35.3. Некоторые замечания, касающиеся внутренности Q

35.3.1. Рассмотрим теперь игру, соответствующую центру Q, т. е. значениям координат хи х2, х3, равным 0, 0, 0. Ясно, что эта игра не изменяется при любой подстановке игроков 1, 2, 3, 4, т. е. что она симметрична. Заметим, что это единственная из таких игр в Q, так как полная симметрия означает инвариантность при всех подстановках х{, х2, х3 или изменениях знака любых двух из них (см. п. 34.3); следовательно, х{ = х2 - = #3 = 0. Характеристическая функция этой игры v (S) равна

(35:8) v(5) =

ГО 1

2 элементов1).

0 -1

0 если S имеет

(Проверка производится непосредственно с помощью соотношений (34:1)г (34:2), (34:3) из п. 34.2.1.) Точные решения этой игры многочисленны; приходится даже признать, что их разнообразие немного ошеломляет. Пока еще не удается упорядочить и систематизировать их последовательным применением имеющейся общей теории в такой мере, как хотелось бы. Тем не менее найденные примеры решений приводят к поучительному проникновению в различные ответвления теории. Мы рассмотрим их более детально в §§ 37 и 38.

Пока мы сделаем лишь следующее (эвристическое) замечание. Смысл этой полностью симметричной игры состоит, очевидно, в том, что любое большинство игроков (т. е. любая коалиция из трех) выигрывает, а в случае равных коалиций (т. е. когда образуются две коалиции, каждая из двух игроков) никаких выплат не производится.

35.3.2. Центр Q представляет единственную (полностью) симметричную (т. е. относительно всех перестановок игроков 1, 2, 3, 4) игру в нашей постановке. Геометрическая картина указывает также на другую симметрию: по отношению ко всем перестановкам координат х{, х2, х3. Следуя этим путем, мы выбираем точки Q, для которых

(35:9) xt = хг = х3

и которые образуют главную диагональ Q, т. е. прямую

(35:10) /-центр-УШ.

В начале п. 34.3.1 мы видели, что эта симметрия означает в точности то, что игра инвариантна относительно всех перестановок игроков 1, 2, 3. Сформулируем это же другими словами.

Главная диагональ (35:9), (35:10) представляет все те игры, которые симметричны по отношению к игрокам 1, 2, 3, т. е. где особую роль может иметь только игрок 4.

Куб Q имеет еще три главные диагонали ( -центр-F, /-центр-F/, /7-центр-7 ), и они, очевидно, соответствуют играм, в которых один из остальных игроков (соответственно, 1, 2, 3) может иметь особую роль.

Вернемся к главной диагонали (35:9), (35:10). Три ранее рассмотренные игры (/, VIII, центр) лежат на ней; в действительности во всех этих играх только игрок 4 имел особую роль 2). Заметим, что вся эта категория

*) Это представление еще раз показывает, что игра симметрична и однозначно характеризуется этим свойством. См. анализ в п- 28.2.1. 2) А в центре даже он не имел.

игр является однопараметрическим многообразием. Вследствие (35.9) такая игра характеризуется значением xi9 где

(35:11) -lSil.

Три упомянутые игры соответствуют крайним значениям #4 = 1, х - -1 и среднему значению xt = 0. Для того чтобы продвинуться дальше в разработке общей теории, было бы желательно определить точные решения для всех этих значений хх, а затем посмотреть, как изменяются эти решения при изменении xi9 если двигаться вдоль (35:10). Особенно интересно было бы выяснить, как качественно различные виды решений, соответствующие частным значениям Xi = 1, 0, 1, переходят один в другой. В п. 36.3.2 мы дадим пояснения по поводу информации, уже имеющейся в этом обсуждении.

35.3.3. Другим интересным вопросом является следующий. Рассмотрим сначала игру, т. е. точку в Q, в которой мы можем интуитивно представить, каким там будет решение, например вершину VIII. Затем рассмотрим игру в непосредственной окрестности VIII, т. е. игру со слегка измененными значениями xi9 хг, х3. Теперь было бы желательным найти точные решения для этих соседних игр и посмотреть, в чем они отличаются от решений исходной игры, т. е. как малое изменение xi9 х2, х3 изменяет решение 1). Частные случаи такой постановки вопроса будут рассмотрены в п. 36.1.2, в конце п. 37.1.1, а также в п. 38.2.7.

35.3.4. До сих пор мы рассматривали игры, которые представляются точками Q более или менее частного вида 2). Более общая, а возможно, и более типичная задача возникает, когда представляющая точка X находится внутри Q в общем положении, т. е. в положении, не имеющем никаких особых отличительных свойств.

Можно было бы теперь подумать, что хороший эвристический путь для исследования задачи в таких точках дается следующей схемой. Мы имеем некоторые эвристические наметки относительно условий в вершинах / - VIII (см. пп. 35.1 и 35.2). Любая точка X из Q в какой-то мере окружена этими вершинами; точнее говоря, она является их центром тяжести с соответствующими весами. Следовательно, можно предположить, что стратегия игр, представляемых точками X, является в некотором смысле комбинацией (более знакомых) стратегий игр, представляемых точками / - VIII.

Замечание. Рассмотрим две точки Х = {xt, х2, х3} и Y - {yi4 у2, уз} из Q. Мы можем рассматривать их как векторы в Ь3 и именно в этом смысле понимать центр тяжести tX + (l - t) Y = {tXi-\-(l- t) yi4 ta2 + (l- t) у2, tx3-\-(l - t) у3} (см. (16:А:с) в п. 16.2.1).

Теперь, если X = {х1ч х2, х3} и Y = {yi4 у2, у3} определяют характеристические функции \{S) и w(S) в смысле (34:1) - (34:3) из п. 34.2.1, то точка tX + (1 - t) Y будет определять по такому же правилу характеристическую функцию

u (S) = tv {S) + (1 - t) w (S).

(Это соотношение легко проверить с помощью указанной выше формулы.) Именно эта функция u (S) была введена формулой (27:10) в п. 27.6.3 как центр тяжести v (S) и w (S).

Таким образом, рассмотрения в тексте согласованы с рассмотрениями в п. 27.6. То, что мы имеем дело с центрами тяжести более чем двух точек (их восемь: / - VIII)

х) Эта процедура известна в математической физике, где она используется для нахождения решений, которые нельзя получить в общем виде в настоящее время: это теория возмущений.

2) Вершины, центр и вся главная диагональ.

вместо кровно двух, несущественно: общую операцию можно получить, итерируя частную.

Из этих замечаний следует, что трудности, с которыми мы столкнемся далее, имеют прямое отношение к п. 27.6.3, как там было отмечено.

Можно даже надеяться, что эта комбинация будет некоторым образом аналогична расположению центра тяжести X точек / - VIII. .

В пп. 36.3.2 и 38.2.5-7 мы увидим, что это справедливо в отдельных частях Q, но, конечно, не везде в Q. На самом деле в некоторой внутренней области Q наблюдаются явления, качественно отличные от явлений в точках / - VIII. Все это показывает, сколь тщательно следует подходить к понятиям, связанным со стратегиями или с предположениями о них. Математический подход в настоящий момент находится в таком зачаточном состоянии, что требуется накопление большого опыта, прежде чем можно будет почувствовать себя уверенно в этой области.

36.1. Участок, примыкающий к вершине VIII* Эвристическое описание

36.1.1. Систематическая теория игр четырех лиц еще не разработана настолько, чтобы представить полный список решений для всех игр, описываемых точками Q. Мы не в состоянии указать даже по одному решению для каждой такой игры. До сих пор исследования достигали успеха только в определении решений (иногда одного, иногда нескольких) в некоторых частях Q. Только для каждой из восьми вершин / - VIII установлен полный список решений. В настоящее время части Q, для которых решения известны, образуют, вообще говоря, довольно случайные линейные, плоские и пространственные области. Они распределены по всему Q, но не заполняют его полностью.

Полный список решений, известных для вершин / - VIII, можно легко установить с помощью результатов гл. IX и X, где эти игры будут рассматриваться в рамках некоторых более обширных разделов общей теории. Пока мы ограничимся фрагментным подходом, который состоит в описании частных решений в тех случаях, когда они известны. Цель .этого описания будет заключаться отнюдь не в точной оценке современного состояния этих исследований х), к тому же это заняло бы очень много места. Мы только рассмотрим отдельные случаи, которые, как мы надеемся, достаточно наглядны.

36.1.2. Мы рассмотрим сначала условия на главной диагонали /-центр-VIII в Q вблизи ее конца в вершине VIII, где xi = х2 = х3 = -1 (см. п. 35.3.3), и попытаемся произвести распространение, насколько это возможно, на xt = х2 = х3 > -1 (рис. 43). На этой диагонали

§ 36. РАССМОТРЕНИЕ ГЛАВНЫХ ДИАГОНАЛЕЙ

<36:1)

2(и игрок 4

принадлежит S)

у (5)

если S имеет элементов \

2(и игрок 4

не принадлежит S).