§ 35. ОБСУЖДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ТОЧЕК КУБА Q

35.1. Вершина I (и V, VI, VII)

35.1.1. Мы начнем с определения игр, соответствующих четырем вершинам, обозначенным черными точками: /, V, VI, VII. Мы видели, что эти вершины получаются одна из другой соответствующими перестановками игроков 1, 2, 3, 4. Следовательно, достаточно рассмотреть одну из них, скажем вершину /.

Точка / соответствует значениям 1,1,1 координат хи х2, х3. Таким образом характеристическая функция этой игры v (S) равна

(35:1)

О 1 2

ее ли S имеет элементов

го 1

2 (и игрок 4

принадлежит S)

2 (и игрок 4

не принадлежит S)

(проверка осуществляется непосредственно с помощью (34:1), (34:2),. (34:3) в п. 34.2.1).

Вместо того чтобы применить к этой игре математическую теорию гл. VI, посмотрим сначала, не допускает ли она непосредственную интуитивную интерпретацию.

Заметим сначала, что игрок, предоставленный самому себе, проигрывает 1. Для него это, очевидно, самый плохой случай, так как он может гарантировать себя от дальнейших проигрышей без чьей либо помощи *). Таким образом, мы можем рассматривать игрока, получающего выигрыш -1, как проигрывающего. Коалиция из двух игроков может считаться проигрывающей, если она получает выигрыш -2, так как тогда каждый ее игрок должен обязательно получить -1 2>3). В этой игре коалиция любых двух игроков, если она не включает игрока 4, является проигрывающей в этом смысле.

Перейдем теперь к рассмотрению дополнительных множеств. Если коалиция является в указанном выше смысле проигрывающей, то дополнительное к ней множество естественно считать выигрывающей коалицией. Следовательно, двухэлементные множества, содержащие игрока 4, должны расцениваться как выигрывающие коалиции. Аналогично коалиция из трех игроков всегда выигрывает, так как любой изолированный игрок должен расцениваться как проигрывающий. Это несущественно для тех трехэлементных коалиций, которые содержат игрока 4, так как в таких коалициях выигрывают уже два члена, если только игрок 4 нахо-

*) Этот подход подтверждается и нашими результатами, касающимися игры трех лиц в § 23 и п. 33.2, и более глубоко - определением дележа в п. 30.1.1 (см. в особенности условие (30:1)).

2) Так как ни игрок, ни его партнер не должны получить меньше чем -1 и они вместе получают -2, это единственный возможный способ разделения выигрыша.

3) В терминологии п. 31.1.4 это линейная коалиция. Конечно, выигрыша от объединения игроки не получают, и потому нет причин для них составлять такую коалицию. Но если окажется, что объединившиеся два других игрока не обнаруживают намерения присоединить к себе третьего, то и в этом случае мы можем рассматривать остающихся двух игроков как коалицию.

дится среди них. Однако существенно, что (1, 2, 3) является выигрывающей коалицией, хотя все ее собственные подмножества проигрывают.

Замечание. Мы предупреждаем читателя, что, хотя мы использовали-слова проигрывающий и выигрывающий почти как технические термины, это не входило в наши намерения. Фактически эти понятия очень хорошо приспособлены для точного рассмотрения. Проигрывающие и выигрывающие коалиции действительно совпадают с теми множествами S, которые были рассмотрены в (31 :F) и в (31 :G) из п. 31.1.5; именно они совпадают с теми коалициями, для которых соответственно либо S, либо -S было линейным. Однако мы будем рассматривать этот вопрос таким способом только в гл. X.

В настоящий момент наши рассуждения абсолютно эвристичны и должны восприниматься в том же духе, что и эвристические обсуждения игр трех лиц с нулевой суммой в §§ 21, 22. Единственное отличие состоит здесь в том, что мы будем теперь значительно более краткими, так как наш опыт и методика существенно возросли в результате проведенных рассуждений.

Так как мы сейчас уже располагаем точной теорией решений игр, мы обязаны после этого предварительного эвристического анализа дать точный анализ, строго основанный на математической теории. Мы к этому придем (см. сноску 3 на предыдущей стр. и также начало п. 36.2.3).

35.1.2, Таким образом, правдоподобно понимать сказанное как борьбу за участие в любой из различных возможных коалиций:

(35:2) (1,4), (2, 4), (3,4), (1,2, 3),

где получаемые коалициями выигрыши равны

(35:3) v((l,4))=v((2,4)) = v((3,4)) = 2, v((l, 2, 3)) = 1,

Заметим, что все это очень похоже на ситуацию, которую мы получили в существенной игре трех лиц с нулевой суммой, где выигрывающими коалициями были

(35:2*) (1, 2), (1, 3), (2, 3)

и выигрыши, получаемые этими коалициями, были равны

(35:3*) v((l, 2)) = v((l, 3)) = v((2, 3)) = 1.

В игре трех лиц мы определили распределение дохода (35:3*) между выигравшими участниками при помощи следующего предположения: игрок из выигрывающей коалиции, должен получать один и тот же выигрыш независимо от того, в какой выигрывающей коалиции он находится. Обозначим через а, р, у, б соответственно величины, которые получает каждый из игроков 1, 2, 3, 4, если ему удается попасть в выигрывающую коалицию. Тогда равенства (35:3) дают нам

(35:4) а + 8 = $ + 6 = у + д = 2, а + р + ?=1,

откуда следует

(35:5) a = p = v = 4 . * = -

Здесь можно повторить все эвристические аргументы, использованные §§ 21, 22 для случая игры трех лиц *).

35.1.3. Подведем итоги.

(35:А) Мы имеем дело с игрой, в которой игрок 4 находится в особа благоприятном положении: присоединения к нему любого игрока достаточно для него, чтобы образовать выигрывающую коалицию. С другой стороны, без кооперации с ним должны объединяться

х) Конечно, не делая этого посредством строгого обсуждения на основе п. 30.1

три игрока. Это преимущество выражается также посредством выигрышей, которые должен получить каждый из игроков 1, 2, 3, 4, когда он находится среди выигрывающих,- если можно довериться нашей эвристической дедукции. Эти выигрыши равны соответственно 1/3, 1/3, 1/3, 5/3. Следует заметить, что преимущество игрока 4 относится только к случаю победы; при поражении все игроки находятся в одинаковом положении (т. е. получают -1).

Обстоятельство, упомянутое последним конечно, обусловлено нашим нормированием посредством редуцирования. Однако независимо ни от какого нормирования эта игра имеет следующую особенность: количественное преимущество одного игрока над другим, когда оба они выигрывают, может отличаться от того преимущества, когда оба они проигрывают.

Этого не может случиться в игре трех лиц, что ясно из формулировки, составляющей п. 22.3.4. Таким образом, мы впервые обнаруживаем важную новую особенность, возникающую, когда число участников достигает четырех.

35.1.4. Еще одно замечание, которое представляется существенным. В рассмотренной игре стратегическое преимущество четвертого игрока состояло в том, что ему для победы достаточно было только одного союзника, в то время как без него необходим союз из трех партнеров. Можно было бы даже попытаться построить еще более резкую форму игры, при которой проигрывает любая коалиция, не содержащая игрока 4. Существенно отдать себе отчет в том, что это ничего не дает, так как такое преимущество уже не имеет стратегической природы. В самом деле, в такой игре должно быть

если S имеет <

2 13

элементов и игрок 4 не принадлежит S,

следовательно,

если S имеет <

элементов и игрок 4 принадлежит S.

Эта игра не является редуцированной, так как

v ((1)) = v ((2)) = v ((3)) = -1, v ((4)) = 3.

Если мы применим процесс редуцирования из п. 27.1.4 к этой v(5), то найдем, что ее редуцированная форма будет v (5)== 0, т. е. игра оказывается несущественной. (Это можно увидеть сразу по (27:В) из п. 27.4.) Таким образом, эта игра имеет однозначно определенное значение для каждого игрока 1, 2, 3, 4; оно равно соответственно -1, -1,-1, 3.

Другими словами, преимущество игрока 4 в этой игре является преимуществом в фиксированном платеже (т. е. в деньгах), а не в его стратегических возможностях. Первая формулировка, конечно, более определенна и ясна, чем вторая, но теоретически менее интересна, так как к ней нельзя применить наш процесс редуцирования.