Результаты вычислений сведены в табл. 2.8.

Платежная матрица

Таблица 2.8

Платежная матрица рассматриваемой производственной ситуации имеет вид:

17900 5900 35900 22 000 35 400 6 400 34800 22800 16000

(2.6.20)

Платит, естественно, не природа, а некая третья сторона (или совокупность сторон, влияющих на принятие решений игроком 1 и объединенных в понятие природа ). В данной ситуации платит само предприятие, получая меньшую или большую прибыль.

Можно задавать матрицу игры с природой и в виде так называемой матрицы рисков Л = г или матрицы упущенных возможностей. Величина риска - это размер платы за отсутствие информации о состоянии среды. Матрицу R построим на основе матрицы выигрышей Е = Цву-Ц.

Риском rtj игрока при использовании им стратегий Р\, Р2 или Рз и при состоянии природы П\, П2 или Щ будем называть разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы он узнал, что состоянием среды будет или П\, или П2, или /7з и выигрышем, который игрок получит, не имея этой информации.

Матрицу рисков находим по формуле (2.2.2).

Для матрицы (2.6.20) имеем /3, = 34 800, р\ = 35 400, р\ = 35 900. Получаем матрицу рисков:

Г16900 29500 0 12800 0 29500 0 12600 19900

(2.6.21)

Для определения критериев эффективности построим табл. 2.9.

Таблица 2.9

Вспомогательная таблица

Для предприятия лучшими являются стратегии: по критерию гарантированного результата:

Ег = max mine,-: = max{5900, 6400,16000} = 16000-Р3;

i j

по критерию оптимизма:

Еа = maxmaxe = max{35900, 35400, 34800} = 35900-Р,; i j

по критерию пессимизма:

Е =minmine,v =min{5900, 6400,16000} = 5900-Р,; j

по критерию Сэвиджа, исходя из матрицы рисков (2.6.21):

Erc = min max г, = min{29500, 29500,19900} = 19900 - Р3; I j у <

по критерию Гурвица при коэффициенте оптимизма к = 0,6

Ег = тах{к min etj + (1 - к) max ей } = i j j

= max{17900,18000, 23520} = 23520-P3.

Стратегия Р3 повторяется в качестве оптимальной по трем критериям выбора из пяти критериев, а стратегия Pi - по двум критериям. Однако, преимущество дал критерий Гурвица, зависящий от коэффициента оптимизма к и, если принять к = 0,9, то по критерию Гурвица оптимальной будет стратегия Р2. Поэтому к практическому применению можно рекомендовать как стратегию Р\, так и стратегию Р3.

В данном случае видно, что однозначного ответа о выборе оптимальной стратегии, исходя из критериев оптимальности, дать нельзя.

Дальнейший экономический анализ, с целью определения оптимального объема производства, проведем с использованием теории двойственности задач линейного программирования.

Для матрицы (2.6.20), исходя из общей постановки (2.6.16) - (2.6.19) имеем следующую пару двойственных задач:

для определения оптимальной стратегии игрока Р нужно решить задачу линейного программирования: найти минимум функции

T=ti + t2 + h (2.6.22)

I qa п

при ограничениях

17900Г, +22000r2 +34800f3 >1, 5900г, +35400г2 +22800г3 >1, 35900?! + 6400г2 +16000*3 * I (2.6.23)

t] >0, 1 = 1,2,3.

Оптимальную стратегию игрока П определим, решив задачу линейного программирования: найти максимум функции

Z = щ + и2 + щ (2.6.24)

о т pi on

при ограничениях

17900м, +5900м2 + 35900м3 <1, 22000м, +35400м2 + 6400м3 < 1, 34800! + 22800м2 +16000м3 <1, (2.6.25)

uj>0, j = 1,2,3.

Решаем более простую обратную задачу (2.6.24) - (2.6.25). Вводя положительные базисные переменные (б.п.) щ, щ, щ, систему неравенств (2.6.24) - (2.6.25) записываем в виде системы уравнений

17900м, +5900м2 +35900м3 +ил = 1, 22000м, + 35400м2 + 6400ы3 + м5 = 1, 34800м, +22800м2 +16000м3 +и6 = 1, -м,- и2- m3 + z = 0.

Систему (2.6.26) записываем в виде табл. 2.10.

о те (2.6.26)

Таблица 2. 10

Совершая последовательно три шага модифицированных жор-дановых исключения, получим табл. 2.11.

Таблица 2.11

Так как в табл. 2.11 все элементы в Z-строке и 1-столбце неотрицательны, то получаем оптимальное решение.

Переходим к решению прямой задачи. Установим соответствие переменных двойственных задач:

СП. Б.П.

Щ 2 3 4 5 6

Ц <5 h h h h

Транспонируем табл. 2.11, знаки перед всеми элементами, кроме элементов Z - строки, меняем на обратные, переменные L заметем на соответствующие переменные щ, получаем табл. 2.12.

Таблица 2.12

Из табл. 2.12 получаем оптимальное решение. Так как

Г = 1 = 0.48-ТСГ4, то цена игры V= 20833. Из г, =- = 0,225-10 4

получаем х\ = 0.469. Аналогично получим х2 = 0,472 и х3 = 0,059.

Это означает, что стратегию Р\ нужно применять с вероятностью 0,469, стратегию Р2 - с вероятностью 0,472 и стратегию Рз - с вероятностью 0,059.

Формируем оптимальный план производства:

(600 кост. + 2000 плат. + 300 плащ.) 0,469 + (1000 кост. + + 500 плат. + 800 плащ.) 0,472 + (800 кост. + 1100 плат. + + 600 плащ.) 0,059 = 801 кост. + 1239 плат. + 554 плащ.

Таким обратом, предприятие при производстве 801 костюма, 1239 платьев и 554 плащей получит наибольшую прибыль, которая в среднем составит 20833 ден. ед.

Для приведенной формулировки производственной задачи получили однозначный ответ.

Недостатком данного метода является достаточно большой объем вычислительных операций даже для матрицы с размерностью 3x3. Однако, существуют стандартные программы применения симплексного метода на ЭВМ и это снимает подобное неудобство. 104

Глава 3 ПРИНЯТИЕ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РИСКА

3.1. ВЕРОЯТНОСТНАЯ ПОСТАНОВКА ПРИНЯТИЯ ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Риск - категория вероятностная, поэтому в процессе оценки неопределенности и количественного определения риска используют вероятностные расчеты.

Вероятностные задачи характеризуются тем, что эффективность принимаемых решений зависит не только от детерминированных факторов, но и от вероятностей их появления, т.е. известен закон распределения управляемых факторов X в виде:

где Р, есть вероятность появления управляемого фактора х i = 1, п.

Каждой паре (х /*,) соответствует значение функции эффективности Е(хь Pi). В качестве показателей эффективности могут выступать математическое ожидание Е, дисперсия D, среднее квад-ратическое отклонение и другие вероятностные характеристики.

E = xip D = cr2=(xi-E)2Pi=xJ-(E)\V=±0№, (3.1.1)

где Е2 - среднее ожидаемое значение квадрата рассматриваемой величины.

Средняя величина Е представляет собой обобщенную количественную характеристику и не позволяет принять решение в пользу какого-либо варианта вложения капитала.

Среднее квадратическое отклонение а является именованной величиной и указывается в тех же единицах, в каких измеряется варьирующий признак. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются мерами абсолютной колеблемости.