*) Конечно, общая игра п лиц при этом еще остается, но мы сможем решать ее с помощью игр лиц с нулевой суммой. Решающим шагом при этом будет переход к играм т/г лиц с нулевой суммой.

В терминологии п. 17.11.2 это означает, что игра Г является безобидной. Обобщим это понятие. Игра п лиц Г называется безобидной, если ее характеристическая функция v (S) обладает свойством (28:9), т. е. если она является функцией \р из (28:10). Далее, как и в п. 17.11.2, это понятие безобидной игры выражает то, что действительно является существенным в понятии симметрии. Следует помнить, однако, что из этого понятия безобидности и, аналогично, из понятия полной симметрии игры может следовать, а может и не следовать, что все отдельные игроки могут ожидать одну и ту же судьбу в отдельной партии (при условии, что они играют хорошо). Этот вывод был справедлив при п = 2, но не при п 3! (См. п. 17.11.2 для первого случая и замечаний 1 и 2 на стр. 245 для второго.)

28.2.3. Отметим, наконец, что на основании (27:7), (27:7*), (27:7**) из п. 27.2 и на основании рис. 30, все редуцированные игры симметричны и, следовательно, безобидны при п = 3, но не при п 4. (См. обсуждение в п. 27.5.2.) Далее, ничем не ограниченная игра п лиц с нулевой суммой сводится к своей редуцированной форме при помощи фиксированных дополнительных платежей а4, . . ., ап (соответственно для игроков 1, . . ., п), как это описано в п. 27.1. Следовательно, небезобидность в игре трех лиц с нулевой суммой, т. е. то, что действительно важно в ее асимметрии, полностью выражается этими величинами а1? а2, аз, т. е. фиксированными определенными платежами. (См. также основные значения а!, Ъ, с из п. 22.3.4.) В игре п лиц с нулевой суммой с пА это уже не всегда возможно, поскольку редуцированная форма не должна обязательно быть безобидной. Это значит, что в такой игре могут существовать гораздо более фундаментальные различия между стратегическими состояниями игроков, которые не могут быть выражены при помощи а4, . . ., ап, т. е. при помощи фиксированных, определенных платежей. Все это станет совершенно ясно в гл. VII В этой же связи полезно также вспомнить замечание на стр. 269.

§ 29. ПОВТОРНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ИГРЫ ТРЕХ ЛИЦ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ

29.1. Качественные рассмотрения

29.1.1. Теперь мы подготовлены к главному: сформулировать прин ципы теории игр п лиц с нулевой суммой х). Характеристическая функция v (£), которую мы определили в предыдущих параграфах, является необходимым средством для этой операции.

Наши рассуждения будут такими же, как и прежде: мы должны выбрать частный случай, который послужит основой для дальнейшего исследования. Это будет такой случай, который мы уже рассматривали и который мы тем не менее считаем достаточно типичным для общего случая. Анализируя (частичное) решение, найденное в этом частном случае, мы попытаемся затем выявить те правила, которые управляют общим случаем. После того, что мы сказали в пп. 4.3.3 и 25.2.2, должно представляться правдоподобным, что таким частным случаем оказывается игра трех лиц с нулевой суммой.

29.1.2. Рассмотрим снова рассуждение, на основании которого было получено решение игры трех лиц с нулевой суммой. Очевидно, представляет интерес только случай существенной игры. Мы знаем теперь, что можно также рассматривать эту игру в ее редуцированной форме и что мы. можем выбрать у = 1 1). Характеристическая функция в этом случае полностью определена, как это было установлено во втором случае в п. 27.5.2:

(29:1) v(S)

-1 1

когда S имеет

элементов2)

Мы видели, что в этой игре все решается сформированными коалициями (двух лиц), и наши рассуждения 3) привели к следующим главным результатам.

Здесь можно образовать три коалиции, и соответственно три игрока закончат партию с результатами, приведенными в табл. 23.

Таблица 23

Это решение требует интерпретации; в частности, очевидны следующие замечания 4). 29.1.3.

(29:А:а) Три распределения, указанные выше, соответствуют всем стратегическим возможностям игры.

(29:А:Ь) Ни одно из распределений не может рассматриваться само по себе как решение; именно система всех трех распределений и их соотношение между собой действительно составляют решение.

(29: А:с) Эти три распределения обладают, в частности, устойчивостью , о которой мы говорили до сих пор только очень бегло. На самом

х) См. пп. 27.1.4 и 27.3.2.

2) В обозначениях п. 23.1.1 это означает, что а = Ъ = с = 1. Общая часть упомянутых рассуждений содержалась в пп. 22.2, 22.3 и в § 23. Приведенная конкретизация возвращает нас к более раннему (более частному) случаю из п. 22.1. Таким образом, наши рассмотрения из п. 27.1 (о стратегической эквивалентности и о редуцировании) фактически достигают того же эффекта в случае игры трех лиц с нулевой суммой. Они сводят, как установлено выше, общий случай к предыдущему частному случаю.

3) В пп. 22.2.2 и 22.2.3; на самом деле они являются просто разработкой изложенного в пп. 22.1.2 и 22.1.3.

4) Эти замечания снова возвращают нас к рассмотрениям из п. 4.3.3. В связи с (29:A:d) можно также вспомнить вторую половину п. 4.6.2.

деле, никакое равновесие не может быть найдено помимо этих трех распределений; поэтому следовало бы ожидать, что любой вид переговоров между игроками всегда должен в итоге приводить к одному из этих распределений.

(29:A:d) Снова обращает на себя внимание то, что эта устойчивость является характеристикой только всех трех распределений, рассматриваемых вместе. Ни одно из них само по себе ею не обладает; каждое распределение, взятое в отдельности, можно было бы расстроить, если бы другая коалиция расширилась до необходимого большинства игроков.

29.1.4. Перейдем теперь к поискам точной формулировки тех эвристических принципов, которые приводят к решениям из табл. 23, помня при этом все время замечания (29:А:а) - (29:A:d).

Более точная формулировка интуитивно распознаваемой устойчивости системы трех распределений табл. 23 (которая должна быть кратким изложением того, о чем говорилось в сноске 3 на стр. 280) возвращает нас к тому положению, в котором мы уже находились раньше при качественных исследованиях Оно может быть представлено в следующем виде:

(29:В:а) Если трем игрокам будет предложена для рассмотрения какая-либо иная схема распределения, то она встретит отказ по следующей причине: достаточное число игроков 2) предпочтет, в своих собственных интересах, хотя бы одно из распределений решения (см. табл. 23); эти игроки убеждены или могут быть убеждены 3) в возможности получения преимуществ от этого распределения.

(29:В:Ь) Если же предложено одно из распределений решения, то такой группы игроков не окажется.

Переходим к более точному обсуждению достоинств этого эвристического принципа.

29.2. Количественные рассмотрения

29.2.1. Предположим, что р1? р2, Рз описывают возможный способ распределения между игроками 1, 2, 3. Другими словами,

Pl + p2 + p3=0.

Тогда, поскольку по определению v ((£)) (= - 1) является выигрышем, который игрок i может себе обеспечить (независимо от того, что делают все остальные), он, конечно, не допустит какого-либо распределения, в котором pf < v ((г)). Предположим поэтому, что

P*iv((0) = -i.

Мы можем переставить игроков 1, 2, 3 так, чтобы было

PlP2P3.

Допустим теперь, что р2 < 1/2. Тогда тем более рз<1/2. Следовательно, оба игрока 2 и 3 предпочтут последнее распределение из перечнелен-

х) Эти представления проникают во все рассуждения пп. 4.4-4.6, но они выступают более конкретно в пп. 4.4.1 и 4.6.2.

2) В данном случае, конечно, два.

3) Что означает эта убежденность , было обсуждено в п. 4.4.3. Последующее объяснение сделает это совершенно ясным.