ММВБ (в рублях) за 4-х месячный период (декабрь 2001 - начало апреля 2002). В правой части представлены результаты статистического анализа цен закрытия за данный интервал времени, позволяющие выяснить плотность распределения цен, то есть - частоту попадания значения из ценового ряда в определенный ценовой интервал, которую характеризует гистограмма. Кривая, наложенная на гистограмму, показывает вид распределения цен.

Для анализа также еще используют данные об изменении цен либо логарифмическую доходность - отношение логарифмов, обычно натуральных, цен изучаемого ряда. Мы не будем проникать в дебри статистического анализа, выясняя тип распределения на рисунке 1 - 1, поскольку этот вопрос слишком большой, и для нас он сейчас не слишком важен. Заметим, по-видимому, в данном случае мы имеем дело с распределением Парето либо Стьюдента, подклассом которого является нормальное распределение. В распространенных опционных моделях обычно основываются на логнормальном, или логарифмически-нормальном распределении: распределении случайной величины, логарифм которой характеризуется нормальным распределением. В связи с этим следует отметить, что предположение о нормальности или лог-нормальности распределения ценовых рядов достаточно условно: строгое использование гипотезы о нормальности распределения вовлечет в модель ценообразования отрицательные цены.

Фактически кривая распределения цен показывает нам вероятность достижения в будущем ценой интересующего нас значения. Математическое моделирование позволяет ввести различные предположения относительно формы распределения, а также продолжить хвосты в обе стороны, которые для рассматриваемого ценового ряда относятся к разряду стресс-ситуаций. Тем не менее, их обычно учитывают в моделях, вводя ограничения через параметр доверительного уровня, принимающего разные значения в зависимости от выдвигаемых предположений и методологии расчетов.

Очевидно: чем больше срок действия опциона, тем дальше от текущих значений могут сдвинуться цены, поэтому премия опциона растет с увеличением срока до истечения. Собственно, премия опциона определяется суммированием результатов всех исходов, взвешенных по вероятности, корректируемых по ставке, чтобы получить приведенную стоимость. Так как опцион - всего лишь одна из инвестиционных альтернатив, то приходится учитывать влияние арбитража, устраняющего рыночные диспропорции с помощью разнообразных, но связанных между собой финансовых инструментов. Все вычислительные расчеты, необходимые для определения опционной премии, которую иногда называют справедливой , говоря о теоретических ценах, как раз и выполняют многочисленные модели ценообразования опционов.

3 И° И В р И I Щ 128 14 lit ИВ 26 I [4 11 116 25 [1 Э И?

12001 12002 iFeOrjarvMarch Rwi

Рис. 1-1. Дневной график цен РАО ЕЭС России (ММВБ) за четыре месяца, а также распределение цен

Следует отметить: в реальности определить, что такое справедливая цена , - очень сложно, если вообще возможно. В принципе, это весьма эфемерная величина, поскольку некоторые параметры для модели берутся непосредственно из рынка, поэтому любые текущие цены являются по большому счету справедливыми , вне зависимости от обстоятельств. Единственное, что можно предположить - это возможность ошибки рыночных игроков, переоценивших рынок в данный момент времени или недооценивших его.

Подводя итог, остается заметить: физический смысл опционной премии в том, что она показывает, сколько инвестор готов заплатить в текущий момент времени за право обладания рисковым активом. Собственно, эта задача, получившая название Петербургский парадокс , известна более четверти тысячелетия и впервые была поставлена Бер-нулли, затем и решившим ее.

1.2. Необходимая математика

Для полноценного понимания всех аспектов, связанных с использованием волатильности, нам придется неоднократно обращаться к расчетам, поэтому необходимо уделить немного внимания математическим основам, обратившись к наиболее распространенным концепциям. Для практической деятельности на финансовых рынках совсем необязательно в совершенстве разбираться в формулах, используемых для вычисления теоретической стоимости опционов, которая считается справедливой . Тем не менее, чтобы в дальнейшем не возникало проблем, связанных с непониманием некоторых аспектов и алгоритмов вычисления, мы кратко рассмотрим некоторые модели ценообразования опционов. Обратимся к наиболее известной концепции определения опционной премии - ранее уже упомянутой модели Блэка - Шоулза. Основная версия, позволяющая оценивать стоимость европейских опционов на акции и американских с нулевым купоном, опционов на фьючерсы и валютные опционы, выглядит так:

Теоретическая стоимость опциона колл = = U х e(BR)xT х N (rf,) - Е xe~RxT х N (d2);

Теоретическая стоимость опциона пут =

= Exe-RxTxN(-d2)-Ux e<B~R)xT х N {-dy),