31.2. Система всех дележей. Одноэлементные решения

31.2.1. Рассмотрим теперь структуру множества всех дележей.

(31:1) Для несущественной игры существует ровно один дележ:

(31.9) a = {ai, . .., ал}, a. = v((0) для & = 1, тг.

Для существенной игры существует бесконечно много дележей (их (п- 1)-мерный континуум), но дележа (31:9) среди них нет.

Доказательство. Рассмотрим дележ

P={Pi.....м

и положим

Р* = v((i)) + е* для i = l,

Тогда характеристические условия (30:1) и (30:2) из п. 30.1.1 превращаются в

(31:10) 8г-0 для г=1, /г,

(31:11) Se4= -Sv((0).

г=1 г=1

Если игра Г несущественна, то (27:В) из п. 27.4.1 дает - 2 v ((0)

так что условия (31:10) и (31:11) приводят к е4 = . . . = гп = 0, т. е. (31:9) является единственным дележом.

Если игра Г существенна, то (27:В) из п. 27.4.1 дает - 2 v((0) > 0,

так что (31:10) и (31:11) имеют бесконечно много решений, которые образуют (п - 1)-мерный континуум 1); следовательно, то же самое верно -> ->

для дележей 3. Но дележ а из (31:9) не является одним из них, так как е1= . . . = гп = 0 теперь не удовлетворяют равенству (31:11). Непосредственное следствие:

(31 :J) Решение V никогда не пусто.

Доказательство. Другими словами, пустое множество 0

не является решением. В самом деле, рассмотрим какой-нибудь дележ Р

(на основании (31:1) хотя бы один дележ существует). Дележ 3 не при-

-> -> ->

надлежит 0, и ни для какого а из 0 не имеет места а е- р. Поэтому для пустого множества 0 нарушается условие (30:5:Ь) из п. 30.1.1 2).

31.2.2. Мы уже указывали, что одновременное выполнение

(31:12) а&-р, рЕ-а

ни в каком смысле не является невозможным3). Однако (31 :К) Отношение a е-а невозможно..

г) Имеется только одно уравнение, а именно (31:11).

2) Этот довод может показаться педантичным; однако если условия, наложенные на дележ, оказались бы противоречивыми (т. е. при отсутствии (31:1)), то V = 0 являлось бы решением.

3) Множества S этих двух доминирований не должны пересекаться. На основании (31:Н) каждое из этих S должно иметь количество элементов 2. Следовательно. (31:12) может иметь место только при п 4.

При помощи более детального рассмотрения случай п = 4 также можно исключить; однако для каждого п 5 отношения (31:12) действительно возможны.

Доказательство. Условия (30:4:а), (30:4:с) из п. 30.1.1

-У ->

противоречивы при а = р.

(31 :L) Если имеется существенная игра и дележ а, то существует

такой дележ р, что Р и не а е-р1).

Доказательство. Положим

->

а = {аи ..., ап}.

Рассмотрим уравнение

(31:13) i = v((0).

Поскольку игра существенная, (31:1) исключает предположение, что (31:13) справедливо для всех i = 1, . . . , п. Пусть (31:13) нарушается,

скажем, для i = i0. Так как а является дележом, cti0 v ({io)); поэтому нарушение (31:13) означает, что (Хг0 > v ((io)), т. е.

(31:14) aio = v((i0)) + e> г>0.

Определим теперь вектор

p--={Pi, ..., Р4,

К = ач - е = v((i0)),

Из этих уравнений ясно, что Р* v ((г)) 2) и что 2 = 2 a* = 0 3),

-> г=1 г=1

так что Р является дележом вместе с а.

Теперь можно доказать оба интересующих нас утверждения относи-

-У ->

тельно аир.

-У -У

Покажем, что Р е- а. Мы имеем рг > а для всех i Ф i0, т. е. для всех i £ S = - (i0). Это множество имеет п - 1 элементов и удовлетворяет

-У -У -у -у

главному условию (для р, а); следовательно, (31 :Н) дает р е- а.

Покажем, что неверно а е- р. Предположим, что а е- р. Тогда должно существовать такое множество S, удовлетворяющее главному условию, которое не исключается условием (31 :Н). Поэтому S должно иметь 2 элементов. Следовательно, в S должно существовать i Ф i0. Из первого

следует Р > at (по построению Р), а из второго - a* > Pf (на основании главного условия), и мы получаем противоречие.

31.2.3. Мы можем вывести те заключения, которыми интересовались с самого начала.

-> -> -У

{31 :М) Дележ а, для которого не может быть ае- а, существует тогда и только тогда, когда игра несущественная 4).

-у ->

!) Следовательно, а Ф р.

2) Для i = i0 мы действительно имеем рг0 = v ((i0))- Для i Ф i0 мы имеем р$ > >oiiv ((0).

3) 2Р*= 2 а* так как Разность между pj и at равна е для одного значе-i=i i=i

*ния i (i = io) и равна - в/(л - 1) для тг - 1 значений i (для всех i Ф i0).

4) См. (30:А:а) в п. 30.2.2 и, в частности, сноску 2 на стр. 284.

Доказательство. Достаточность. Если игра несущественная,

то она имеет, по (31:1), ровно один дележ а, который обладает нужным свойством на основании (31:К).

~>

Необходимость. Если игра существенная и а является дележом, -> ->

то для а = р, взятого из (31 :L), получаем

-+ -v ->

а = р е- а.

(31:N) Игра, обладающая одноэлементным . решением х), является обязательно несущественной.

Доказательство. Обозначим одноэлементное решение, упо-

->

мянутое в условии, через V = (а). Это V должно удовлетворять условию

->

*(30:5:Ь) из п. 30.1.1. Это означает в нашем случае, что каждое р, отличное

от а, доминируется элементом а. Иначе говоря, из р Ф а следует а е- р.

Тогда, если игра существенная, то (31 :L) дает элемент р, который нарушает это условие.

(31:0) Несущественная игра обладает ровно одним решением V. Оно является одноэлементным множеством V = (а) с а из (31:1). Доказательство. На основании (31:1) существует ровно один дележ, именно а из (31:1). Решение V не может быть пустым ввиду (31:J); следовательно, единственной возможностью будет V = (а). Далее,

V = (а) действительно является решением, т. е. удовлетворяет условиям {30:5:а) и (30:5:Ь) из п. 30.1.1: первому - на основании (31:К), а второму - так как а является единственным дележом на основании (31:1). Теперь мы можем полностью ответить на первый вопрос из п. 30.4.1.

(31:Р) Игра обладает одноэлементным решением (см. сноску 1 на этой стр.) тогда и только тогда, когда она является несущественной; в этом случае она не имеет других решений.

Доказательство. Это утверждение является комбинацией результатов (31 :N) и (31:0).

31.3. Изоморфизм, соответствующий стратегической эквивалентности

31.3.1. Рассмотрим две игры Г и Г с характеристическими функциями v(S) и v(S), которые стратегически эквивалентны в смысле п. 27.1. Мы хотим доказать, что они действительно эквивалентны с точки зрения понятий, определенных в п. 30.1.1. Это будет сделано при помощи установления изоморфного отображения между объектами, которые составляют основу определений п. 30.1.1, т. е. между дележами. Другими словами, мы хотим установить взаимно однозначное соответствие между дележами игры Г и дележами игры Г, которое является изоморфизмом по отноше-

х) Мы не исключаем возможности, что эта игра может обладать также и другими решениями, одноэлементными или неодноэлементными. В действительности этого никогда не может произойти (при сделанных нами предположениях), как показывает комбинация результатов (31:N) и (31:0) или результат (31:Р). (днако данное рассуждение от них не зависит.