Второй вопрос. Постулаты из п. 30.1.1 были получены из опыта работы над игрой трех лиц с нулевой суммой в случае существенности. Поэтому интересно вернуться к рассмотрению этого случая в свете данной точной теории. Конечно, мы знаем (фактически это было ведущим принципом нашего изложения), что решение, которое мы получили при помощи предварительных методов из §§ 22 и 23, является также решением и в смысле наших теперешних постулатов. Тем не менее желательно проверить это явно. На самом деле вопрос состоит в том, чтобы установить, не приписывают ли эти постулаты тем играм также и другие решения. (Мы уже видели, что одна и та же игра вполне может иметь несколько решений.)

Определим поэтому все решения для существенных игр трех лиц с нулевой суммой. Полученные при этом результаты окажутся весьма неожиданными; однако неразумными, как мы увидим, они не будут.

30.4.2. Эти два случая исчерпывают в действительности все игры с нулевой суммой с п 3. В самом деле, мы отметили в первом замечании из п. 27.5.2, что для п = 1, 2 эти игры несущественны, так что вместе с существенными и несущественными играми для п = 3 они отражают все возможности при п 3.

Когда эта программа будет выполнена, останутся игры, для которых п 4, а мы уже знаем, что для них возникают новые трудности (см. замечание на стр. 269 и конец п. 27.5.3).

30.4.3. Третий вопрос. В п. 27.1 мы ввели понятие стратегической эквивалентности. Представляется вполне естественным, что такое отношение содержит в себе именно то, что выражает его название: две игры, связанные этим отношением, предоставляют одни и те же стратегические возможности и побуждающие мотивы для образования коалиций и т. д. Теперь, когда понятие решения поставлено на строгую основу, эти эвристические предположения потребуют строгого доказательства.

На эти три вопроса будут даны ответы соответственно в (31 :Р) из п. 31.2.3, в п. 32.2 и в (31.Q) из п. 31.3.3.

§ 31. ПЕРВЫЕ СЛЕДСТВИЯ 31.1. Выпуклость, линейность и некоторые критерии доминирования

31.1.1. Этот параграф посвящен доказательству различных вспомогательных результатов, относящихся к решениям и к таким связанным с ними понятиям, как несущественность, существенность, доминирование, эффективность. Поскольку мы поставили все эти понятия на строгую основу, возникает возможность, равно как и обязательность, абсолютной строгости при установлении их свойств. Некоторые из последующих выводов могут выглядеть педантичными, и может иногда показаться, что словесное объяснение могло бы заменить математическое доказательство. Такой подход, однако, был бы возможен лишь для части результатов, содержащихся в этом параграфе, и если принять во внимание все, то наилучшим планом окажется систематическое изложение всего материала с полной математической строгостью.

Некоторые принципы, которые играют значительную роль при нахождении решений, суть (31:А), (31:В), (31 :С), (31 :F), (31:G), (31:Н); эти принципы решают априори для некоторых коалиций либо что они всегда должны приниматься во внимание, либо что никогда. Представляется удобным сопровождать эти принципы словесными объяснениями

(в указанном выше смысле) в дополнение к их формальным доказательствам.

Другие результаты представляют интерес и сами по себе. Все вместе они дают первую ориентировку во всем том, что окружает только что выработанные понятия. Ответы на первый и третий вопросы из п. 30.4 содержатся в (31:Р) и (31:Q). Второй вопрос, который возник ранее, разрешен в (31 :М).

31.1.2. Рассмотрим два дележа а и р и предположим, что необходимо

решить, верно ли, что а е- р, или нет. Это сводится к решению вопроса, существует ли множество S со свойствами (30:4:а) - (30:4:с) из п. 30.1.1. Одно из них, именно (30:4:с), состоит в том, что

°>Рг для всех i£S.

Назовем это свойство главным условием, а два других, (30:4:а) и (30:4:Ь),- предварительными условиями.

Заметим, что одну из наибольших технических трудностей при работе с понятием доминирования, т. е. при нахождении решений V в смысле п. 30.1.1, представляет собой наличие предварительных условий. Крайне желательно суметь, так сказать, сократить их круг, т. е. установить такие критерии, при которых они заведомо выполняются, а также другие критерии, при которых они заведомо не выполняются. При поиске критериев последнего типа ни в коем случае не является необходимым, чтобы они включали в себя невыполнение предварительных условий для

всех дележей а; достаточно, чтобы это было для всех тех дележей а,

которые удовлетворяют главному условию при некотором другом деле-

->

же р. (См. доказательства утверждений (31:А) или (31:F), где именно это и использовалось.)

Мы интересуемся критериями такого вида в связи с выяснением того, является ли данное множество дележей V решением или не является,

т. е. удовлетворяет ли оно условиям (30:5:а), (30:5:Ь), т. е. условию

->

(30:5:с), из п. 30.1.1. Это сводится к выяснению того, какие дележи р доминируются элементами множества V.

Критерии, которые устраняют все предварительные условия в описанной выше ситуации, являются особенно желательными, если они

совсем не содержат ссылок на а1 2), т. е. если они относятся только

к множеству S. (См. (31:F), (31:G), (31:Н).) Однако даже критерии, кото-

->

рые содержат а, могут быть желательными. (См. (31:А).) Мы рассмотрим

->

даже критерий, который имеет дело с5иаи использует поведение другого а. (Конечно, оба дележа принадлежат V. См. (31:В).)

Для того чтобы охватить все эти возможности, введем следующую терминологию.

У*2!Рассмотрим доказательства, которые имеют целью нахождение всех дележей р, доминируемых элементами данного множества дележей V.

г) Дело в том, что в нашем первоначальном определении доминирования ос £- р

-> -->

предварительные условия относятся к S и а (а не к р). В частности, это касается условия (30:4:Ь).

Мы, таким образом, имеем дело с отношением а е- р (а £ V) и с вопросом, удовлетворяет ли некоторое множество S нашим предварительным требованиям для такого отношения. Назовем множество S заведомо необходимым, если мы знаем (благодаря тому, что S удовлетворяет некоторому

подходящему критерию), что S и а всегда удовлетворяют предварительным условиям. Назовем множество S заведомо не необходимым, если мы знаем (снова благодаря тому, что S удовлетворяет некоторому подходящему критерию, который, однако, может теперь содержать также

->

другие факты, см. выше), что возможность того, что S и а удовлетворяют предварительным условиям, можно исключить из рассмотрения (так как это никогда не случается или по какой-либо другой причине; см. также оговорки, сделанные выше).

Эти рассуждения могут показаться сложными, но они выражают вполне естественную техническую точку зрения.

Замечание. Для читателя, знакомого с формальной логикой, отметим следующее.

Свойства заведомой необходимости и заведомой не необходимости имеют логическую природу. Они характеризуются нашей способностью показать (какими бы то ни было средствами), что некоторое определенное логическое упущение не сделает недействительным доказательство (определенного вида). Пусть, в частности,

-> ->

некоторое доказательство имеет дело с доминированием дележа р элементом а £ V. Предположим, что рассматривается такое доминирование а е- р, имеющее место при помощи множества S (а £ V). Тогда это доказательство остается верным, если мы

обращаемся с S и а (когда они обладают нужными свойствами) так, как будто бы они всегда удовлетворяли предварительным условиям (или никогда не удовлетворяли им), без фактического исследования этих условий. В математических доказательствах, которые мы будем проводить, этот метод будет часто использоваться.

Может даже случиться, что одно и то же множество S (при использовании двух различных критериев) окажется одновременно как заведомо необходимым, так и заведомо не необходимым (для одних и тех же а, например для них всех). Это означает просто, что ни одно из двух упомянутых выше упущений не портит какое-либо доказательство. Так может случиться, например, когда а не удовлетворяет главному условию ни для какого дележа. (Один пример получается объединением (31 :F) с (31 :G) в случае, описанном в (31:Е:Ь). Другой отмечен в сноске 1 на стр. 325 и в сноске 1 на стр. 441.)

Приведем теперь некоторые критерии свойств заведомой необходимости и заведомой не необходимости. После каждого критерия мы дадим словесное объяснение его содержания, которое, будем надеяться, сделает нашу технику более ясной для читателя.

31.1.3. Прежде всего приведем три элементарных критерия.

(31:A) S является заведомо не необходимым для данного дележа

-> ->

а (а £ V), если существует такое i £ S, что а* = v ((£))

Объяснение. Никогда не нужно рассматривать какую-либо коалицию, если она не обещает каждому ее участнику (индивидуально) определенно больше, чем он может получить сам.

Доказательство. Если а удовлетворяет главному условию

для некоторого дележа, то at > рг. Так как р является дележом, Рг v ((0)- Следовательно, а* > v ((£)). Это противоречит тому, что