Итак, мы видим, что если подобное численное представление полезностей *) вообще существует, то оно определяется с точностью до линейного преобразования2 3). Это значит, что полезность является числом с точностью до линейного преобразования.

Для того чтобы численное представление полезности в указанном смысле существовало, необходимо постулировать.определенные свойства отношения и > и и операции аи + (1 - a) v для полезностей. Выбор этих постулатов, или аксиом, и их последующий анализ приводит к задачам, представляющим определенный математический интерес. Для правильной ориентации читателя мы дадим сейчас лишь общую картину ситуации; полное рассмотрение вопроса можно найти в Приложении.

3.5.2. Выбор аксиом не является вполне объективной задачей. Обычно мы ожидаем достижения некоторой определенной цели - скажем, выводимости некоторой конкретной теоремы или теорем из данной системы аксиом - и наша задача является точной и объективной только в этих пределах. Но помимо этого всегда имеются другие важные пожелания менее формального характера. Аксиомы не должны быть слишком многочисленными, их система должна быть максимально простой и прозрачной, и каждая аксиома должна иметь интуитивно ясный смысл, на основании которого можно непосредственно оценить ее]пригодность 4). В ситуации, подобной нашей, последнее требование является]особенно существенным, несмотря на свою неопределенность: мы хотим сделать интуитивное понятие поддающимся математическому изучению и увидеть с максимальной ясностью, каких предположений это требует.

Объективная часть нашей задачи ясна: из постулатов должно следовать существование соответствия (3:2: а), обладающего, как отмечалось в п. 3.5.1, свойствами (3 :1: а) и (3:1: Ь). Высказанные выше дальнейшие эвристические и даже эстетические пожелания не определяют единственного пути получения аксиоматической трактовки. Далее мы сформулируем некоторую систему аксиом, которая представляется достаточно удовлетворительной.

3.6. Аксиомы и их интерпретация

3.6.1. Наши аксиомы заключаются в следующем. Мы рассматриваем систему U величин 5) u, v, w, ... На U задано отношение и > v и для любого числа а (О < а < 1) определена операция

аи + (1 - a) v - w.

г) То есть соответствие (3:2:а), удовлетворяющее (3:1:а) и (3:1 :Ь).

2) То есть преобразования вида (3:6).

3) Вспомним физические примеры той же ситуации, рассмотренные в п. 3.4.4. Правда, сейчас наше рассмотрение является несколько более подробным. Мы не фиксируем абсолютного нуля и абсолютной единицы полезности!

4) Первый и последний принципы могут представлять, по крайней мере в определенных пределах, противоположные тенденции. Если мы сократим число аксиом, объединяя их в пределах технических возможностей, то мы можем утратить возможность различения различных интуитивных основ. Так, мы могли бы выразить требования (3:В) в п. 3.6.1 меньшим числом аксиом, но это затемнило бы последующий анализ в п. 3.6.2.

Соблюдение надлежащего равновесия является делом практического, а до некоторой степени и эстетического суждения.

5) Под ними, конечно, понимается система абстрактных полезностей, которые должны быть охарактеризованы нашими аксиомами. По поводу общей природы аксиоматического метода см. замечания и ссылки в последней части п. 10.1.1.

Эти понятия удовлетворяют следующим аксиомам:

(3:А) Отношение и > и является линейным упорядочением1) на U.

Поэтому мы пишем u<Cv, когда v>u. Тогда

(3:А:а) Л Для любых двух и, и имеет место одно и только одно из следующих трех отношений: u = v, u>v, u<Zu.

Из u>v, v>w следует u>w2). Упорядочение и комбинирование3). Из и<С.и следует и < сш + (1 - а) и. Ш u>v следует и > аи + (1 - а) v. Из u<Cw<tv следует существование такого а, что

аи + (1- a)v<iw. Из u>w>v следует существование такого ос, что аи-\- (1 - а) v> w.

Алгебраические правила комбинирования. аи-\- (l - a)v = (l - а) v-\-au\

а фи -f (1 - (3) и) -f (1 - a) v = уи + (1 - у) v, где у = а(3.

Можно показать, что из этих аксиом вытекает существование соответствия (3:2:а), обладающего свойствами (3:1:а) и (3:1:Ь), как это описывалось в п. 3.5.1. Следовательно, выводы п. 3.5.1 сохраняют силу: система U (т. е. в нашей интерпретации система абстрактных полезностей) представляет собой систему чисел с точностью до линейного преобразования.

Построение (3:2:а) на основе (3:1:а) и (3:1:Ь) при помощи аксиом (3:А) - (3:С) является чисто математической задачей, правда, несколько кропотливой, хотя она решается обычными путями и не доставляет особенных трудностей. (По этому поводу см. Приложение.)

Равным образом нам представляется излишним проводить здесь обычное логическое обсуждение этих аксиом 4). Однако мы скажем несколько слов об их интуитивном смысле, т. е. о подтверждении каждой из наших аксиом (3:А) - (3:С).

3.6.2. Дадим анализ наших постулатов.

(3:А:а*) Это утверждение о полноте системы индивидуальных предпочтений. Его обычно принимают при рассмотрении полезностей или предпочтений, например, в анализе кривых безразличия. Эти вопросы уже рассматривались в пп. 3.3.4 и 3.4.6.

(3: А:Ь*) Это транзитивность предпочтений - правдоподобное и общепринятое свойство.

!) Более систематическое математическое рассмотрение этого понятия приведено в п. 65.3.1. Эквивалентное понятие полноты системы предпочтений рассматривалось ранее в начале пп. 3.3.2 и 3.4.6.

2). Эти условия (3:А:а) и (3:А:Ь) соответствуют условиям (65:А:а) и (65:А:Ь) из п. 65.3.1.

3) Напомним, что фигурирующие здесь числа ос, 3, у всегда расположены между нулем и единицей.

4) Аналогичная ситуация рассматривается более подробно в § 10. Приводимые там аксиомы относятся к гораздо более важному для нас вопросу. Логическое обсуждение дано в п. 10.2. Некоторые общие замечания п. 10.3. применимы и к данному случаю.

(3:А:Ь)

(3:В)

(3:В:а)

(3:В:Ь)

(3:В:с)

(3:B:d)

(3:С)

(3:С:а)

(3:С:Ь)

(3:В:а*) Здесь утверждается, что если и предпочтительнее и, то более предпочтительным по сравнению с и является даже v с некоторой вероятностью 1 - а. Это предположение законно, так как мы исключаем какую бы то ни было дополнительность (или противоположное). См. начало п. 3.3.2.

(3:В:Ь*) Является двойственным к (3:В:а*) с заменой отношения предпочтительнее на менее предпочтительно, чем .

(3:В:с*) Здесь утверждается следующее. Если w предпочтительнее и и дано также еще более предпочтительное и, то комбинация и и v, взятого с вероятностью 1 - ос, не повлияет на предпочтительность w по сравнению с и, если эта вероятность достаточно мала. Иными словами, сколь бы предпочтительно ни было v само по себе, его влияние можно сделать сколь угодно слабым, придавая ему достаточно малую вероятность. Это правдоподобное предположение непрерывности .

(3:B:d*) Является двойственным к (3:В:с*) с заменой отношения предпочтительнее на менее предпочтительно, чем .

(3:С:а*) Это утверждение говорит о том, что порядок, в котором упоминаются составляющие и и и некоторой комбинации, безразличен. Такое предположение законно, в частности, потому, что составляющие суть альтернативные события (см. (3:В:а*)).

(3:С:Ь*) Безразлично, получена ли комбинация двух составляющих в два последовательных приема - сначала с вероятностями а, 1 - а, затем с вероятностями 3, 1 - 3 - или же в один прием - с вероятностями 7, 1 - 7, где г) у = сф. Здесь можно сказать то же самое, что и в (3:С:а*). Может случиться, однако, что этот постулат будет иметь и более глубокое значение; некоторый намек на это делается в п. 3.7.1.

♦

3.7. Общие замечания об аксиомах

3.7.1. Сейчас уместно будет остановиться и обозреть ситуацию. Не показали ли мы слишком много? Мы можем вывести из постулатов (3:А) - (3:С) численный характер полезности в смысле (3:2:а), а также свойства (3:1:а) и (3:1:Ь) из п. 3.5.1. При этом (3:1:Ь) утверждает, что численные значения полезности сочетаются (с вероятностями) подобно математическим ожиданиям! Но ведь и само понятие математического ожидания до сих пор оспаривается, и его законность определенным образом зависит от некоторых предположений, касающихся природы ожидания 2). Не считаем ли мы здесь решенным этот спорный вопрос? Не вводят ли наши постулаты - быть может, некоторым косвенным путем - предположений, которые определяют математическое ожидание?

Говоря более конкретно, не может ли для индивидуума существовать полезность, положительная или отрицательная, от самого акта испытания случая , от участия в азартной игре, которая затушевывается при использовании математического ожидания?

2) Разумеется, правильная арифметика для учета двух последовательных смешиваний v и и должна быть именно такой.

2) См. К. М е n g е г, Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre, Zeitschr. fur N ationalbkonomie 5 (1934), 459; G. Tintner, A contribution to the non-static theory of choice; Quart. J. of Econ. LVI (1942), 274.