Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [ 88 ] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

30.3.5. Для симметричных отношений М природа насыщенности довольно проста. Чтобы избежать ненужных усложнений, предположим в этом пункте, что соотношение xfflx всегда верно

Докажем теперь следующее:

(30: G) Пусть - симметричное отношение. Тогда -насыщенность

множества А равносильна тому, что А является максимальным -удовлетворяющим; т. е. она равносильна тому, что множество А является -удовлетворяющим, а никакое его собственное надмножество .-удовлетворяющим не будет.

Доказательство, -насыщенность означает ?-удовлетворяе-мость (т. е. условие (30:В:а) вместе с условием (30:D)). Итак, остается доказать, что если множество А -удовлетворяющее, то (30: D) равносильно тому, что все собственные надмножества множества А не являются -удовлетворяющими.

Достаточность условия (30: D). Если множество В id А является -удовлетворяющим, то для любого элемента у из В, но не из А, не выполняется условие (30: D) 2).

Необходимость условия (30: D). Рассмотрим такой элемент у, для которого нарушается (30: D). Тогда

Это множество В является -удовлетворяющим, т. е. для х , у £ В всегда верно соотношение хМу. В самом деле, если х\ у £А, то это следует из -удовлетворяемости множества А. Если х = у, у = г/, то мы просто полагаем у Му- Если же один из элементов х, у принадлежит А, а другой равен у, то на основании симметричности отношения М можно считать, что х £ А и у = у. Тогда наше утверждение совпадает с отрицанием условия (30: D).

Если отношение М не симметричное, то мы можем утверждать следующее.

(30:Н) Из -насыщенности множества А следует, что оно является

максимальным -удовлетворяющим множеством.

Доказательство. Максимальность среди удовлетворяющих множеств есть то же самое, что и максимальность среди -удовлетворяющих множеств (см. (30: Е)). Так как отношение Ms симметричное, это совпадает с -насыщенностью на основании (30: G). Последнее же является следствием -насыщенности на основании (30: F).

Значение этого результата, относящегося к симметричному отношению М, состоит в следующем. Отправляясь от произвольного -удовлетворяющего множества, будем увеличивать его, насколько это возможно, т. е. пока любое дальнейшее увеличение не вызовет потерю свойства -удовлетворяемое . Таким образом, наконец получается максимальное -удовлетворяющее множество, т. е., на основании (30:G)8), -насыщен-

!) Очевидно, это имеет место для нашего основного примера из п. 30.3.3, в котором хМу является отрицанием доминирования х £- у, поскольку х х не верно никогда.

2) Отметим, что ни одно из дополнительных ограничений, наложенных на отношение М, до сих пор еще не использовалось.

3) Этот процесс исчерпания элементарен, т. е. он заканчивается после конечного числа шагов, если множество D конечно.

Однако, поскольку множество всех дележей обычно бесконечно, случай бесконечного D очень важен. Если множество D бесконечно, то эвристически все же вполне



ное множество. Это рассуждение не только обеспечивает существование .-насыщенных множеств, но позволяет также сделать вывод, что каждое -удовлетворяющее множество может быть расширено до -насыщенного.

Следует отметить, что любое подмножество .-насыщенного множества обязательно является .-удовлетворяющим х). Поэтому приведенное выше утверждение означает, что обратное высказывание также верно.

30.3.6. Было бы крайне удобно, если бы существование решений в нашей теории могло быть установлено такими методами. Однако бросается в глаза соображение, опровергающее это: отношение хМу, которое мы должны использовать,-отрицание доминирования х е- у (см. п. 30.3.3) - очевидно, является асимметричным. Следовательно, мы можем воспользоваться не (30: G), а лишь (30: Н); максимальность среди удовлетворяющих множеств лишь необходима, но может не быть достаточной для насыщенности, т. е. для того, чтобы сделать множество решением.

То, что эта трудность действительно глубока, можно увидеть из следующего. Если бы мы могли заменить наше отношение М на еимметрич-ное отношение, то это можно было бы использовать не только для доказательства существования решений, но и для возможности расширения любого -удовлетворяющего множества дележей до решения (см. выше). Далее, вполне вероятно, что любая игра обладает решением, но мы увидим, что существуют игры, в которых некоторые удовлетворяющие множества не являются подмножествами никаких решений 2). Таким образом, план замены отношения М некоторым симметричным отношением не может быть выполнен, так как он был бы, в равной степени, средством доказательства первого утверждения, которое, по-видимому, верно, и второго утверждения, которое, конечно, неверно 3).

Это рассуждение может показаться читателю никчемным, поскольку отношение хМу, которое мы должны использовать ( не-# е- у ), в действительности является асимметричным. С технической точки зрения, однако, возможно, что удастся найти другое отношение хЗу, которое обладает следующими свойствами: отношение хЗу не равносильно отношению хМу, отношение 3* симметричное, в то время как М не симметричное, однако с-насыщенность равносильна .-насыщенности. В этом случае .-насыщенные множества, так как они являются с-насыщенными, должны были бы существовать, а сУ-удовлетворяющие (но не обязательно .-удовлетворяющие) множества всегда могли бы быть расширены до 3-насыщенных, т. е. до -насыщенных множеств 4). Такой план подхода

правдоподобно, что соответствующий процесс исчерпания может быть проведен при помощи бесконечного числа шагов. Этот процесс, известный под названием трансфинитной индукции, является объектом широкого теоретико-множественного изучения. Он может быть осуществлен строгим способом, опирающимся на так называемую аксиому выбора.

Интересующийся читатель может воспользоваться литературой, указанной в книге Ф. Хаусдорфа (см. сноску 1 на стр. 87). См. также E.Zermelo, Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann, Math. Ann., 59 (1904), 514 и след., а также Math. Ann., 65 (1908), 107ff.

Эти вопросы уводят далеко от нашего предмета обсуждения и не являются необходимыми для наших целей. Поэтому мы больше не останавливаемся на этом.

1) Очевидно, свойство (30:В:а) сохраняется при переходе к подмножеству.

2) См. сноску 1 на стр. 304.

3) Это довольно полезный принцип технической стороны математики. Непригодность какого-нибудь метода может быть выведена из того факта, что, если бы его осуществить, он доказал бы слишком много.

4) Дело в том, что для ЗЯ- и -насыщенности допускалась их равносильность между собой, а на равносильность их ?Я- и -удовлетворяемостей мы не рассчитывали



к проблеме существования решений не является столь произвольным, как это может показаться. В самом деле, в дальнейшем мы встретимся с аналогичной задачей, которая будет решена совершенно таким же образом (см. п. 51.4.3). А пока нам осталась одна лишь надежда.

30.3.7. В последнем пункте мы рассматривали вопрос, является ли каждое -удовлетворяющее множество подмножеством какого-либо -насыщенного множества. Мы отмечали, что для отношения хМу, которое мы должны использовать ( яе-х е- у , асимметричное), ответ отрицателен. Краткое объяснение этого факта представляется заслуживающим внимания.

Если бы этот ответ оказался утвердительным, то это означало бы, что всякое множество, удовлетворяющее условию (30:В:а), могло бы быть расширено до множества, удовлетворяющего условиям (30:В:а) и (30:D), или, в обозначениях п. 30.1.1, что всякое множество дележей, удовлетворяющее условию (30:5:а), могло бы быть расширено до множества, удовлетворяющего условиям (30:5:а) и (30:5:Ь).

Поучительно повторить сказанное в терминологии п. 4.6.2. Тогда утверждение будет состоять в следующем: всякая норма поведения, свободная от внутренних противоречий, может быть расширена до устойчивой, т. е. до такой, которая не только свободна от внутренних противоречий, но способна также отвергнуть все дележи вне ее.

Рассмотрения из п. 30.3.6, согласно которым все это, вообще говоря, неверно, представляют определенный интерес: для того чтобы множество правил поведения было ядром (т. е. подмножеством) устойчивой нормы поведения, оно, возможно, должно было бы обладать более глубокими структурными свойствами, чем просто свобода от внутренних противоречий х).

30.4. Три непосредственных цели

30.4.1. Мы уже сформулировали характеристические свойства решения для произвольной игры п лиц с нулевой суммой и можем теперь начать систематическое исследование свойств этого понятия. В добавление к прежним этапам этого исследования представляется уместным рассмотреть три конкретных вопроса. Эти вопросы связаны со следующими частными случаями.

Первый вопрос. Через все изложение § 4 проходит мысль, что есте1 ственное понятие решения должно быть понятием некоторого дележа, т. е. в нашей теперешней терминологии понятием некоторого одноэлементного множества V. В п. 4.4.2 мы определенно увидели, что это приводило бы к нахождению первого элемента по отношению к доминированию. В последующих пунктах § 4, так же как и в точных рассмотрениях п. 30.2, мы увидели, что именно нетранзитивность нашего понятия доминирования препятствует главным образом успеху такой попытки и вынуждает нас ввести в качестве решений множества дележей V.

Представляет интерес поэтому (и теперь мы в состоянии сделать это) дать точный ответ на следующий вопрос: для каких игр существуют одноэлементные решения V? Что еще можно сказать о решениях таких игр?

J) Если бы могло быть найдено отношение о котором говорилось в конце п. 30.3.6, то именно это а не раскрыло бы, какие нормы поведения являются такими ядрами (т. е. подмножествами); это были бы -удовлетворяющие множества.

Ср. с аналогичным положением в п. 51.4, где соответствующая операция проведена успешно.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [ 88 ] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227