тны тому, что весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть Ej - доходность в процентах годовых ценных бумаг /-го вида в расчете на одну денежную единицу. Тогда доходность портфеля равна

£я (6.7.5)

Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна аналогичной задаче о доходности портфеля, выраженной через доходности бумаг и их доли формулой (6.7.5).

Как правило, доходность бумаг колеблется во времени, так что будем считать ее случайной величиной. Пусть е а, - средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение (СКО) этой случайной доходности, т.е. е,- = М[Е,] - математическое ожидание доходности и rt = Jv. где V,-,- - вариация или дисперсия /-и доходности. Будем называть еи rt соответственно эффективностью и риском /-й ценной бумаги. Через Vy обозначим ковариацию доходностей ценных бумаг /-го иу-го видов (или корреляционный момент Kjj).

Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и доходность портфеля есть также случайная величина. Математическое ожидание доходности портфеля есть

М[ЕП] = *jM[£,] + ... + xnM[En ] = £х,е

обозначим его через ец. Дисперсия доходности портфеля есть

D[En] = YxixJa>J-

Так же, как для ценных бумаг, назовем еп эффективностью портфеля, а величину ап =D[En] -риском портфеля гп. Обычно дисперсия доходности портфеля называется его вариацией Dn=a%.

Итак, эффективность и риск портфеля выражены через эффективности составляющих его ценных бумаг и их совместные ковариаций.

Пусть портфель наполовину (по стоимости) состоит из бумаг первого вида с доходностью 14% годовых и из бумаг второго вида с доходностью 8% годовых. Какова эффективность портфеля?

Оба термина - доходность и эффективность ~ специально упомянуты вместе. Имеем 0,5 - 14 + 0,5 -8=11% годовых.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с дилеммой: хочется иметь эффективность побольше, а риск поменьше. Однако поскольку нельзя поймать двух зайцев сразу , необходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском (этот выбор в конечном счете определяется отношением ЛПР к эффективности и риску).

Рассмотрим два портфеля ценных бумаг. Так как портфель оценивается по двум характеристикам - эффективности и риску, то между портфелями есть отношение доминирования. Скажем, что 1-й портфель с эффективнстью е\ и риском г\ доминирует 2-й с ег, гг если е\ > е2, и г\ < г2, и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Недоминируемые портфели назовем оптимальными по Парето, такие портфели называют еще эффективными. Конечно, инвестор должен остановить свой выбор только на эффективных портфелях.

Если рассмотреть какое-нибудь множество портфелей и нанести их характеристики - риск Гц и эффективность еп на плоскость риск - доходность, то типичное множество эффективных портфелей выглядит, как кривая DAC на рис. 6.16.

Не расположенный к риску инвестор действует в соответствии с теоремой Неймана - Монгенштерна [54], составляя портфель

таким образом, чтобы максимизировать математическое ожидание полезности дохода (6.7.1) или (6.7.5). По общему свойству задач условной оптимизации следует, что с расширением выбора (6.7.1) (при росте п) шансы на более высокий уровень ожидаемой полезности увеличиваются.

Любой инвестор заинтересован в уменьшении риска портфеля при поддержании его эффективности на определенном уровне.

Пусть в портфеле собрано к различных видов ценных бумаг. Рассмотрим дисперсию портфеля

Разобьем слагаемые на две группы:

В первой группе слагаемых к, а во второй - к(к - 1). Предположим для простоты, что стоимость портфеля распределена равными долями по этим видам ценных бумаг, т.е. все х{ = i. Тогда по формулам для дисперсии имеем

,676)

Величина может быть названа средней дисперсией цен-

ных бумаг, входящих в портфель, а величина X k(k-lj ~ их сРеД ней ковариацей. Поэтому предыдущую формулу можно выразить словами: дисперсия портфеля равна - средней дисперсии плюс

1-1 к

средней ковариации. Это и есть эффект диверсификации портфеля: с ростом числа входящих в портфель ценных бумаг в 422

его дисперсии (и риске) вклад средней дисперсии (среднего риска) становится все меньше, зато все больше - вклад средней ковариации. Так что если входящие в портфель ценные бумаги мало кор-релированы друг с другом, то дисперсия портфеля уменьшается с ростом числа входящих в портфель бумаг.

В реальности, однако, практически все ценные бумаги, обращающиеся на рынке, испытывают воздействие общеэкономических факторов и изменяются под их воздействием. Это приводит к тому, что их взаимная корреляция является вполне заметной величиной. Эта взаимная корреляция обусловливает так называемый рыночный, или систематический, риск портфеля, его также называют недиверсифицируемым риском. Систематический риск - это минимальный уровень риска портфеля, которого можно достичь при диверсификации с большим количеством произвольно выбранных активов. Иными словами, систематический риск порождается общими рыночными и экономическими условиями, и этот риск не может быть полностью диверсифицирован.

Конечно, в силу особенностей работы эмитентов ценных бумаг каждая конкретная ценная бумага испытывает свои колебания эффективности, иногда совершенно не связанные с общерыночными. Эти колебания обусловливают так называемый индивидуальный, или несистематический, риск ценной бумаги. Его также называют диверсифицируемым, уникальным, остаточным или специфическим риском.

Снижение несистематического риска портфеля при помощи диверсификации можно проиллюстрировать графически. На рис. 6.17 показано, что уже для портфеля из 20 случайно подобранных активов (в данном случае обыкновенных акций), риск можно почти полностью диверсифицировать. Существенно, что оставшийся риск представляет собой систематический, или рыночный, риск.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: общий риск актива измеряется вариацией его доходности. При этом он делится на систематический и несистематический компоненты.

Диверсификация портфеля может почти полностью устранить влияние на риск всего портфеля индивидуального риска отдельных ценных бумаг, но она не в силах устранить рыночный риск всего портфеля.

Рассмотрим более конкретно упрощенные примеры влияния корреляции разных ценных бумаг. Предположим сначала, что

ценные бумаги различных видов ведут себя независимо, они не-коррелированы, т.е. atJ = О, если i Ф j. Тогда Dn = xfaf и

о; с; ш

е-

н о о с

го ч

го н

Число активов в портфеле Рис. 6.17. Систематический и несистематический риски портфеля

Предположим далее, что деньги вложены равными долями, т.е. х, =- для всех i = Un. Тогда еп = - средняя ожидаемая

эффективность портфеля, и риск портфеля равен гп =

Пусть у2 =тахо-2, тогда гя <-.

Отсюда вывод: если ценные бумаги некоррелированы, то при росте числа их видов и в портфеле риск портфеля ограничен и стремится К 0 ПрИ И - оо.

Анализ составления портфеля из нескольких видов некоррелированных ценных бумаг позволяет сделать ряд важных выводов.

* Предположим, инвестор имеет возможность составить портфель из четырех видов некоррелированных ценных бумаг, эффективности и риски которых даны в таблице.

/12 3 4

е, 2 4 8 12

о-,- 1 2 4 6

Рассмотрим несколько вариантов составления портфеля из этих бумаг равными долями. Напомним, что эффективность портфеля есть среднее арифметическое эффективностей, а риск в дан-

2 2 2

2 г, +г, +... + г-

ном случае г = -!-±-а~.

В табл. 6.7 сведены результаты расчетов эффективности е и риска г для портфелей, образованных из различного сочетания ценных бумаг.

Таблица 6.7

Как видим, при составлении портфеля из все большего числа ценных бумаг риск растет весьма незначительно, а эффективность растет быстро.

к Однако, как указано выше, полная некоррелированность ценных бумаг по существу невозможна.

При полной прямой корреляции диверсификация портфеля не дает никакого эффекта - риск портфеля равен среднему арифметическому рисков составляющих его ценных бумаг и не стремится к нулю при росте числа видов ценных бумаг.

► Положительная корреляция между эффективностями двух ценных бумаг имеет место, когда курс обеих определяется одним и тем же внешним фактором, причем изменение этого фактора дей-