ных в табл. 23 *), где они оба получат больший выигрыш 1/2 2). Кроме того, ясно, что они могут получить выгоду от этого распределения (независимо от того, что делает третий игрок), так как выигрыши 1/2, 1/2, которые оно им предназначает, вместе не превосходят v ((2, 3)) = 1.

Если, наоборот, р2 1/2 то и pi 1/2. Поскольку р3 > - 1, это возможно только в том случае, когда pt = р2 = 1/2 и р3 = - 1, т. е. когда мы имеем первое распределение табл. 23 (см. сноску 1 на этой стр.).

Это устанавливает (29:В:а) из п. 29.1.4. Утверждение (29:В:Ь) получается непосредственно. Именно в каждом из трех распределений табл. 23 наверняка существует игрок, который желает улучшить свое положение 3), но, будучи в одиночестве, он не в состоянии это осуществить. Ни один из двух возможных его партнеров не приобретает ничего, отказываясь от своего уже имеющегося союзника и объединяясь с неудовлетворенным игроком: каждый из них и так получает 1/2, и они не могут получить больше ни при каком другом распределении из табл. 23 4).

29.2.2. В этот вопрос можно внести дальнейшую ясность, развивая некоторые эвристические соображения.

Мы видим, что неудовлетворенный игрок не находит никого, кто хотел бы добровольно стать его партнером, и он не может никому предложить положительную побуждающую причину к нему присоединиться, если только не предложит уступить более, чем 1/2 дохода от их будущей коалиции. Причина, по которой такое предложение следует рассматривать как неэффективное, может быть выражена двумя способами: по чисто формальным основаниям это предложение можно исключить, так как оно соответствует распределению, не содержащемуся в табл. 23; реальным субъективным мотивом, по которому любой предполагаемый партнер считал бы неблагоразумным 5) участвовать в коалиции при таких условиях, была бы, наиболее вероятно, боязнь последующего невыгодного положения - возможны дальнейшие переговоры, предшествующие образованию коалиции, в результате которых он оказался бы в особенно уязвимом положении. (См. анализ в пп. 22.1.2, 22.1.3.)

Итак, у неудовлетворенного игрока нет способа преодолеть индифферентность двух возможных партнеров. Подчеркнем, что у двух возможных партнеров нет настоящего возражения против перехода к другому распределению табл. 23, кроме именно индифферентности, характерной для некоторых видов устойчивости 6).

г) Так как мы сделали некоторую перестановку игроков 1, 2, 3, последнее распределение табл. 23 фактически имеет место для всех троих.

2) Отметим, что каждый из этих двух игроков в отдельности получает выгоду от такой перемены. Недостаточно было бы иметь лишь общий доход (этих двух игроков). Сравним, например, первое распределение табл. 23 со вторым; игроки 1, 3 вместе получили бы выгоду от замены первого на второе, но тем не менее первое распределение является столь же хорошей составляющей решения, сколь и любое другое.

При этой частной замене игрок 3 действительно получил бы выгоду (получив 1/2 вместо -1), а для игрока 1 эта замена безразлична (в обоих случаях он получает 1/2). Тем не менее игрок 1 не начнет действовать, пока не будут произведены дальнейшие компенсации,- и в настоящем рассмотрении ими можно пренебречь. Более глубокое обсуждение этого вопроса см. в конце этого параграфа.

3) Тот, который получает -1.

4) В качестве хорошего упражнения читатель может повторить эти рассуждения для общей (не редуцированной) функции v(£), т.е. с произвольными а, Ь, с и величинами из п. 22.3.4. Результат будет тот же, иначе и быть не может, поскольку наша теория стратегической эквивалентности и редуцирования корректна (см. сноску 2 на стр. 280).

5) Или ненадежным, или неэтичным.

6) Для каждого перехода от одного распределения табл. 23 к другому один игрок определенно против него, другой - за; и, следовательно, остающийся игрок блокирует такой переход своей индифферентностью.

§ 30. ТОЧНАЯ ФОРМА ОБЩИХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ 30.1. Определения

30.1.1. Обратимся снова к случаю игры п лиц с нулевойсуммой Г при произвольном п. Пусть v (S) - характеристическая функция игры Г.

Переходим к формулировке наиболее существенных определений.

В соответствии с высказанным в предшествующих параграфах будем называть распределением или дележом множество п чисел а1? . . ., а, обладающих следующими свойствами:

(30:1) aj=tv((0) для i = l, ..., п,

(30:2) 2 = 0.

Может оказаться удобным рассматривать эти системы чисел аи .. ., ап, как векторы в гг-мерном линейном пространстве Ьп в смысле п. 16.1.2:

а = {аи . . ., ап).

Множество S (т. е. подмножество множества / = {1, п}) называется эффективным для дележа а, если

(30:3) S iv(iS).

Дележ а доминирует другой дележ р, что обозначается как

-> ->

ОСЕ-р,

если существует множество S, обладающее следующими свойствами: (30:4:а) S не пусто,

(30:4:b) S эффективно для а,

(30:4:с) а*>Рг для всех i£S.

Множество дележей V называется решением, если оно обладает следующими свойствами:

(30:5:а) Никакое р £ V не доминируется никаким a £ V. (30:5:b) Каждый дележ р, не принадлежащий V, доминируется некоторым дележом a £ V.

Свойства (30:5:а) и (30:5:Ь) можно сформулировать в виде единственного условия:

(30:5:с) Элементы из V являются точно теми дележами, которые не доминируются никакими элементами из V. (См. сноску 1 на стр. 65.)

30.1.2. Смысл этих определений может, конечно, проясниться, если вспомнить рассмотрения предыдущих параграфов, а также рассуждения из п. 4.4.3.

Начнем с того, что наши распределения, или дележи, соответствуют более интуитивным понятиям с тем же названием, рассмотренным в указанных двух местах. То, что мы называем эффективным множеством, есть не что иное, как те игроки, которые убеждены или могут быть

убеждены в возможности получения того, что им предложено дележом а; см. п. 4.4.3 и утверждение (29:В:а) из п. 29.1.4. Условие (30:4:с) в определении доминирования выражает, что все эти игроки имеют положитель-

-> ->

ный побудительный мотив для предпочтения дележа а дележу 3. Цоэтому очевидно, что мы здесь определяем доминирование в духе п. 4.4.1 и понятия предпочтения, описанного в (29:В:а) из п. 29.1.4.

Такое определение решения полностью согласуется с определением, данным в п. 4.5.3, а также с (29:В:а), (29:В:Ь) из п. 29.1.4.

30.2. Обсуждение и обзор результатов

30.2.1. Мотивировки всех этих определений приводились в тех местах текста, на которые мы ссылались в последнем пункте. Тем не менее мы вновь выделим некоторые из главных черт, особенно понятие решения.

Мы уже видели в п. 4.6, что наше понятие решения игры в точности соответствует представлению о норме поведения , если говорить на обычном, повседневном языке. Условия (30:5:а), (30:5:Ь), соответствующие условиям (4:А:а), (4:А:Ь) из п. 4.5.3, выражают как раз тот вид имманентной устойчивости , который следует ожидать от реальных норм поведения. Эти представления были разработаны далее в п. 4.6. на качественной основе. Теперь мы можем переформулировать приведенные там идеи точным образом, учитывая точный характер, который теперь принимают рассуждения. Замечания, которые мы хотим сделать, состоят в следующем г). 30.2.2.

-►

(30:А: а) Рассмотрим решение V. Для дележа Р £ V мы не исключали существование такого внешнего дележа а (т. е. не принадлежащего V), что схе-Р 2). Если такой дележ а существует, то отношение игроков следует представить себе примерно так: если решение V (т. е. система дележей) принято игроками 1, . . ., п, то в их сознании должна запечатлеться мысль, что только дележи

-у- -у

Р £ V являются надежными способами распределения. Дележ а,

-У -У

не принадлежащий V, для которого а е- р, хотя и предпочтителен для некоторого эффективного множества игроков, не сможет привлечь их, потому что является ненадежным . (См. детальное обсуждение игры трех лиц с нулевой суммой, в особенности то, что касается причины отказа каждого игрока согласиться на большее, чем установленный выигрыш в коалиции. См. конец п. 29.2 и относящиеся к нему сноски.) Представление о ненадеж-

ности дележа а может основываться также на существовании

-у ->- ->

такого дележа а £ V, что а е- а (см. (30:А:Ь) ниже). Все эти доводы, конечно, в известном смысле представляют собой замкнутый круг и опять-таки зависят от выбора множества V в качестве нормы поведения , т. е. в качестве критерия надежности .

х) Замечания (30:А:а) - (30:A:d), которые следуют ниже, являются более тщательной и точной разработкой идей из п. 4.6.2. Замечание (30:А:е) находится в аналогичном отношении к п. 4.6.3.

2) В самом деле, в (31:М) из п. 31.2.3 мы увидим, что дележ р, для которого никог-

-У -у

да не выполняется ае- р, появляется лишь в несущественных играх.