Но этот вид замкнутого круга не чужд повседневным рассмотрениям, имеющим дело с надежностью . (30:А:Ь) Если игроки 1, . . ., п приняли решение V в качестве нормы поведения , то для того, чтобы поддерживать их доверие к, V, необходима возможность при помощи множества V (т. е. его элементов) дискредитировать любой дележ, не принадлежащий V.

В самом деле, для каждого не принадлежащего V дележа а

должен найтись такой дележ а £ V, что а е- а. (Это было нашим постулатом (30:5:Ь).) (30:А:с) Наконец, в множестве V не должно быть внутренних противо-

-у -> -> ->

речий, т. е. для а, р £ V никогда не должно быть а е р. (Это было нашим другим постулатом (30:5:а).) (30:A:d) Отметим, что если бы доминирование, т. е. отношение е-, было транзитивным, то требования (30:А:Ь) и (30:А:с) (т. е. наши постулаты (30:5:а) и (30:§:Ь)) исключили бы довольно деликатную ситуацию, отраженную в (30:А:а). Именно: в утверждении (30:А:а)

Рб V, a (jj V и а е- р. На основании (30:А:Ь) существует такой

дележ а £ V, что а е- а. Тогда, если бы доминирование было

транзитивно, мы могли бы прийти к заключению, что а е- р;

но это противоречит (30:А:с), так как а, р £ V.

(30:А:е) Приведенные рассуждения делают еще более ясным, что только множество V целиком является решением и обладает тем или иным видом устойчивости, но отнюдь ни один из его элементов индивидуально. Замкнутый круг, о котором говорилось в (30:А:а), делает также правдоподобным существование в одной и той же игре нескольких решений V. Иначе говоря, для одной и той же реальной ситуации может существовать несколько устойчивых норм поведения. Каждая из них, конечно, была бы устойчивой и внутренне совместной, но находилась бы в конфликте со всеми остальными. (См. также конец п. 4.6.3 и конец п. 4.7.)

Во многих последующих рассуждениях мы увидим, что эта множественность решений является на самом деле весьма распространенным явлением.

30.3. Понятие насыщенности

30.3.1. Теперь представляется уместным привести несколько замечаний более формального характера. До сих пор мы обращали внимание главным образом на смысл и обоснование введенных понятий, однако понятие решения, как оно было определено выше, обладает некоторыми формальными чертами, также заслуживающими внимания.

Последующие формальные (логические) рассмотрения не будут использоваться непосредственно, и мы не будем долго останавливаться на них, продолжая изложение в духе предыдущего. Тем не менее мы полагаем, что эти замечания полезны здесь для более полного понимания структуры нашей теории. Кроме того, методы, которые здесь будут использоваться, найдут важное техническое применение по совершенно другому поводу в пп. 51.1-51.4.

30.3.2. Рассмотрим область (множество) D, для элементов х, у которой имеется некоторое отношение хМу. Справедливость отношения М

между двумя элементами х, у из D выражается формулой хМу 1). Отношение М определяется утверждением, недвусмысленно указывающим, для каких пар х, у £ D соотношение хМу истинно, а для каких - нет. Если хМу равносильно y3Zx, то мы говорим, что отношение х31у симметричное. Для любого отношения М можно определить новое отношение Ms, считая, что xMsy означает конъюнкцию xRy и уМх. Очевидно, что отношение Ms всегда симметричное, и оно совпадает с М тогда и только тогда, когда само М симметрично. Назовем Ms симметризованной формой отношения

Введем теперь следующие определения.

(30:В:а) Подмножество А множества D называется М-удовлетворяю-щим, если отношение хМу выполняется для всех х, уА.

(30:В:Ь) Подмножество A cz D и элемент у £ D называются М-сов-местными, если отношение хМу выполняется для всех хА.

Отсюда сразу получается:

(30:С:а) Подмножество A cz D является -удовлетворяющим тогда и только тогда, когда все элементы у, которые -совместны с А, образуют надмножество А.

Введем еще одно определение.

(30:С:Ь) Подмножество A cz D называется М-насыщенным, если все элементы г/, которые .-совместны с А, составляют в точности множество А.

Таким образом, свойство, которое должно быть добавлено к (30:С:а) для того, чтобы обеспечить (30:С:Ь), состоит в следующем:

(30:D) Если у вне А, то у не является -совместным с А, т. е. суще-

ствует такой элемент х £ А, что отношение хМу не выполняется.

Следовательно, -насыщенность может быть определена равносильно при помощи как (30:В:а), так и (30:D).

30.3.3. Прежде чем продолжать исследовать эти понятия, приведем несколько примеров. Проверка соответствующих утверждений проста и предоставляется читателю.

Пример первый. Пусть D - некоторое множество и хМу является отношением х = у. Тогда -удовлетворяемость множества А означает, что А есть либо пустое, либо одноэлементное множество, в то время как -насыщенность А означает, что А - одноэлементное множество.

Пример второй. Пусть D - множество вещественных чисел и хМу является отношением ху3). Тогда ?-удовлетворяемость множества А означает то же самое, что и выше4), в то время как -насыщенность А означает, что А является одноэлементным множеством, состоящим из наи-

*) Иногда более удобно пользоваться выражением вида М */), но для наших целей запись xSiy предпочтительнее.

2) Несколько примеров. Пусть D состоит из всех вещественных чисел. Отношения х = у и х Ф у симметричные. Ни одно из четырех отношений х у, х у, х <. у, х >- у симметричным не является. Симметризованной формой двух первых отношений является х = у (конъюнкция х у и х у), & симметризованной формой двух последних отношений - абсурдность (конъюнкция х <с у и х > у).

3) D могло бы быть любым другим множеством, в котором определено такое отношение; см. второй пример в п. 65.4.1.

4) См. сноску 1 на стр. 287.

большего элемента множества D. Значит, если D не имеет наибольшего элемента (например, если D есть множество всех вещественных чисел), то такого множества А не существует; множество А единственно, если D имеет наибольший элемент (например, если оно конечно).

Пример третий. Пусть D - плоскость и хМу выражает тот факт, что точки х и у имеют одинаковую высоту (ординату). Тогда -удовлетворяе-мость множества А означает, что все точки множества А имеют одну и ту же высоту, т. е. лежат на одной прямой, параллельной оси абсцисс, .-насыщенность означает, что А является в точности прямой, параллельной оси абсцисс.

Пример четвертый. Пусть D - множество всех дележей, а хМу является отрицанием доминирования х е- у. Тогда сравнение (30:В:а) и (30:D) с (30:5:а) и (30:5:Ь) из п. 30.1.1 или, что то же самое, сравнение (30:С:Ь) с (30:5:с) дает: -насыщенность множества А означает, что А является решением.

30.3.4. Одного взгляда на условие (30:В:а) достаточно, чтобы сказать, что удовлетворяемость для отношения хМу является удовлетворяе-мостью и для отношения у&х, а следовательно, также для их конъюнкции xMsy.

Другими словами, .-удовлетворяемость совпадает с .-удовлетво-ряемостью.

Таким образом, удовлетворяемость является понятием, которое достаточно изучать только для симметричных отношений.

Это обусловливается симметричной по отношению к х и у формой определяющего условия (30:В:а). Равносильное условие (30:С:а) не выявляет этой симметрии, но, конечно, это не делает доказательство недействительным.

Далее, определяющее условие (30:С:Ь) для .-насыщенности аналогично по своей структуре условию (30:С:а). Оно в равной степени асимметрично. Однако, в то время как (30:С:а) обладает равносильной симметричной формой (30:В:а), это не имеет места для (30:С:Ь). Соответствующей равносильной формой для (30:С:Ь) является, как мы знаем, объединение (30:В:а) и (30:D), a (30:D) вовсе не симметрично. Иными словами, (30: D) существенно изменится, если отношение хМу заменить на уМх. Итак, мы получаем следующее.

(30: Е) В то время как .-удовлетворяемость не нарушается при

замене М на Ms, ничего подобного не будет для -насыщенности.

Условие (30:В:а) (соответствующее ?-удовлетворяемости) является одним и тем же для М и для Ms. Условие (30: D) для Ms следует из того же условия для J?, так как Ms влечет М- Итак:

(30: F) .-насыщенность следует из -насыщенности.

Различие между этими двумя типами насыщенности является реальным: легко привести конкретный пример множества, которое является .-насыщенным, но не .-насыщенным 1).

Таким образом, изучение насыщенности не может ограничиваться симметричными отношениями.

J) Например, первые два примера из п. 30.3.3 находятся между собой в таком отношении, kslk*MS и М (см. сноску 2 на стр. 286); понятия удовлетворяемости для них совпадают, но понятия насыщенности различны.