стоит в выборе таких активов, доходности которых имели бы возможно меньшую положительную корреляцию. Именно учет взаимной корреляции доходностей активов с целью снижения риска отличает стратегию диверсификации Марковица от стратегии наивной диверсификации.

Способ диверсификации Марковица и важность корреляции активов можно проанализировать на примере портфеля из трех активов. Для этого мы сначала покажем общую взаимосвязь ожи; даемого риска портфеля из трех активов и корреляции их доходностей. Затем мы изучим влияние комбинирования активов с различными корреляциями на риск всего портфеля.

Портфель составлен из трех видов ценных активов А, В, С. Веса, с которыми каждый актив представлен в портфеле, равны Va = 50% = 0,5, Vb = 30% = 0,3 и Vc = 20% = 0,2.

Доходы по каждому из активов представлены в табл. 6.1.

Исходные данные

Таблица 6.1

Для нахождения связи между доходами каждой ценной бумаги определяем ковариацию (корреляцию) каждой пары активов по формуле [69]

]Г(*-*)(у-у)

(6.2.5)

и ковариацию актива с самим собой

Y(x-x)(x~x)

2>

(6.2.6)

Ковариации доходов по всем возможным парам активов отображаем в ковариационной матрице:

Риск портфеля находится по формуле:

=S2+2EScov<v, (6.2.7)

1=1 i=i j>\

где п - объем выборочной статистики по годам, к - число активов.

Для вычисленной ковариационной матрицы найдем, что Стр = 0,429 и ср = 0,65 = 65%. Отсюда видно, что риск портфеля лишь несколько ниже риска отдельных активов и средневзвешенного риска отдельных активов равного, ар = (оа + + сь + сс): 3 = 0,88 = 88%.

Составим новый портфель активов, заменив актив А на актив D, оставив его долю прежней, т.е. Vd - Va = 50% = 0,5, а доходность актива D представлена в табл. 6.1. Составляем новую ковариацию доходов

К Vb Vc

Va 0,36 -0,46 0,005 Vb -0,46 0,65 -0,13 Vc 0,005 -0,13 0,54

Риск портфеля рассчитанный по формуле (6.2.7), равен ор = 0,132 = 13,2%. Риск этого портфеля в пять раз меньше, чем предыдущего. Это объясняется снижением коррелированности активов D и С и наличием отрицательной ковариации активов D и В. Стоимость портфеля даже несколько повысилась, так как средний доход по активам D равен 12%, а по активам А - 11%.

Подобная операция служит базой для хеджирования, когда отрицательная корреляция достигается продажей позиции по ин-

струменту (актив А), который имеет высокую степень положительной корреляции и приобретением другого актива D.

Анализ значений риска рассмотренных портфелей показывает, что риск портфеля меньше, чем средняя взвешенная рисков отдельных ценных бумаг и среднее квадратическое отклонение портфеля падает, когда снижается степень корреляции пар активов. Общий риск ценной бумаги, находящейся в изоляции, больше, чем у той же ценной бумаги, находящейся в портфеле. Комбинация активов со слабой корреляцией понижает риск портфеля. Эффективная диверсификация достигается не просто добавлением активов к портфелю, а добавлением таких активов, доходы которых имеют самые низкие корреляции, а лучше и отрицательные, с активами, присутствующими в портфеле.

Рассмотрим выражение (6.2.7).

Представим, что имеется очень большое количество активов, доступных для инвестиций, скажем индекс из 100 или 500 акций. Допустим также, что все доходы по активам независимы. Выражение (6.2.7) сократится до следующего:

СТ?=5ХСТ?- (6.2.8)

Этот пример наглядно показывает эффект диверсификации Марковица. Данное явление иногда называют чудом диверсификации . Стратегия диверсификации Марковица предполагает, что с увеличением корреляции (ковариаций) доходностей активов, составляющих единый портфель, возрастает вариация (а следовательно, и стандартное отклонение) доходности этого портфеля. Чудо проявляется при отрицательной корреляции ожидаемых доходностей активов. Прекрасно то, что инвестор может снизить риск портфеля, удерживая его ожидаемую доходность при помощи сочетания активов с низкой (желательно отрицательной) корреляцией. Плохо лишь то, что активов с малой и отрицательной корреляцией существует совсем немного. Таким образом, задача превращается в поиск среди многочисленных активов таких, портфель из которых имел бы минимальный риск при заданном уровне доходности или, наоборот, при заданном уровне риска имел бы наибольшую доходность.

Так как предполагается, что доходы по активам независимы, ковариаций равняются нулю. Теперь предположим, что равные

суммы инвестированы в каждый из и активов, тогда веса каждого станут равными 1/л, и дисперсия портфеля примет вид:

1-1

( 1 л

о = -

(6.2.9)

Выражение в прямоугольных скобках является средней дисперсией активов в портфеле. В то время как число активов (и) в портфеле становится больше, \1п уменьшается, и дисперсия портфеля снижается, приближаясь в пределе к нулю.

Однако в действительности не все доходы по активам независимы, особенно, когда мы рассматриваем активы, принадлежащие к одному классу, например, акции и облигации. У большинства активов будет присутствовать некоторый уровень ковариаций. Отсюда на практике равенство (6.2.9) превращается в следующее:

с 1 \2

(=1 V / i=l J>1 V

(6.2.10)

Это можно представить так:

(п-1)

(=1 j>\

COV.-.

п{п - 1)

(6.2.11)

Первый член равенства представляет собой среднюю дисперсию, уже встречавшуюся выше в выражении (6.2.9), а второй - это тоже средняя, т.е. сумма ковариаций, деленная на число ковариаций п{п - 1). Выражение (6.2.11), таким образом, может быть упрощено до

1-2 п-1 -

- Oi +-COVy

(6.2.12)

Эта формула помогает объяснить, что происходит с риском портфеля, когда в него включено большое количество активов. Когда число активов в портфеле увеличивается, \1п уменьшается, и, таким образом, его произведение на среднюю дисперсию приближается к нулю. Однако (и -, 1)/и стремится к единице при уве-

личении п, отсюда второе слагаемое правой части выражения (6.2.12) приближается к средней ковариации. Следовательно, когда портфель диверсифицирован включением большого числа активов, дисперсия портфеля приближается средней ковариации отдельных активов.

Значит, общий риск ценной бумаги, находящейся в изоляции, больше, чем у той же ценной бумаги, находящейся в портфеле. Комбинация активов со слабой корреляцией понижает риск портфеля. Таким образом, общий риск состоит из двух частей: а) тот риск, который может быть исключен диверсификацией (несистематический риск, также известный как случайный или остаточный риск) и б) тот элемент риска, который не может быть исключен с помощью диверсификации (систематический риск, также известный как рыночный риск).

В заключении рассмотрим пример составления ковариационной матрицы.

Пусть рынок может находиться в одном их трех состояний: I, II и III. Известны вероятности этих состояний и доходности трех активов в процентах.

Находим математические ожидания доходности каждого из активов по формуле (6.2.1)

М(п) = 30 0,3 + 20 0,5 + 10 0,2 = 21, М(г2) = 40 0,3 + 10 0,5 + (-30) - 0,2 =11, М(г3) = (-10) 0,3 + 10 0,5 + 20 0,2 = 6.

Находим коэффициенты Щ ковариационной матрицы #п = cov(n, п) = СТТ/О =

=(30 - 21)2 0,3 + (20 - 21)2 0,5 + (10 - 21)2 0,2 = 49;

Кп = #21 = covin, r2) = (30 - 21)(40 - 11) 0,3 +

+ (20 - 21) (10 - 11) 0,5 + (10 - 21)(-30 - 11) 0,2 = 169;

#13 = #31 = сох(п, г3) = (30 - 21)(-10 - 6) 0,3 +

+ (20 - 21) (10 - 6) 0,5 + (10 - 21)(20 - 6) 0,2 = -76;

Кп = cov(r2, г2) = о2) = (40 - II)2 0,5 + (10 - II)2 0,5 + + (-30 -П)2- 0,2 = 757,2;

#23 = #32 = cov(r2, r3) = (40 - 11Х-Ю - 6) 0,3 +

+ (10 - 11) (10 - 6) 0,5 + (-30 - 11X20 - 6) 0,2 = -256;

#зз = cov(r3, г3) = сДгз) =

= ( ю - б)2 0,3 + (10 - б)2 0,5 + (20 - б)2 0,2 = 124. Эти результаты сведем в ковариационную матрицу

( 49 169 -764 169 757,2 - 256 -76 - 256 124

Стандартные отклонения по каждому из активов равны: ст(г,) = л/49 = 7; ст(г2) = ф57,2 = 27,52; ст(г3) = Vl24 = 11,14. Определяем коэффициенты корреляции

Pll =Р22 =РЗЗ =1*

соу(г!,г2) 169 поо, р1? = р21 = Сог(г гг) = а{г&ф2) -у52 °88

соу(г г3) -7,6 псг7. р13 = рз, = сог(гх,гъ) = а(г&фг) -ТЩ--°97

cov(r2,r3) -256

= -0,84.

Р23 -Рз2 -согО:,г3)- а{г2).а{Гг) 27,52-11,14

Коэффициенты корреляции записываем в виде корреляционной матрицы

( 1 0,88 -0,971 0,88 1 -0,84 -0,97 -0,84 1