В пункте (2.3.3) были рассмотрены матрица платежеспособного спроса Е (табл.2.4) и ее матрица рисков R (табл.2.5)

49300 197200 197200 197200 -60 148900 297800 297800 1140 98400 196800 393600

,Я =

0 100600 196400

49360 48300 0 95800 50440 98800 101000 0

Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности Pj того, что реальная ситуация развивается по варианту j. Именно такое положение называется частичной неопределенностью. Тогда решение можно принимать, в частности, по правилу максимизации среднего ожидаемого дохода.

Пример. Прибыль, получаемая компанией при реализации 1-го решения, является случайной величиной Е( с рядом распределения:

Математическое ожидание M[E,] и есть средняя ожидаемая

прибыль, обозначаемая также Et. Итак, правило рекомендует принять решение, приносящее максимальную среднюю ожидаемую прибыль.

Предположим, что в рассматриваемом примере вероятности

1 1 1 1

равны: Тогда

0 4 4 3

ЁГ = 49300 - +197200 - +197200 - +197200- - = 172500, 6 4 4 3

Ё1 = -60 ~+148900 j+297800 + 297800 ~ = 2109311,

Щ = - Ц40 - + 98400 - +196800 i + 393600 4 = 204810. 6 4 4 3

Максимальная средняя ожидаемая прибыль равна Е2 = 210931-

и соответствует стратегии компании Р2.

Далее рассмотрим выбор решения по правилу минимизации среднего ожидаемого риска. Риск компании при реализации 1-го

решения является случайной величиной R, с рядом распределения:

Математическое ожидание M[Rt] и есть средний ожидаемый

риск, обозначаемый также Rt. Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск.

Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше вероятностях для матрицы рисков R. Получаем:

R, =0-- + 0-- + 100600-- + 196400~ = 9061б,

1 6 4 4 3 3

Я7 = 49360 - + 48300-- + 0-- + 95Ш~ = 52235,

2 6 4 4 3

#7 = 50440 -+98800 -+101000 - + 0 ~ = 65023 \. 1 6 4 4 3 3

Минимальный средний ожидаемый риск равен R2 =52235 и соответствует стратегии компании Р2.

Отличие частичной (вероятностной) неопределенности от полной неопределенности очень существенно. Как указывалось выше, принятие решений, исходя из критериев оптимальности, нельзя считать окончательным, самым лучшим. Это лишь некоторые предварительные соображения. Далее пытаются получить дополнительную информацию о возможностях того или иного варианта решения, о его вероятности, что уже предполагает повторяемость рассматриваемой схемы принятия решений: то ли это было в прошлом, то ли это будет в будущем.

Итак, в рассмотренном примере была получена оптимизационная двухкритериальная задача по выбору наилучшего решения, так как каждое решение имеет две характеристики - среднюю ожидаемую прибыль и средний ожидаемый риск.

Существует несколько способов постановки таких оптимизационных задач. Рассмотрим один из них в общем виде.

Пусть О - некоторое множество операций. Каждая операция о имеет две числовые характеристики Е (о) и R (о) (например, эффективность и риск) и разные операции обязательно различа-

ются хотя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей операции, желательно, чтобы Е было больше, a R меньше.

Будем говорить, что операция а доминирует операцию в, и обозначать а>в, если Е(а) > Е(в) и R(a) > R(e) и хотя бы одно из этих неравенств строгое. При этом операция а называется доминирующей, а операция в - доминируемой. Ясно, что ни при каком разумном выборе наилучшей операции доминируемая операция не может быть признана таковой. Следовательно, наилучшую операцию надо искать среди недоминируемых операций Множество этих операций называется множеством Парето или множеством оптимальности по Парето.

На множестве Парето каждая из характеристик Е, R - однозначная функция другой, т.е. по характеристике Е можно определить характеристику R и наоборот.

Применительно к матричным играм распределение называется Парето - оптимальным, если положение ни одного из игроков нельзя улучшить, не ухудшая при этом положение его партнера.

Продолжим анализ рассматриваемого примера. Каждое решение (/? £,) отметим как точку на плоскости (Рис.2.1), получили

три точки. Чем выше точка (Л ), тем более доходная операция, чем точка правее, тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. В рассматриваемом примере множество Парето состоит только из одной второй операции.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для операции £ с характеристиками (R, Е) дает одно число, по которому и определяют

2

3

1

\\-1-1-1-►

О 50000 75000 100000 R

Рис. 2.1. Множество операций

200000-170000-

лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула имеет вид: /(Е) = 2£-Я. Тогда имеем:

/(£,) = 2 172550 - 906161 = 2544831, f(E2 ) = 2 2109311 - 52235 = 3696281,

f(E3 ) = 2 204810 - 650231 = 3445961.

Отсюда видно, что стратегия Е2 - лучшая.

Взвешивающая формула выражает отношение лица, принимающего решение к доходу и риску. Если ЛПР применяет только что рассмотренную формулу, то он согласен на увеличение риска операции на две единицы, если доход операции при этом увеличивается не менее, чем на одну единицу. Следует отметить, что эта формула может передать отношение ЛПР к доходу и риску лишь приблизительно.

2.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ОБЪЕМА ПРОИЗВОДСТВА ШВЕЙНОГО ПРЕДПРИЯТИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

2.6.1. Верхняя и нижняя цена игры

Рассмотрим платежную матрицу игры Е = су , раскрытую в

виде (2.2.1). Здесь i-я строка соответствует А,~тл стратегии игрока AJ-й столбец соответствует Bj-й стратегии игрока В.

Пусть игрок А выбирает некоторую стратегию Аг, тогда, в наихудшем случае (например, если выбор станет известен игроку В), он получит выигрьпд равный min. Предвидя эту возможность,

игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный в каждой стратегии выигрыш а. Таким образом,

а = max min ait. (2.6.1)

i j

Величина а называется нижней ценой игры (a - это гарантированный выигрыш игрока А). Очевидно а находится в одной из

строк матрицы Е, пусть в i0, тогда стратегия Ai0 называется мак-симинной.

Итак, если игрок А будет придерживаться максиминной стратегии, то ему при любом поведении игрока В гарантирован выигрыш, во всяком случае не меньший а.

С другой стороны, противник - игрок В, заинтересован в том, чтобы обратить выигрыш игрока А в минимум, поэтому он должен пересмотреть каждую свою стратегию с точки зрения максимального выигрыша игроком А при этой стратегии. Другими словами, при выборе некоторой стратегии Bj он должен исходить из максимального проигрыша в этой стратегии, равного тахссу, и найти такую стратегию, при которой этот проигрыш будет наименьшим, то есть не более, чем

Р = min max atj б 2)

Величина Р называется верхней ценой игры, а соответствующая ему стратегия Bp - минимаксной.

Принцип осторожности, диктующий игрокам выбор стратегий максиминной ими минимаксной соответственно, в теории игр именуют принципом минимакса , а сами стратегии максймин-ные и минимаксные - общим термином минимаксные стратегии .

Вполне определенной игрой или игрой с седловой точкой называется игра, у которой совпадают нижняя и верхняя цены игры, то есть выполняется равенство:

a = max min aa = min max = Of = P /п с i\

i j u j i (2.6.3)

При этом V= a - P называется ценой игры, а элемент aJ0;0, соответствующий равенству, называется седловой точкой.

Простота решения игры с седловой точкой заключается в том, что оптимальные стратегии обоих игроков находятся сразу. Для игрока А это стратегия Ai0, для игрока В - Bj0. Причем, такое решение обладает свойством устойчивости в том смысле, что, если один из игроков применяет свою оптимальную стратегию, то любое отклонение другого игрока от оптимальной стратегии может оказаться не выгодным для него.

Действительно, пусть игрок А выбрал оптимальную стратегию Ate, соответствующую a = max min atj = ai)Jo, то есть игрок А

обеспечивает себе выигрыш, равный одному из элементов i0 строки, причем, элемент в j0 столбце наименьший среди них (ai0j > aiop, j Ф jo). И если игрок В выберету-ю стратегию отличную от j0, то он проиграет сумму, равную (aioj - сц0р), а игрок А соответственно выиграет ее. Аналогичные рассуждения показывают невыгодность стратегии, отличной от оптимальной, для игрока А, когда В придерживается своей оптимальной стратегии.

Среди конечных игр, имеющих практическое значение, сравнительно редко встречаются игры с седловой точкой. Более типичным является случай, когда нижняя и верхняя цены игры не совпадают (а Ф Р), причем, нетрудно показать, что тогда a < р.

Действительно, пусть a = maxminal7 =aKS, это означает, что

1

в к-ой строке элемент ctfcs наименьший, то есть при нахождении at = тахссу в их число попадут значения не меньшие (Xfcs, так как

даже в этой строке элементы в других столбцах больше или равны ciks- Значит и

min{max а } = min cti>aKS. i j

Откуда следует, что Р > а, но мы рассматриваем случай Р Ф а, значит Р> а. Итак, в играх не имеющих седловой точки, нижняя цена игры а всегда меньше верхней р.

Установленный факт означает, что если игра одноходовая, то есть партнеры играют один раз, выбирая по одной чистой стратегии, то в расчете на разумно играющего противника они должны придерживаться принципа минимакса, это гарантирует выигрыш V> а игроку А и проигрыш V< Р игроку В. Следовательно, при применении минимаксных стратегий величина платежа V ограничена неравенством а< V< р.

Если же игра повторяется неоднократно, то постоянное применение минимаксных стратегий становится неразумным. Например, если игрок В будет уверен в том, что на следующем ходу А применит прежнюю стратегию, то он несомненно выберет стратегию, отвечающую наименьтлему элементу в этой строке, а не прежнюю.

Таким образом, мы пришли к выводу, что при неоднократ-