Составляем уравнение внутренней нормы рентабельности для проекта С:

, 250000 450000 250000 350000 1000000 = --- +-7г +-г +--

1+* (1+0 (1+0 (1+0

Из этого уравнения получаем, что / = 1,112 или 11.2%. Так как проекте имеет большую внутреннюю рентабельность, равную 19,4%, то предпочтение следует отдать этому проекту.

4.4.6. Рисковые инвестиционные платежи

Если будущие платежи являются рискованными, т.е. они жестко не определены, то инвесторы уменьшают сегодняшнюю оценку будущих доходов, применяя увеличенную ставку дисконтирования. При этом следует разбить проекты на низко рисковые, средне рисковые и высоко рисковые и каждому виду приписать некоторый добавок к обычному коэффициенту дисконтирования, тем больший, чем выше риск.

С целью привлечения инвестиций для предлагаемых проектов фирма должна стремиться к уменьшению этого рискованного добавка. Для этого она должна привлекать к себе доверие потенциальных инвесторов своевременной выплатой дивидендов, соблюдением прав акционеров и др.

Рассмотрим инвестиции в ценные бумаги, т.е. покупку ее в начале периода по цене Р и продажу в конце по цене Р*. Возможные текущие доходы обозначим через D*. В соответствии с формулой (4.29) за возможную оценку курсовой стоимости бумаги в начале периода принимается величина:

Р = -Г- (4-3.4)

Роль процентной ставки i играет безрисковая процентная ставка io, играющая роль эффективности безрискового вложения. Вместе с тем для инвестора более точной начальной оценкой будущей стоимости является величина будущего ожидаемого дохода, дисконтированная по ставке доходности, которую он прогнозирует в качестве эффективности вклада.

Если средний ожидаемый доход по активу выражается в виде линейной функции от безрисковой ставки дохода /0, ожидаемого

дохода /ож по всем бумагам, обращающимся на финансовом рынке (взвешенная доходность), и уровня систематического риска, присущего активу и выражаемого через риск всего рынка и коэффициент Р, ценных бумаг вида т относительно рынка, то ставка ожидаемой доходности по активу т определяется как:

(4.35)

Дисконтируя по этой ставке, получим оценку текущей стоимости:

М{Рк) + М(Рк)

i+o + AnCw-o)

(4.36)

В числителе стоит сумма средних ожидаемых от акции доходов, а в знаменателе - единица плюс ставка доходности на рынке.

Пример 4.21. Финансовый рынок по стоимости состоит из 20% безрисковых и 80% рисковых бумаг. Рисковых бумаг четыре типа: первые составляют х1(, часть и для них (3\ = 0,9, вторые - Ц часть и = 0,7, третьи - 7з часть и = 1,1. Найти долю и /3 четвертых бумаг. Найти эффективности всех рисковых бумаг и среднюю доходность по всему рынку, если эффективность рынка (средняя доходность по рисковым бумагам) 8%, а безрисковая ставка равна 4%.

Доля четвертых бумаг равна

1 1 П

6 + 4 + 3,

1 4

/3 четвертых бумаг находится из условия, что для рыночного портфеля /3=1. Следовательно,

i-0,9 + ~0,7 + i-U+~jB4=lJ

О 4 J 4

отсюда /34 = -. Эффективность каждой ценной бумаги равна:

im = k + Рт ((ож - k) = 0,04 + # (0,08 - 0,04) = 0,04 + 0,04 Рт.

Тогда i, = 0,04 + 0,04 0,9 = 0,076, или 7,6%; h = 0,04 + 0,04 0,7 = 0,068, или 6,8%; h = 0,04 + 0,04 1,1 = 0,084, или 8,4%;

j4 =0,04 + 0,04- -= 0,089, или 8,9%. Средняя доходность по всему рынку равна:

0,2 4 + 0,8 8 = 7,2%.

При положительной коррелированное актива с рынком, чем больше вносимый рынком риск, тем больше ставка доходности, тем меньше современная оценка будущих доходов от акции и, наоборот, при отрицательной коррелированности актива с рынком, чем больше рыночной риск, тем больше современная оценка будущих доходов от актива.

4.4.7. Дисконтирование во времени

В п. 4.2.2. была получена формула:

р/=р.е100 =Р.е\

которая позволяет определить величину вклада Р, через промежуток времени t, если начальный вклад составляет Р и процентная ставка г, или i - исчисляется непрерывно.

Рассмотрим теперь обратную задачу для нахождения стоимости аннуитета (регулярных платежей) применительно к непрерывным процентам.

В этом случае платежи зависят от времени, т.е. являются функцией от t, что можно записать как Р = P(t).

Требуется определить величину вклада Р через Глет. Для решения разобьем Глет на и равных промежутков времени At, как показано на рис. 4.11.

Если поступления непрерывны, то в течение малого промежутка времени At их можно считать постоянными, а их величина от момента времени t,г до ti+i составит приближенно

P(td At.

За время (Г-1,) наращенная сумма, рассчитанная по формуле непрерывных процентов, за счет начисления процентов на взнос P(t,) At станет равной

[р(/1.)А/]еКГ- ) 0°-

0 i 2 *, С, т t

Рис. 4.11

Теперь, чтобы получить общую величину вклада £ через Глет, остаточно сложить все малые вклады , а именно

Pt = [р(0Иг-°>/10° +...+ P(f )er<J- )im ]д/.

Это приближенное равенство станет точным, если промежуток времени At будет становиться сколь угодно малым. В этом случае сумма, стоящая в правой части, превращается в, определенный интеграл.

Окончательная формула имеет вид:

= %(Ое* /и0а. (4.37)

Ранее рассматривалось понятие дисконта, связанное для непрерывных процентов с формулой

P = Pie-rtnm (4 38)

Эта формула дает возможность определить величину начального вклада Р, если известно, что через t лет он должен составить величину Р а непрерывная процентная ставка равна г. Задача аннуитета в этом случае может быть сформулирована так: найти величину начального вклада Р, если регулярные выплаты по этому вкладу должны составлять Р, ежегодно в течение Глет.

Расчетная формула (ее вывод аналогичен аннуитету с платежами) такова:

£ Pte-rtnmdt, (4.39)

где г - непрерывная процентная ставка.

Для примера вычислим начальный вклад Р, если выплаты должны составлять 100 у.е. в течение 4 лет, а процентная ставка равна 7, т.е.

Р, =100; 7=4; г = 7%. Подставляя численные значения в формулу, получаем:

Р = f Pte-rtimdt = f 100<г7 100Л = 10ofY007dr = Jo Jo Jo

-H28-l)=348,88y.e.

= 100

L e-0.07,

0,07

Это и есть искомый начальный вклад.

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией Pt(t)=J(f) и при удельной норме процентной ставки, равной i, процент начисляется непрерывно. Как и в предыдущем пункте можно показать, что в этом случае дисконтированный доход Р за время Т вычисляется по формуле

P = jf(t)e4dt. (440)

Пример 4.22. Определим дисконтированную сумму Р при ДО = S0(l + ki), где So - начальные капиталовложения, к - ежегодная доля их увеличения. Иными словами, при заданных величинах i и к требуется оценить, что выгоднее: наращивать капиталовложения или вложить их одновременно при непрерывно начисляемой процентной ставке.

Вычисляя указанный интеграл методом интегрирования по частям, получаем:

Из полученной формулы можно сделать некоторые выводы:

1. Чем выше процентная ставка i, тем меньше дисконтная сумма Р и, следовательно, выше доход, вычисляемый как разность между суммой ежегодно растущих капиталовложений за Глет и величиной Р. Если рассматривать Р как дисконтный доход, то увеличение процентной ставки i снижает рентабельность помещения капитала.

2. Увеличение интенсивности ежегодных капиталовложений (к) приводит к увеличению Р.

3. При неизменных i и к дисконтный цоход растет с увеличением промежутка времени Т (количества лет).

Например, при процентной ставке г = 5% (г = 0,05) и при ежегодном увеличении капиталовложений на 5% (к = 0,05) получаем, что за 5 лет дисконтная сумма Р ~ 5Sq, в то время как сумма ежегодных капиталовложений за этот период составит Ре = 6,25 S0; при к = 0,1 (10%-ное увеличение ежегодных капиталовложений) и тех же самых / и Г соответственно имеет Р ~ 5,5 So и Ре = 6,5 So, т.е. в первом случае разность Ре - Р,- ~ 1,25 S0, тогда как во втором случае она снижается до = So-

При аналогичных оценочных расчетах в реальных условиях следует учитывать существенную роль темпа инфляции, который, в первую очередь, определяет приемлемую величину промежутка времени Т. Очевидно, что при высоком уровне инфляции выгодны только краткосрочные капиталовложения, которые гарантируют минимальные значения риска.

Пример 4.23. Определить дисконтируемый доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные капиталовложе-