Рассмотрим некоторый портфель акций, которые находятся на денежном счете и полностью оплачены, т.е. они куплены не за счет кредита. Отметим, что входные данные для нахождения эффективного портфеля это прибыли, которые мы ожидаем по данной акции, и дисперсия, которая ожидается от этих прибылей. Прибыли по акциям определяются как дивиденды, ожидаемые за определенный период времени, плюс повышение рыночной стоимости акций (или минус уменьшение) за этот же период, выраженные в процентах.

Предположим, что мы имеем три актива - 1, 2 и 3 с ожидаемыми доходами 0,14,0,16,0,10 соответственно. Известна дисперсионно-ковариационная матрица Q:

( 0,0002 0,00006 - 0,00008 ) 0,00006 0,0003 - 0,00004 -0,00008 - 0,00004 0,0001

Нужно найти пропорции F, для инвестирования в каждый актив, чтобы получить требуемый доход 13% при минимальной дисперсии.

Составляем дисперсию (целевую функцию)

( 0,0002 0,00006 - 0,00008 Z = (V)V2Vi) 0,00006 0,0003 -0,00004 [-0,00008 - 0,00004 0,0001

\ 3 j

= У2а\ + V22cj \Уггс\ + 2Уп cov,2+2F,3 cov,3+2F23 cov23 = = 0,0002F,2 +0,0003F22 + 0,0001F32 + 0,00012F,F2 -0,00016F,F3 --0,00008F2F3.

Таким образом, наша задача формулируется следующим образом: минимизировать целевую функцию

Z = 0,0002К,2 + 0,0003К22 +0,0001К32 +0,00012К,К2 --0,00016F,F3 -0,00008F2F3

(6.7.12)

при ограничениях

V,+V2 + V3 =1,

0,14V, +0,16V2 +0,1V3 =0,13,

V, >0,V2>0,V3>0.

(6.7.13)

Если имеем задачу математического программирования: минимизировать функцию

Z=j\Vu V2,..., У )

при ограничениях

<p,(V V2,...,V ) = 0, i = \7n, то функция Лагранжа имеет вид

L(V, ,...Vn, А,А ) = /(V,V2Vn) \ £ Х,<р, (V V2,Vn).

<=i

Для нашего случая функция Лагранжа запишется как

ВД, V2, V3 А Я2) = 0,0002V,2 + 0,0003V22 + 0,0001V32 +

+ 0,00012V, V2 - 0,00016V,V3 -0,00008V2V3 +A,(V, + V2 +V3 -1) +

+ A2(0,14V, +0,16V2 +0,1V3 -0,13). (6.7.14)

Находим частные производные этой функции по V\, V2, Уг, Х\, А2 и приравниваем их к нулю

- = 0,0004V, +0,00012V2 -O,00Q16V3 +Xl +l,2X2 =0,

0,0006V2 + 0,00012V, -0,00008V3 +1,4X2 =0,

- = 0,0002V3 -0,00016V, -0,00008V2 +X2 =0, oV3

9L (6.7.15)

L = V,+V2+V3-1 = 0,

= 0,14V, +0,16V2 +0,1V3 -0,13 = 0. ak2

Исключаем F3 из 4-го и 5-го уравнений системы, найдем 4V, + 6У2 = 3.

Исключаем Х\ из 1-го и 3-го уравнений системы и исключаем Я, из 2-го и 3-го уравнений системы, получаем:

0,00028 Vi - 0,00048 V2 - 0,00008 V3 - 0,2Я2 = 0, 0,00028 V\ + 0,00668 V2 - 0,00028 V3 + 0,4Я2 = 0.

Из этих двух уравнений исключаем переменную Я2, находим 0,00084 Vi - 0,00028 V2 - 0,00044 V3 = 0.

Подставляя сюда V3 = 1 - V\ - V2, имеем 32VX +4V2= 11.

Из системы

4V,+6V2 =3, 32V, + 4V2=11

находим, что V\ = 0,307; V2 = 0,295 и, следовательно, V3 = -\-Vx-V2 = 0,398.

При этом определяем, что к\ = 0,000432 и Я2 = -0,000439.

Таким образом, минимальные риски (дисперсия) соответствуют портфелю, в котором имеются 30,7% активов 1-го вида, 29,5% активов 2-го вида и 39,8% активов 3-го вида.

Пакет линейного программирования позволяет быстро решать системы вида (6.7.15).

Рассмотрим четыре потенциальные инвестиции, три из которых - в акции, а одна - в сберегательный счет с процентной ставкой 8,5% в год. Отметим, что продолжительность периода инвестирования равна одному году (табл. 6.9).

Таблица 6.9

Ожидаемая прибыль - это то же самое, что и потенциальная прибыль, а дисперсия (или стандартное отклонение) ожидаемых прибылей - то же самое, что и потенциальный риск. Отметим, что данная модель двумерная. Мы может сказать, что модель представлена правым верхним квадрантом декартовой системы координат (рис. 6.20), где по вертикали откладывается ожидаемая прибыль, а по горизонтали откладывается ожидаемая дисперсия, или стандартное отклонение прибылей, или риск.

1.4 -г

1,3 -

с 1.2 -

£

i 11s

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Риск

Рис. 6.20. Правый верхний квадрант декартовой системы координат

Есть и другие аспекты потенциального риска, такие как потенциальный риск (вероятность) катастрофического убытка, который мы не рассматриваем отдельно от дисперсии прибылей. Оптимальный портфель отвечает зависимостям (6.6.10) - (6.6.11) в классическом варианте. Марковиц также утверждал, что портфель, полученный из этой задачи, оптимален только в том случае, если полезность, т.е. удовлетворение инвестора, является лишь функцией ожидаемой прибыли и дисперсии ожидаемой прибыли. Марковиц указал, что инвестор может использовать и более высокие моменты распределения, а не только первые два Е(г) и г, например асимметрию и эксцесс ожидаемых прибылей.

Потенциальный риск - очень емкое понятие, он является функцией гораздо большего числа переменных и включает более высокие моменты распределений. Тем не менее мы будем определять потенциальный риск как дисперсию ожидаемых прибылей. Не следует, однако, полагать, что этим риск полностью определен. Риск намного шире, и его реальная природа плохо поддается количественной оценке.

Первое, что должен сделать инвестор, это придать количественный смысл своим предположениям относительно ожидаемых прибылей и дисперсий прибылей рассматриваемых ценных бумаг на определенном временном горизонте (периоде удержания). Эти параметры можно получить эмпирически. Инвестор может рассмотреть прошлую историю ценных бумаг и рассчитать прибыли и их дисперсии за определенные периоды. Как уже было отмечено, термин прибыли означает не только дивиденды по ценной бумаге, но и любые повышения стоимости ценной бумаги (в процентах). Дисперсия является статистической дисперсией процентных прибылей. Для определения ожидаемой прибыли в период удержания можно использовать линейную регрессию по прошлым прибылям. Дисперсия как входной параметр определяется путем расчета дисперсии каждой прошлой точки данных на основе ее спрогнозированного значения (а не на основе линии регрессии, рассчитанной для прогнозирования следующей ожидаемой прибыли). Вместо того чтобы определять эти значения эмпирическим способом, инвестор может оценить значения будущих прибылей и дисперсий. Возможно, наилучшим способом нахождения параметров является комбинация обоих подходов. Инвестору следует использовать эмпирический подход (т.е. использовать исторические данные), затем, если это необходимо, можно учесть прогноз относительно будущих значений ожидаемых прибылей и дисперсий.

Следующими параметрами, которые должен знать инвестор для использования данного метода, являются коэффициенты линейной корреляции прибылей. Эти параметры можно получить эмпирически, путем оценки или с помощью комбинации обоих подходов.

При определении коэффициентов корреляции важно использовать точки данных того же временного периода, который был использован для определения ожидаемых прибылей и дисперсий. Другими словами, если мы используем годовые данные для опре-

деления ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведем расчеты на годовой основе), следует использовать годовые данные и при определении коэффициентов корреляции. Если мы используем дневные данные для определения ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведем расчеты на дневной основе), тогда нам следует использовать дневные данные для определения коэффициентов корреляции.

Вернемся к нашим четырем инвестициям - Т, I, L и к сберегательному счету (S). Ниже приведена таблица их коэффициентов линейной корреляции

Используя метод п. 6.2, вычисляем дисперсионно-ковариационную матрицу Q. Отметим еще раз, что ковариация ценной бумаги самой к себе является дисперсией, так как коэффициент линейной корреляции ценной бумаги самой к себе равен 1.

Т I L S

0,1 -0,0237 0,01 0

-0,0237 0,25 0,079 0

0,01 0,079 0,4 0

0 0 0 0

Составляем целевую функцию (дисперсию)

Z = (V1V2V3V4)

0,1 -0,0237 0,01 -0,0237 0,25 0,079 0

0,01 0

0,079 0

0,4 0

= Vx2a\ + V22o2 + V2c\ + 1VX2 cov,2+2Vn cov,3+2V23 cov23 = = 0,IV2 +0,25-F22 +0,4F32 -0,0474F,K2 +0,02VXV3 +0,158F2F3.