35.1.5. В начале этого параграфа мы заметили, что вершины V, VI, VII отличаются от вершины / только перестановкой игроков. Легко проверить, что особая роль игрока 4 в / заменяется игроками 1, 2, 3 соответственно в вершинах V, VI, VII.

35.2. Вершина VIII (и JT, III, IV). Игра трех лиц и болвана

35.2.1. Рассмотрим теперь игры, соответствующие четырем вершинам II, IV, VIII, обозначенным светлыми точками. Так как они получаются друг из друга подходящей подстановкой игроков 1, 2, 3, 4, достаточно рассмотреть одну из них, например VIII.

Точка VIII соответствует значениям -1, -1, -1 координат xi4 х2, х3. Таким образом, характеристической функцией этой игры y(S) будет

О -1 -2

(35:6) v (S) = { если S имеет элементов \

О 1

2 (и игрок 4

принадлежит S)

2 (и

игрок 4

не принадлежит S)

(проверка осуществляется непосредственно с помощью (34:1), (34:2), (34:3) из п. 34.2.1). Снова вместо применения к этой игре математической теории гл. VI посмотрим сначала, не допускает ли она непосредственную интуитивную интерпретацию.

Важная черта этой игры состоит в том, что неравенство (25:3:с) в п. 25.3 превращается в равенство, т. е.

<35:7) v(S\JT)=v(S) + v(T), если S(]T=0

при Т = (4). Это означает следующее. Если S представляет собой коалицию, не содержащую игрока 4, то добавление игрока 4 к этой коалиции не дает ей преимущества, т. е. оно никак не влияет на стратегическое положение ни этой коалиции, ни ее противников. В этом и состоит смысл аддитивности, выраженной в (35:7).

Замечание. Заметим, что безразличие в отношении присоединения к коалиции игрока 4 выражается именно формулой (35:7), но не равенством

v (SUT) = v (S).

Это означает, что игрок безразличен как партнер не тогда, когда его добавление не изменяет выигрыша коалиции, а тогда, когда он добавляет в коалицию ровно ту величину (и не больше), которой он стоит сам по себе.

Это замечание может показаться тривиальным; однако существует некоторая опасность неверного понимания, особенно в нередуцированных играх, где v ((4)) > О, т. е. где добавление игрока 4 (хотя стратегически и несущественное!) фактически увеличивает выигрыш коалиции. Заметим также, что безразличие S и Т = (4) друг к другу является строго, взаимным отношением.

35.2.2. Это обстоятельство приводит к следующему выводу, который, конечно, чисто эвристичен г). Так как добавление игрока 4 к любой

г) Впоследствии мы предпримем точное обсуждение на основе п. 30.1. Тогда же будет также найдено, что все такие игры являются частными случаями более общих довольно важных классов игр (см. гл. IX, особенно п. 41.2).

коалиции оказывается совершенно безразличным для обеих сторон, представляется правдоподобным предполагать, что игрок 4 не принимает участия в сделках, составляющих стратегию игры. Он изолирован от других, и величина, которую он может получить сам по себе, т. е. v (S) = - 1, действительно равна значению игры для него. С другой стороны, остальные игроки 1, 2, 3 могут играть игру только между собой, следовательно они разыгрывают игру трех лиц. Значения первоначальной характеристической функции v (S), описывающие исходную игру трех лиц, равны

v((0)) = O, )

о v((l))=v((2))=v((3))= -1, I / = (1,2,3) является теперь

(ЗЪ:Ь ) v((l, 2))=v((l, 3))=v((2, 3)) = 2, j множеством всех игроков.

v((l,2,3)) = l J

(Проверить это по (35:6).)

На первый взгляд кажется странным, что значение v (/) (теперь V является множеством всех игроков!) отлично от нуля. Это, однако, вполне понятно: исключая игрока 4, мы приходим к игре с ненулевой суммой, так как мы предназначили для игрока 4 значение, равное -1, а остальные получают вместе величину 1. Мы все еще не занимаемся систематическим описанием этой ситуации (см. сноску 1 на стр. 315). Однако очевидно, что это условие можно обойти при помощи небольшого обобщения преобразования, использованного в п. 27.1. Мы модифицируем игру с игроками 1, 2, 3, предполагая, что каждый игрок заранее получает выигрыш, равный 1/3, и это компенсируется эквивалентным уменьшением значений v (S) в (35:6*). Так же, как и в.п. 27.1, это не может повлиять на стратегию* игры, т. е. приводит к стратегически эквивалентной игре.

Замечание. В терминологии п. 27.1.1 а\ = а% = а§ = -1/3. Условием которое мы здесь нарушили, является (27:1):2а? = О- Это неизбежно, так как мы

начали с игры с ненулевой суммой. Условие = 0 как раз могло бы быть сохра-

нено, если включить в рассмотрение игрока 4, полагая aj = 1. Это оставило бы его как и раньше, изолированным, но необходимая компенсация привела бы к тому, что* v ((4)) стало бы равным 0, результаты чего очевидны. Резюмируя, можно сказать, что* в данной ситуации редуцированная форма игры не является наилучшей основой для обсуждения всех стратегически эквивалентных форм.

После рассмотрения упомянутых выше компенсаций г) мы получаем новую характеристическую функцию:

v((0)) = O,

(35:6**)

v((l)) = v((2)) = v((3))=-f

v((l,2)) = v((l, 3)) = v ((2, 3)) = v((l,2, 3)) = 0.

Она является редуцированной формой существенной игры трех лиц с нулевой суммой, обсужденной в § 32 (за исключением различия в единице измерения). Теперь мы имеем 7 = /Звместоу = 1 из (32:1)вп. 32.1.1. Таким образом, мы можем применить эвристические результаты из

*) То есть вычитание величины 1/3 из v(S) столько раз, сколько элементов имеет S.

*) Конечно, данное обсуждение эвристично во всех отношениях. Что касается строгого рассмотрения, см. сноску 1 на стр. 315.

2) Это- физическая подоплека в смысле п. 4.6.3.

п. 23.1.3 или же строгие результаты из § 32 х). Во всяком случае, мы ограничимся решением, имеющим место в обоих случаях и являющимся простейшим; это решение (32:В) из п. 32.2.3. Оно является множеством дележей (32:6) из п. 32.2.1, которое мы должны умножить на имеющееся значение 7 = 4/3, т. е.

t з з з j ХзЗз/ззз/*

(Игроками здесь, конечно, будут 1, 2, 3.) Другими словами, цель стратегии игроков 1, 2, 3 - образовать какую-нибудь коалицию из двух; игрок, попадающий в нее, т. е. выигрывающий, получает 2/3; проигрывающий же игрок получает -4/3. Итак, каждый из игроков 1, 2, 3 нашей исходной игры получает выигрыш на 1/3 больше; следовательно, полученные выше величины 2/3, -4/3 нужно заменить на 1, -1.

35.2.3. Резюмируем:

35: В) Это игра, в которой игрок 4 исключается из всех коалиций. Стратегическая цель остальных игроков 1, 2, 3 состоит в образовании какой-нибудь коалиции из двух игроков. Игрок 4 в любом случае получает -1. Каждый из остальных игроков 1, 2, 3 получает величину 1, если он находится среди выигрывающих, и -1, если он проигрывающий. Все это основано на эвристических рассмотрениях.

Можно было бы сказать более выразительно, что эта игра четырех лиц есть всего лишь раздутая игра трех лиц; именно, существенная игра трехлиц из игроков 1, 2, 3, расширенная добавлением болвана в лице игрока 4. Далее мы увидим, что эта концепция имеет более общее значение (см. сноску 1 на стр. 315).

35.2.4. Можно было бы сравнить роль болвана для игрока 4 в этой игре с исключением, которому подвергается игрок в дискриминирующем решении (32:А) в п. 32.2.3, как это обсуждалось в п. 33.1.2. Однако существует важное различие между этими двумя явлениями. При нашем настоящем подходе игрок 4 не имеет никаких оснований для участия в какой-либо коалиции вообще; он остается в стороне из-за характеристической функции v (S). Наши эвристические рассмотрения показывают, что он должен быть исключен из всех коалиций во всех допустимых решениях. Мы увидим в п. 46.9, что точная теория устанавливает именно это. Исключенный игрок в дискриминирующем решении в случае п. 33.1.2 исключается только в конкретной рассматриваемой ситуации. Насколько показывает характеристическая функция этой игры, его роль не отличается от роли каждого из остальных игроков. Другими словами, болван в рассматриваемой нами игре исключается из-за объективных явлений ситуации (характеристической функции v(S)) 2).

Исключенный игрок в дискриминирующем решении исключается только произвольными предубеждениями , которые выражает особая .норма поведения (решения).

В начале этого параграфа мы заметили, что вершины , /77, IV отличаются от VIII только перестановками игроков. Легко проверить, что особая роль игрока 4 в VIII отводится в , 77/, /соответственно игрокам 1, 2, 3.