представителя v (S). Основная мысль состоит в том, чтобы по заданной функции v(S) можно было легко найти этого представителя v(S), а также чтобы две функции y(S) и v(S) были бы стратегически эквивалентны тогда и только тогда, когда их представители v(S) и v(S) совпадают. Кроме того, мы можем попытаться выбирать этих представителей v(S) таким образом, чтобы анализ их был проще, чем анализ исходной функции v (S).

27.1.3. Когда мы исходили из характеристических функций v (S) и v (£), понятие стратегической эквивалентности могло опираться только на соотношение (27:2); свойство (27:1) следовало отсюда (см. сноску 2, стр. 266). Однако теперь мы будем исходить лишь из одной характеристической функции v(S) и будем рассматривать все возможные стратегически эквивалентные ей функции v(£), для того чтобы выбрать среди них представителя v(S). Отсюда возникает вопрос: какие системы aj, . . . . . ., можно использовать, т. е. для каких из этих систем (используя соотношение (27:2)) тот факт, что v(S) является характеристической функцией, влечет за собой то же самое для v(/S)? Ответ получается сразу как из того, что мы говорили до сих пор, так и в результате непосредственной проверки: условие (27:1) является необходимым и достаточным х).

Таким образом, при отыскании представителя v (S) мы имеем п неопределенных величин aj, . . ., ап, но aj, . . . , ай подчиняются ограничению (27:1). Следовательно, мы имеем в нашем распоряжении п - 1 свободных параметров.

27.1.4. Итак, можно рассчитывать подчинить искомого представителя v (S) п - 1 требованиям. В качестве таковых возьмем уравнения

(27:3) ;((1))=v((2))=...=v((n)) ),

т. е. потребуем, чтобы каждая коалиция, состоящая из одного лица (каждый игрок, предоставленный самому себе), имела бы одно и то же значение.

Можно подставить (27:2) в (27:3) и взять полученное вместе с (27:1); тем самым будут сформулированы все наши требования относительно aj, . . ., ап- Так мы получаем

{27:1*) 2 afc = 0,

(27:2*) v ((1)) + а\ = v ((2)) + a° = ... = v ((п)) + a°n.

Легко проверить, что эти уравнения имеют ровно одно решение а5, ..., a :

(27:4) а% = - v ((к)) + ~ 2 v ((/)) в).

*) Это детальное обсуждение может показаться педантичным. Мы привели его только для того, чтобы подчеркнуть, что, когда мы исходим из двух характеристических функций v(S) и v.S), условие (27:1) становится лишним; если мы, однако, исходим только из одной характеристической функции, то условие (27:1) необходимо.

2) Отметим, что здесь имеется п - 1, а не п уравнений.

3) Доказательство. Обозначим общее значение п выражений из (27:2*) через р. Тогда (27:2*) приводит к а% = - v((&)) -f Р, и, следовательно, из (27:1*) получаем

fe=i k=i

Итак, мы можем сказать следапющее.

(27:А) Будем называть характеристическую функцию v (S) редуцированной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям (27:3). Каждая характеристическая функция v (S) стратегически эквивалентна ровно одной редуцированной функции v (S). Эта функция v (S) определяется формулами (27:2) и (27:4), и мы назовем ее редуцированной формой функции \(S).

Редуцированные функции и будут теми представителями, которых мы отыскиваем.

27.2. Неравенства. Величина у

27.2. Рассмотрим редуцированную характеристическую функцию v (S). Обозначим общее значение п выражений из (27:3) через -7, т. е. положим

(27:5) - у = v ((!)) = v ((2)) = ... = v ((л)).

Систему равенств (27:5) можно записать также следующим образом:

(27:5*) v (S) = - у для любого одноэлементного множества S. Используя (25:3:Ь) из п. 25.3.1, преобразуем (27:5*):

(27:5**) v (S) - у для любого (п-1)-элементного множества S.

Обратим еще раз внимание на то, что любое из условий (27:5), (27:5*), (27:5**), кроме того, что оно определяет у, является также переформулированием условия (27:3), т. е. характеризацией того, что функция v (S) редуцированная.

Применим теперь (25:6) из п. 25.4.1 к одноэлементным множествам iS!=(l), Sn=(ri). (Так, что р=п.) Тогда (27:5) даег -пу 0, т. е.

(27:6) 70.

Рассмотрим далее произвольное подмножество S cz /. Пусть р - число его элементов: S = (kl9 . . ., кр). Применим теперь к одноэлементным множествам 54 = (ftj), . . ., Sp = (кр) (25:5) из п. 25.4.1. Тогда (27:5) дает

v(S)-py.

Применим это также к множеству -S, содержащему п~р элементов. На основании (25:3:Ь) из п. 25.3.1 указанное выше неравенство перейдет в неравенство

- v (5) - (п - р) у, т.е. y (S)(n - p)y. Объединяя последние два неравенства, мы получаем

(27:7) -ру r v (S) (п - р) у для любого -элементного множе-

ства S.

(27:5*) и равенство v (0) = 0 (т. е. (25:3:а) из п. 25.3.1) могут быть также сформулированы иначе:

(27:7*) Для р = 0, 1 в первом соотношении из (27:7) имеем знак=ч

(27:5**) и равенство v (/) =0 (т. е. (25:4) из п. 25.4.1) могут быть также сформулированы иначе:

(27:7**) Для р = п - 1, п во втором соотношении из (27:7) мы имеем знак =.

27.3. Несущественность и существенность

27.3.1. При анализе этих неравенств лучше всего различать теперь два случая. Это различие основано на неравенстве (27:6).

Первый случай: у = 0. Тогда (27:7) дает v (S) = 0 для всех S. Это совершенно тривиальный случай, когда игра, очевидно, лишается дальнейших возможностей. Нет ни поводов для каких-либо коалиционных стратегий, ни элементов борьбы или конкуренции: каждый игрок может играть сам по себе, поскольку нет преимуществ ни в одной из коалиций. В самом деле, каждый игрок может получить выигрыш нуль независимо от того, что делают другие игроки. И ни в какой коалиции все ее участники не могут получить вместе больше чем нуль. Следовательно, совершенно очевидно, что значение партии в такой игре равно нулю для каждого игрока.

Если произвольная характеристическая функция v (S) стратегически эквивалентна такой характеристической функции v(5), т. е. если ее редуцированной формой является v (S) = 0, то мы находимся в тех же условиях, только сдвинутых на а% для игрока к. Партия игры Г с этой характеристической функцией v (S) имеет, очевидно, значение а% для игрока к: он может получить этот выигрыш даже один, независимо от того, что делают другие игроки. Никакая коалиция в целом не могла бы добиться большего.

Игру Г, у которой характеристическая функция v (S) имеет такую редуцированную форму v (S) = 0, назовем несущественной *).

27.3.2. Второй случай: у > 0. Изменяя единицу измерения 2), мы можем сделать у = 1 3). Это, очевидно, не влияет на аспекты игры, важные со стратегической точки зрения, и иногда это вполне удобно делать. Однако здесь мы делать этого не будем.

В рассматриваемом случае игроки при всех обстоятельствах имеют достаточные основания пожелать образования коалиций. Всякий игрок, предоставленный самому себе, теряет сумму 7 (т. е. он получает -7, см. (27:5*) или (27:7*)), в то время как любые п - 1 игроков, кооперируясь, выигрывают вместе эту сумму 7 (т. е. их коалиция получает 7, см. (27:5**) или (27:7**)).

Замечание. Это, конечно, не исчерпывает полностью все возможности. Могут существовать также другие коалиции, содержащие больше одного, но меньше п - 1 игроков, к которым следует стремиться. (Если это происходит, то п - 1 должно превосходить 1 более чем на 1, т. е. должно быть п =s 4.) Это зависит от функции v (S) для множеств S с числом элементов больше 1, но меньше п - 1. Вместе с тем только полная и детальная теория игр может правильно оценить роль этих коалиций.

х) То, что это совпадает со значением, придаваемым слову несущественный в п. 23.1.3 (для частного случая игры трех лиц с ненулевой суммой), будет видно в конце п. 27.4.1.

2) Если производятся платежи, то мы имеем в виду денежную единицу. В более широком смысле это могла бы быть единица полезности. См. п. 2.1.1.

3) Это было бы невозможно в первом случае, когда у = 0.