а е- р

означает, что

(32:4) Либо (*! > р!, а2 > р2; либо аА > р4, а3 > р3; либо а2 > р2г

аз > Рз-

Графически: па рис. 33 а доминирует точки в заштрихованных областях и не доминирует никакие другие точки г).

Следовательно, точка а доминирует три из шести секторов, обозначу

ченных на рис. 34 (а именно А, С, Е). Отсюда легко получить, что а доминируется тремя другими секторами (а именно В, D, F). Итак, все те точки..

-у -у

которые не доминируют а и не доминируются а, лежат на трех прямых (т. е. на шести полупрямых), которые разделяют эти секторы. Это означает следующее:

(32:5) Если ни один из дележей а, р не доминирует другого, то

направление от а к р параллельно одной из сторон фундаментального треугольника. 32.1.4. Теперь можно начать систематические поиски всех решений. Рассмотрим решение V, т. е. множество в фундаментальном треугольнике, которое удовлетворяет условиям (30:5:а) и (30:5:Ь) из п. 30.1.1. В дальнейшем мы будем все время использовать эти условия, не ссылаясь на них явно в каждом случае.

Поскольку игра является существенной, множество V должно содержать хотя бы две точки 2), скажем

аир. На основании (32:5) направле- л

-у -v

ние от а к р параллельно одной из сторон фундаментального треугольника; переставляя номера игроков 1, 2, 3, мы можем считать ее стороной аА = -1, т.е. горизонтальной. Стало

-у -у

быть, точки аир лежат на горизонтальной прямой Z. Теперь появляются J две возможности, и мы рассмотрим их отдельно: (а) каждая точка множества V лежит на Z; (Ь) некоторые точки множества V не лежат на L

32.2. Нахождение всех решений

32.2.1. Рассмотрим сначала (Ь). Всякая точка, не лежащая на Z, должна удовлетворять условию (32:5)

-у -у

по отношению к а и к р, т. е. она

должна быть третьей вершиной одного из двух равносторонних треуголь-

-у -у -у -у

ников с основанием а, р, т. е. одной из двух точек а, а на рис. 35. Итак,

-у -у

либо а, либо а принадлежит множеству V. Любая точка множества Vr

х) В частности, не доминирует точек на границах этих областей. 2) Это также непосредственно видно из рис. 33.

отличная от точек а, р и а или а , должна снова удовлетворять условию

(32:5), но теперь уже по отношению ко всем трем точкам а, р и а или а . Это, однако, невозможно, как показывает непосредственное рассмотрение рис. 35. Итак, множество V состоит ровно из этих трех точек, т. е. из трех вершин треугольника, который расположен либо в виде треугольника /, либо в виде треугольника на рис. 36 и 37. Сравнение рис. 36, 37 с рис. 33 или 34 показывает, что вершины треугольника / оставляют недоминируемыми точки из внутренности этого треугольника. Это исключает из рассмотрения треугольник / х).

То же самое сравнение показывает, что вершины треугольника 77 не доминируют области, заштрихованные на рис. 38. Следовательно, треугольник 77 должен быть помещен относительно фундаментального треугольника таким образом, чтобы эти заштрихованные области оказались полностью вне фундаментального треугольника. Это означает, что три вершины треугольника должны лежать на трех сторонах фундаментального треугольника, как это показано на рис. 39. Следовательно, эти три вершины являются средними точками трех сторон фундаментального треугольника.

Сравнение рис. 39 с рис. 33 или 34 показывает, что множество V действительно является решением. Легко проверить, что эти три средние точки являются точками (векторами)

(32:6) {-l-y.ir}, {у, -1,4-}. {у. у -1}.

т. е. что это решение V является множеством, представленным табл. 23.

Рис. 36. Рис. 37. Рис. 38.

32.2.2. Рассмотрим теперь случай (а) из п. 32.1.4. В этом случае все элементы множества V лежат на горизонтальной прямой Z. На основании (32:5) никакие две точки прямой I не доминируют друг друга, так что никакая точка на I не доминируется множеством V. Следовательно, каждая точка прямой I (в фундаментальном треугольнике) должна принадлежать множеству V. Другими словами, множество V является в точности той частью прямой /, которая находится в фундаментальном тре-

->

угольнике. Таким образом, элементы а = {а4, а2, а3} множества V характеризуются уравнением (32:7) at = c.

г) Это приводит к примеру из п. £0.3.6. Три вершины треугольника / не доминируют друг друга, т. е. они образуют удовлетворяющее множество в указанном выше смысле. Тем не менее они не являются подходящими в качестве подмножества решения.

Графическое изображение см. на рис. 40.

Сравнение рис. 40 с рис. 33 или 34 показывает, что прямая I не доминирует заштрихованную на рис. 40 область. Следовательно, прямая I должна быть помещена в фундаментальном треугольнике таким образом,

Рис. 39. Рис. 40.

чтобы выделенная область оказалась целиком вне фундаментального треугольника. Это означает, что прямая I должна лежать ниже средних точек тех двух сторон фундаментального треугольника, которые она пересекает г). В обозначениях (32:7) с < 1/2. С другой стороны, чтобы прямая I вообще пересекала фундаментальный треугольник, должно быть с - 1; таким образом, мы имеем:

(32:8) , - 1с<1/2.

Сравнение рис. 40 с рис. 33 или 34 показывает, что при таких условиях 2) множество V, т. е. прямая Z, действительно является решением. Но представление (32:7) этого решения было получено при помощи подходящей перестановки чисел 1, 2, 3. Следовательно, мы имеем еще два решения, соответственно характеризуемых равенствами

(32:7*) а2 = с,

(32:7**) а8 = с,

причем всегда вместе со свойством (32:8).

32.2.3. Резюмируем полученные результаты. Вот полный список решений:

(32:А) Для каждого с, удовлетворяющего условию (32:8), три множества (32:7), (32:7*), (32:7**). (32:В) Множество (32:6).

х) Предельное положение прямой Z, когда она проходит через сами средние точки, должно быть исключено. Причина состоит в том, что в таком положении вершина заштрихованной области лежала бы на фундаментальном треугольнике, а это недопустимо, поскольку эта точка также не доминируется множеством V, т. е. прямой I.

Отметим, что в случае (Ь), т. е. для заштрихованных областей на рис. 38, аналогичного запрещения не существует. Вершины заштрихованных областей также не до-минировались множеством V, но они принадлежали множеству V. С другой стороны, в данном случае рассматриваемая вершина не принадлежит V, т. е. прямой I. Это исключение предельного положения влечет знак <, ане g в последующем неравенстве.

2) При (32:8), т. е. прямая I пересекает фундаментальный треугольник, но ниже его середины.