Дисперсия не дает полной картины линейных уклонений АХ = Х - Е, более наглядных для оценивания рисков. Тем не менее, задание дисперсии позволяет установить связь между линейным и квадратичными отклонениями с помощью известного неравенства Чебышева.

Вероятность Р того, что случайная величина Лотклоняется от своего математического ожидания больше, чем на заданный допуск е > 0, не превосходит ее дисперсии, деленной на е2, т.е.

Р(Х-£>е)<4- (3.1.1)

Отсюда видно, что незначительному риску по среднеквадра-тическому отклонению соответствует малый риск и по линейным отклонениям: точки X с большой вероятностью будут располагаться внутри £- окрестности ожидаемого значения Е.

Все более признанным становится оценка рискованности посредством среднего квадратического отклонения с.

Итак, будем считать, Что риском операции называется число а - среднее квадратическое отклонение управляемого фактора (например, дохода) X операции, которое обозначим г - а.

Если, например, под X понимать случайный доход Q, то Eq представляет собой средний ожидаемый доход, или эффективность, а среднее квадратическое отклонение Gq является оценкой рискованности, риском и обозначается гд.

Коэффициент вариации V - безразмерная величина. С его помощью можно сравнивать даже колеблемость признаков, выраженных в разных единицах измерения. Коэффициент вариации изменяется от 0 до 100%. Чем больше коэффициент, тем сильнее колеблемость. Установлена следующая качественная оценка различных значений коэффициента вариации [14]: до 10% - слабая колеблемость, 10-25% - умеренная колеблемость, свыше 25% - высокая колеблемость.

С помощью этого метода оценки риска, т.е. на основе расчета дисперсии, стандартного отклонения и коэффициента вариации можно оценить риск не только конкретной сделки, но и предпринимательской фирмы в целом (проанализировав динамику ее доходов) за некоторый промежуток времени.

Преимуществом данного метода оценки предпринимательского риска является несложность математических расчетов, а явным

недостатком - необходимость большого числа исходных данных (чем больше массив, тем достовернее оценка риска).

Рассмотрим данный метод на конкретном примере. Сравним по риску вложения в акции трех типов А, В, С, если каждая из них по своему откликается на возможные рыночные ситуации, достигая с известными вероятностями определенных значений доходности (табл. 3.1).

Таблица 3.1

По формулам (3.1.1) находим для акции А: ЕА =20 0,5 + 10 0,5 = 15%, DA = (20 - 15)2 0,5 + (10 - 15)2 0,5 = 25,

ад =Vd7 = 5%, Va =Д.100% = -100% = 33,3%;

для акции В:

Ев =15,1 0,99 + 5,1 0,01 = 15%, DB = (15,1 - 15)2 0,99 + (5,1 - 15)2 0,01 = 0,99, ав =0,995%, VB = -100% = 6,63%; для акции С:

£С =13 0,7 + 7 0,3 = 11,2%, DC = (13 - 11,2)2 0,7 + (7 - 11,2)2 0,3 = 7,56, а с = 2,75%, Vc = Щ-100% = 24,6%.

Так как наименьшее значение коэффициента вариации имеем для акции В, то и вложения в эту акцию наиболее предпочтительны, тем более, что и ав = гв = 0,995% наименьшее.

Особый вариант риска связан с разорением. Так называется вероятность столь больших потерь (х < Е), которые ЛПР не может компенсировать и которые, следовательно, ведут к его разорению.

Пример. Пусть случайный доход операции О имеет следующий ряд распределения:

и потери 30 или более ведут к разорению ЛПР. Следовательно, вероятность возникновения риска разорения в результате данной операции равна 0,1 + 0,2 + 0,5 = 0,8.

Серьезность риска разорения оценивается именно величиной соответствующей вероятности. Если эта вероятность очень мала, то ею часто пренебрегают (в конце концов вероятность разорения отлична от нуля почти в любой сделке - из-за весьма маловероятных катастрофических событий на финансовых рынках, в масштабах государства, из-за природных явлений и т.п.).

Определим вероятностную меру разорения, приписывая ей вероятность осуществления подобного события.

Пример. Предположим, что на рынке могут возникнуть только два исхода и на каждый из них акции А и В откликаются неслучайным образом. Вероятности этих исходов и соответствующих им значений доходности задаются табл. 3.2.

Таблица 3.2

Ожидаемые доходности акций:

Ел = 6 0,3 + 2 0,7 = 3,2%, Ев = - 1 0,2 + 4,25 0,8 = 3,2%

совпадают, а дисперсии (квадратичные характеристики рисков) равны:

А, = (6 - 3,2)2 0,3 + (2 - 3,2)2 0,7 = 3,35, аА=гА = 1,83, DB = (- 1 - 3,2)2 0,2 + (4,25 - 3,2)2 0,8 = 3,41, св = гв = 1,85.

Предположим теперь, что инвестор взял деньги в долг под процент, равный 2,5%. Ставка процента по кредиту ниже ожидаемой доходности по акциям, которые будут приобретены на заемные деньги, поэтому действия инвестора вполне разумны.

Однако, если инвестор вложил деньги в акции А, то при исходе 1 он выиграет (6 - 2,5) = 3,5%, а при исходе 2 проиграет (2 - 2,5) = - 0,5%, причем с вероятностью Р2 = 0,7. Напротив, если он вложит деньги в актив В, то разорение ему грозит с вероятностью Pi = 0,2 в первой ситуации (исход 1), когда он теряет (- 1 - 2,5) = - 3,5%.

Подсчитаем ожидаемые потери (77) при покупке акций А и В соответственно: ПА - 0,5 0,7 = 0,35, Пв = 3,5 0,2 = 0,7.

Как видим, в первом случае они меньше. Зато риски разорения, оцениваемые через вероятность наступления события, наоборот, при приобретении акций А будут больше (0,7 > 0,2). Это превышение возможности банкротства должно отпугивать осторожного вкладчика, который к тому же играет на заемном капитале, от акции А в пользу бумаг В.

В свою очередь, ожидаемый риск ПА < Пв склоняет его к выбору в пользу акций А. Как действовать в подобной ситуации инвестору? Это зависит от его индивидуальных предпочтений, выражаемых в том числе, функцией полезности инвестора.

В рассматриваемых статистических играх используются понятия: риск (функция риск), потери (функция потерь), решение (функция решения), функции распределения при определенных условиях.

Между определенностью и неопределенностью находится случай принятия решения в условиях риска, когда можно оценить вероятность возникновения каждого возможного условия. Широко используемый подход при таких обстоятельствах - критерий предполагаемого выигрыша.

Предполагаемый выигрыш рассчитывается для каждой альтернативы, после чего отбирается альтернатива с самым высоким показателем. Предполагаемый выигрыш - это сумма значений выигрыша для каждой альтернативы, причем, каждое значение взвешивается с точки зрения вероятности соответствующего условия. Таким образом, используя критерий предполагаемого выигрыша, можно определить возможное значение выигрыша для каждой альтернативы и выбирать вариант с наилучшим значением выигрыша.

В случае стохастической неопределенности, когда неуправляемым факторам (состояниям природы) поставлены в соответствие вероятности, заданные экспертно или вычисленные, решение обычно принимается на основе критерия максимума ожидаемого среднего выигрыша или минимума ожидаемого среднего риска.

Если для каждой игры с природой, задаваемой платежной матрицей Р = р, *=1,/л, j = l,n, стратегиям природы Щ соответствуют вероятности Pj, то лучшей стратегией игрока один будет та, которая обеспечивает ему максимальный средний выигрыш, т.е.

max V Pj

(3.1.3)

Применительно к матрице рисков (матрице упущенных возможностей (выгод)) лучшей будет та стратегия игрока, которая обеспечивает ему минимальный средний риск

mm V Pj

l<i<m J

(3.1.4)

Когда говорится о среднем выигрыше или риске, то подразумевается многократное повторение процесса принятия решений, хотя реально требуемого количества повторений чаще всего может и не быть.

Пусть платежная матрица имеет вид:

5 2 8 4

2 3 4 12

8 5 3 10

14 2 8

По формуле (2.2.2)

rlj = p)-P

где Р - = max Ри при заданном /,

J l<i<m 1

строим матрицу рисков R.

Находим pi = max (5, 2, 8, 1) = 8, р\ = 5, /33 = 8, /34 = 12 и тогда

(Ъ 3 0 8Л

6 2 4 0 0 0 5 2

7 16 4

Предположим, что вероятности Р};равны: Pj =

2666

. По

формуле (3.1.4) находим средний ожидаемый риск:

Минимальный средний ожидаемый риск:

Rmin =mm(R\,R2,R3,Ri) =--

По формуле (3.1.3) найден средний ожидаемый выигрыш

- . 1 п 1 1 .1 29

,1=5. +2. +8. +4.гт.

?J:24 4 .i+i2.i.,

2 6 6 6 6

/33=8.1 + 54 + з4 + 104 = 7> 2 6 6 о

2 6 6 6 6

Максимальный средний ожидаемый доход ? = max(Fi,P2,/53,/34) = 7.