оказывается отрицательным. Для любого п i=r 4 можно фактически определить некоторую игру Гр, в которой для каждого р из интервала (27:9) функция v (S) принимает оба значения -ру и (п - р) у для соответствующих р-элементных множеств S. Мы ограничимся здесь этим указанием, не вдаваясь в дальнейшие детали.

Резюмируем. Фактические разветвления нашей теории игр появляются только тогда, когда гг4. (См. замечание на стр. 269, где разъясняется эта же идея.)

27.6. Векторные операции над характеристическими функциями

27.6.1. Представляется уместным закончить этот параграф некоторыми замечаниями, носящими более формальный характер.

Условия (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1, которые описывают характеристическую функцию v(S), имеют несколько векторный характер: к ним применимы аналогии таких векторных операций, определенных в п. 16.2.1, как умножение на скаляр и сложение векторов. Опишем это более точно.

Умножение на скаляр: если дана постоянная Ои характеристическая функция v(S), то tv(S) = u (S) также является характеристической функцией. Сложение векторов: если даны две характеристические функции v (S) и w (S) то v (S) + w (S) = z (S) также является характеристической функцией. Единственное отличие от соответствующих определений п. 16.2 состоит в том, что здесь мы должны требовать t 0.

Замечание 1. В самом деле, при г < 0 нарушается свойство (25:3:с) из п. 25.3.1. Заметим, что умножение исходной функции o%£h (tl7 . . ., хп) на t < 0 было бы вполне допустимо. Проще всего рассмотреть умножение на t = -1, т. е. изменение знака. Но изменение знака функции 6%£k (т4, . . ., тя), вообще говоря, не соответствует изменению знака v(S). Это должно быть ясно на основании здравого смысла, так как переход от выигрышей к проигрышам изменяет все стратегические рассмотрения весьма сложным образом. (Такой переход и некоторые его следствия знакомы шахматистам.) Формальное обоснование нашего утверждения может быть найдено при помощи исследования определений из п. 25.1.3.

Замечание 2. Векторные пространства с таким ограничением для умножения на скаляр называются иногда положительными векторными пространствами. У н,ас нет необходимости вдаваться в построение их систематической теории.

27.6.2. Обе определенные выше операции допускают непосредственную практическую интерпретацию.

Умножение на скаляр. Если t = 0, то мы получаем u(S) = 0, т. е. бессодержательную игру, рассмотренную в п. 27.3:1. Поэтому можно при-, яять t > 0. В этом случае наша операция превращается в изменение единицы измерения полезности, а именно в умножение ее на число t.

Сложение векторов. Эта операция соответствует суперпозиции игр, соответствующих характеристическим функциям v (S) и w (S). Можно представить себе, что каждый из игроков 1, 2, . . ., п одновременно, но независимо участвует в этих двух играх. Иначе говоря, Предполагается, что никакой ход, сделанный в одной игре, не оказывает влияния на другую игру в той мере, в какой это касается ее правил. В этом случае характеристическая £ функция составной игры является, очевидно, суммой характеристических функций составляющих игр 2).

х) Все, о чем здесь говорится, должно относиться к одному и тому же я, а также к одному и тому же множеству игроков / = (1, 2, . . . , тг).

2) Это должно быть интуитивно очевидно. Точная проверка этого факта с помощью п. 25.1.3 реальных трудностей не представляет, но требует довольно громоздких обозначений.

27.6.3. Мы не имеем в виду проводить систематическое исследование этих операций, т. е. анализировать их влияние на стратегические ситуации в играх, в которых они применяются. Может оказаться полезным, однако, сделать по этому поводу несколько замечаний, которые ни в какой мере не являются исчерпывающими.

Заметим, прежде всего, что можно столь же непосредственно интерпретировать комбинации операций умножения векторов на скаляр и их сложения. Так, характеристическая функция

(27:10) z(S) ~tv(S) + sw(S)

отвечает игре, возникающей в результате суперпозиции игр с характеристическими функциями v(S) и w(S), если предварительно умножить единицы измерения полезности в этих играх соответственно на t и s.

Если s = 1 - t, то (27:10) соответствует образованию центра тяжести в смысле (16:А:с) из п. 16.2.1.

Из рассуждений в п. 35.3.4 (см., в частности, замечание на стр. 319) станет видно, что в отношении стратегий даже эта кажущаяся элементарной операция может иметь очень сложные последствия.

Отметим, далее, что существуют такие случаи, когда наши операции не имеют стратегических последствий.

Первый случай: одно лишь умножение на скаляр t > 0, изменяющее только единицу измерения, не влечет таких последствий.

Второй случай (более важный): стратегическая эквивалентность, рассмотренная в п. 27.1, является суперпозицией. Мы переходим при этом от игры с функцией v (S) к стратегически эквивалентной игре с функцией v(Sy при помощи суперпозиции первой игры и несущественной игры *). (См. (27:1) и (27:2) из п. 27.1.1, а относительно несущественности - п. 27.3.1 и (27:С) из п. 27.4.2.) Это можно выразить следующим образом: мы знаем, что несущественная игра является игрой, в которой коалиции не играют роли. Суперпозиция такой игры с другой игрой не нарушает стратегической эквивалентности, т. е. она оставляет стратегическую структуру этой игры неизменной.

§ 28. ГРУППЫ, СИММЕТРИЯ И БЕЗОБИДНОСТЬ 28.1. Подстановки, их группы и их воздействие на игру

28.1.1. Рассмотрим теперь роль симметрии или, более широко, результаты перестановки игроков 1, . . ., п или их номеров в игре п лиц Г. Естественно, это будет обобщением соответствующего исследования, проведенного в п. 17.11 для игры двух лиц с нулевой суммой.

Этот анализ начинается с того, что в основном является повторением шагов, предпринятых в п. 17.11 для п = 2. Но поскольку перестановки символов 1, . . , п для произвольного п дают гораздо большее число возможностей, чем для п = 2, мы должны рассмотреть их более систематически.

Рассмотрим п символов 1, . . ., п. Образуем некоторую подстановку Р этих символов. Подстановка Р описывается указаниями, в какой символ ip(ip = l, . . ., п) она переводит символ i (i = 1, . . ., п).

г) С характеристической функцией w(S) == ak, к тогда в наших обозначениях

fees

Таким образом, мы пишем:

(28:1) Р: i->ip

или, используя полное перечисление,

(28:2, Р: 2- - V>.

Некоторые из подстановок заслуживают особого упоминания.

(28:А:а) Тождественная подстановка 1п, которая оставляет каждое i (i = 1, . . ., п) неизменным: i ->- iIn = i.

(28: А: Ь) Произведение PQ двух подстановок Р и Q, состоящее в выполнении сначала Р, а затем Q: i ->- ip(? = (ip)Q.

Число всех возможных подстановок равно факториалу п,

п! = 1.2...л,

и все вместе они образуют симметрическую группу подстановок 2Л. Всякая подсистема G с: 2Л, удовлетворяющая двум условиям:

(28:А:а*) In£G,

(28:А:Ь*) PQ£G, если P£G и <?£G,

является группой подстановок.

Подстановка Р переводит всякое подмножество S с:. I = (1, . . . , п) в другое подмножество SP2).

Замечание. Серьезное и развернутое изложение теории групп можно найти в следующих книгах: L. С. Mathewson, Elementary Theory of Finite Groups, Boston, 1930; W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order, 2nd Ed., Cambridge, 1911; A. S p e i s e r, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 3rd Ed., Berlin, 1937.

Мы не будем нуждаться в каких-либо особых результатах, или понятиях теории групп и упомянули вышеуказанную литературу только для такого читателя, который может пожелать получить более глубокое представление об этом предмете.

Хотя мы не собираемся связывать наше изложение со всеми сложными понятиями теории групп, тем не менее мы ввели некоторые из ее основных терминов по следующей причине. Подлинное понимание природы и структуры симметрии невозможно без близкого знакомства хотя бы с элементами теории групп. Мы хотим путем использования правильной терминологии подготовить к этому читателя, желающего продвинуться в этом направлении.

Для ознакомления с более полным изложением связи между симметрией итеорией групп см. Н. Weyl, Symmetry, Journ. Washington Acad, of Sciences, vol. XXVIII (1938), pp. 253ff.

28.1.2. После этих общих и подготовительных замечаний мы приступаем теперь к применению введенных понятий к произвольной игре п лиц Г.

Выполним подстановку Р над символами 1, . . ., п, обозначающими игроков игры Г. Другими словами, обозначим игрока к = 1, . . ., п через кр вместо к; это преобразует игру Г в другую игру Гр. Замена игры Г на игру должна оказать свое влияние в двух отношениях: на действие, которое каждый игрок совершает в течение партии, т. е. на индекс к переменной %k, которую каждый игрок выбирает; и на исход

(1 2 \ 2 Л Тожде-

v , /1, 2, . . ., л\

ственнои (см. ниже) является подстановка in = I

2) Если S = (ки . . ., кр), то SP = (kf, . . .,