £ S может влиять на выборы множеств Sk щк, чтобы наверняка сделать S кольцом. Для этого достаточно каждому к G S* выбрать Sk = S. Что бы ни делали другие игроки (из - S), S будет, следовательно, одним из множеств (колец или сольных множеств)

г) Течение партии, т. е. выборы Si4 . . ., Sn или, в смысле сноски 2 на стр. 263., выборы т1? . . ., тд, определяют множества Cj, . . ., Cpj а следовательно, и выражение (26:2). Конечно, функция (26:2) совпадает с функцией $bk (т4, . . ., хп) из общей теории.



Ci, . . Ср, скажем Cq. Таким образом, каждый игрок к £ Cq = S получает выигрыш (26:2); следовательно, вся коалиция S получает (26:3). Далее, мы знаем, что система множеств

Ci, ... Ср

является разложением множества /; поэтому на основании (25:6),

2 vo (Сх) 0. Другими словами, выражение (26:3) оказывается

v0 (Cq) = v0 (S) 2). Иначе говоря, игроки, принадлежащие коалиции S, могут обеспечить себе по меньшей мере выигрыш v0 (S) независимо оттого, что делают игроки из -S. Это означает, что v (S) v0 (S), т. е. (26:4).

Теперь мы можем установить требуемую формулу (26:5) v(S)=v0(S).

Применим (26:4) к -S. Согласно свойству (25:3:Ь) это означает -v (S) £г -v0 (S), т. е.

(26:6) v(S)v0(S).

(26:4) и (26:6) вместе дают (26:5) 2).

26.2. Резюме

26.2. Сформулируем кратко полученные результаты. В пп. 25.3- 26.1 мы получили полное математическое описание характеристических функций y(S) всех возможных игр п лиц с нулевой суммой Г. Если мы покажем, что предположение, высказанное в п. 25.2.1, верно, т. е. если мы окажемся в силах построить всю теорию игр на основе глобальных свойств коалиций, выраженных функцией v(S), то наша характеризации функции v(S) представит собой точную математическую основу всей теории. Следовательно, характеризация функции v(S) и функциональные соотношения (25:3:а) - (25:3:с) имеют особую важность.

Поэтому мы приведем сначала математический анализ смысла и непосредственных свойств этих соотношений. Будем называть функции удовлетворяющие этим соотношениям, характеристическими функциями, даже если они рассматриваются сами по себе, без связи с какой-либо игрой.

§ 27. СТРАТЕГИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ. НЕСУЩЕСТВЕННЫЕ И СУЩЕСТВЕННЫЕ ИГРЫ

27.1. Стратегическая эквивалентность. Редуцированная форма

27.1.1. Рассмотрим игру п лиц с нулевой суммой Г с характеристической функцией v (S). Пусть задана также система чисел а\, . . . , а%. Образуем тогда новую игру Г, которая согласуется с игрой Г во всем кроме следующего: Г играется точно так же, как и Г, но когда она закан-

г) Отметим, что выражение (26:3), т. е. полный выигрыш, полученный коалицией S, не определяется выборами игроков только из S. Но мы установили для нее нижнюю границу v0 (S), которая определена.

2) Заметим, что в нашем обсуждении оптимальных стратегий (фиктивной) игры двух лиц между коалициями S и -S (проведенное выше доказательство действительно привело к ней) мы рассматривали только чистые стратегии, но не смешанные. Другими словами, все эти игры двух лиц оказались вполне определенными.

Это, однако, не имеет отношения к той цели, которую мы сейчас преследуем



чивается, игрок к получает в Г выигрыш, который он должен был бы получить в Г (после той же партии), плюс а%. (Заметим, что а?, . . ., а°п - абсолютные константы!) Таким образом, если игра Г представлена в нормальной форме, как в п. 11.2.3, с функциями &Ch (ть г/п), то Г также представлена в нормальной форме с соответствующими функциями

Ш, и (т1? ..., тп) = oKh (т4, ..., хп) +a°k.

Очевидно, Г будет игрой п лиц с нулевой суммой (одновременно с Г) тогда и только тогда, когда

(27:1) 2 1 = 0,

что мы и будем предполагать.

Обозначим характеристическую функцию игры Г через v(S); тогда, очевидно,

(27:2) v(5) = v(5)+2a).

k£S

Ясно, что стратегические возможности игр Г и Г совершенно одни и те же. Единственное различие между этими двумя играми состоит только в добавлении после каждой партии фиксированных платежей а%. И эти платежи абсолютно фиксированы; ничто из того, что могут сделать какие-нибудь игроки или все они, не изменит их. Можно было бы также сказать, что положение каждого игрока сдвигается на фиксированную величину, но что их стратегические возможности, стимулы и т. д. совершенно не меняются. Другими словами, если две характеристические функции v(S) и v{S) связаны между собой соотношением (27:2) 2), то всякая игра с характеристической функцией v (S) со всех стратегических точек зрения полностью эквивалентна некоторой игре с характеристической функцией у(5), и обратно. Это значит, что v (S) и v (S) описывают два стратегически эквивалентных семейства игр. В этом смысле v (S) и v (S) могут сами считаться эквивалентными.

Заметим, что все эти рассуждения не зависят от предположения, воспроизведенного в п. 26.2, согласно которому все игры с одной и той же функцией v (S) имеют одни и те же стратегические характеристики.

27.1.2. Преобразование (27:2) (нет необходимости принимать во внимание свойство (27:1), см. сноску 2 на этой стр.) заменяет, как мы видели, функцию множеств w(S) на функцию множеств v(S), вполне стратегически эквивалентную ей. Поэтому назовем это отношение стратегической эквивалентностью.

Перейдем теперь к математическим свойствам понятия стратегической эквивалентности характеристических функций.

Желательно выбрать из каждого семейства стратегически эквивалентных характеристических функций v(S) некоторого особенно простого

г) Истинность этого соотношения становится очевидной, если вспомнить, как были определены функции v(S) и v(S) с помощью коалиции S. Легко также доказать

(27:2) формально с помощью функций $Ch (ги xn)i (r4l . . ., хп).

2) Из этих условий следует (27:1), и нот необходимости его отдельно постулировать. В самом деле, на основании свойства (25:4) из п. 25.4.1 v (/) = v (/) = 0; следовательно, (27:2) дает

ой = 0. т. е. . а£=0.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [ 80 ] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227