Полученные доли представляют потенциальный арбитражный портфель. Вычисляем ожидаемую доходность: -0,1 9,5 + + 0,041 13 + 0,074 21 - 0,015 8,5 = 1,095 > 0. Так как ожидаемая доходность положительная, то найден арбитражный портфель.

Этот арбитражный портфель предполагает покупку акций I и L за счет продажи акций Т и S. Следовательно, деятельность по покупке и продаже повысит курсы акций I и L и понизит курсы акций Т и S. В свою очередь это означает, что ожидаемые доходности акций I и L понизятся, а акций Ти S повысятся.

Инвесторы будут формировать также арбитражные портфели, пока не будет достигнуто равновесие. Это означает, что равновесие будет достигнуто, когда любой портфель, удовлетворяющий системе (6.8.4), будет иметь нулевую ожидаемую доходность. При этом связь между доходностями и чувствительностями будет линейной

Щ) = А0 + АД-, + A2bl2. (6.8.5)

Можно считать, что здесь три переменные Е(г,),Ьп, bi2.

Таким образом, для получения портфеля с нулевой ожидаемой доходностью нужно будет найти большое число решений системы (6.8.4) и соответствующих им доходностей, что возможно только с применением стандартных программ.

В рассматриваемом примере одним из равновесных сочетаний являются Ао = 8,5, Х\ - 5, Х2 = -2.

В результате четыре рассматриваемые акции имеют следующие равновесные значения ожидаемых доходностей:

Е(гх) = 8,5 + 5 1,6 - 2 1,2 = 14,1 %,

Ё(г2) = 8,5 + 5 0,6 - 2 1,6 = 8,3%,

£(г3) = 8,5 + 5 2 - 2 1,1 = 16,3%,

Ё{г4) = 8,5 + 5 0,8 - 2 1,8 = 8,9%.

Ожидаемые доходности акций I и L упали, тогда как ожидаемые доходности акций Т и S возросли. Изменение спроса и предложения вследствие инвестиций в арбитражные портфели привело к изменениям ожидаемых доходностей в предсказанных направлениях.

Механизм влияния арбитражного портфеля на первоначальный портфель становится ясным из анализа табл. 6.14.

Таблица 6.14

Влияние арбитражного портфеля

Под термином старый портфель мы подразумеваем портфель, который отвечает эффективному портфелю (табл. 6.10). Соединяем его с арбитражным портфелем и получаем новый портфель с более высокой доходностью, который соответствует эффективному портфелю на рис. 6.22.

Рассмотрим уравнение (6.8.5). Если актив не чувствителен к факторам, то Ьц = bi2 - 0 и С(г,) = Ао и если существует безрисковый актив, то C(r,) = r$ = Aq. Тогда уравнение (6.8.5) принимает вид:

Qrd = rs+ + Л2Ьа. (6.8.6)

Теперь рассмотрим хорошо диверсифицированный портфель, имеющий единичную чувствительность к первому фактору и нулевую - ко второму.

Такой портфель называется чистым факторным портфелем, так как он: обладает единичной чувствительностью к единственному фактору; не чувствителен ни к какому другому фактору; имеет нулевой нефакторный риск. А именно b\ = 1 и Ъ2 - 0. Из Уравнения (6.8.6) следует, что ожидаемая доходность этого портфеля, обозначаемая е4, равна гд + Аь т.е. е4- г§ - А]. Тогда уравнение (6.8.6) может быть переписано так

C0v) = г8 + (е4 - rs) Ьц + Х2Ъа. (6.8.7)

В примере табл. 6.13 е4 - rg = 5. Это означает, что е4 = 13,5, так как rs = 8,5. Другими словами, портфель, имеющий единичную чувствительность к предсказанному состоянию промышленного производства (первый фактор) и нулевую чувствительность к пред-

сказанному уровню инфляции (второй фактор), будет обладать ожидаемой доходностью 13,5%, что на 5% больше, чем безрисковая 8,5%-ная ставка.

Наконец, рассмотрим портфель, имеющий нулевую чувствительность к первому фактору и единичную чувствительность ко второму фактору, т.е. Ь\ = 0 и Ъ2 - 1. Из уравнения (6.8.5) следует, что ожидаемая доходность этого портфеля, обозначаемая е2 равна гб + Л2. Поэтому е2- rg= Л2, а уравнение (6.8.7) может быть переписано так:

Ш = гб + (е4 - гб) Ьп + (е2 - г6) bi2. (6.8.8)

Это есть уравнение ценообразования APT для двухфакторной модели.

В примере табл. 6.13 е2 - г в - -2. Это означает, что е2 = 6,5, так как Гб - 8,5. Другими словами, портфель, имеющий нулевую чувствительность к предсказанному состоянию промышленного производства (первый фактор) и единичную чувствительность к предсказанному уровню инфляции (второй фактор), будет обладать ожидаемой доходностью 6,5%, что на 2% меньше, чем безрисковая 8,5%-ная ставка.

Основные преимущества APT перед ЦМРК заключаются в том, что она не делает ограничительных предположений о предпочтениях инвестора относительно риска и доходности, относительно функций распределения доходностей ценных бумаг и не предполагает построения истинного рыночного портфеля.

Вместе с тем APT не слишком широко используется инвесторами. Основная причина этого заключается в неопределенности >тносительно факторов, которые систематически влияют на доходы по ценным бумагам.

6.8.2. Портфель Тобина

Через несколько лет после исследования Марковица другой крупнейший американский экономист Д. Тобин, также впоследствии лауреат Нобелевской премии заметил, что если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает замечательное новое качество.

В параграфе 6.4.2 был рассмотрен портфель с безрисковым активом и получена связь между ожидаемой доходностью E(r) и риском сгв виде зависимости (6.4.4)

Е(гр)-гб

Е(г) = гб+-f--а, (6.8.9)

Если х0 - доля капитала вложенного в безрисковую часть портфеля, й (1 - х0) - безрисковая доля портфеля, то задача Марковица об оптимальном портфеле в этом случае такова:

j

Еп = хогб+ J£jxiEi>

(6.8.10)

Изложим решение этой задачи, полученное Тобиным. Пусть й - матрица ковариации рисковых видов ценных бумаг, X - (х,-), V = (у,) - вектор-столбцы долей х капитала, вкладываемых в i-й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, I = 1,..., п. Пусть также/-и-мерный вектор-столбец, компоненты которого равны 1. Тогда оптимальное значение долей х, есть

х*=-ЕЩь-ог\у-Гб1). ,68Ш

(V-r6I)Q-l-(y-r6I) V-*Al>

Здесь Q 1 - матрица, обратная к Q. В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (операция транспонирования первого сомножителя в знаменателе це указа-

на, но подразумевается), тоже получится число, причем константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, Qr\V-гсГ) - вектор-столбец размерности п. Как видим, этот вектор не зависит от эффективности портфеля Е(гр). Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг, пропорциональный этому вектору, также не зависит от Е(гр). Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от Е(гр). Однако сумма компонент вектора X* зависит от Е(гр), а именно, компоненты вектора X* пропорционально увеличиваются с ростом Е(гр), поэтому доля хо безрисковых вложений будет при этом сокращаться.

Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности. Для этого в формулу вариации портфеля Vn = XTQX подставим оптимальный вектор X* из формулы (6.8.11), обозначив знаменатель формулы (6.8.11) через d . Получим:

v = (£(Гр];Гб)2 [a-\v-r6i)Ya{a-\v-r6i)h

=--4-(V-r6I)Q QQ (V-r6I) =-p--

Окончательно:

(E(rp)-r6)2 E(rp)-r6 vn--J2-или on =-p--.

Можно также написать выражение эффективности оптимального портфеля от его риска

Е{гр) - (гб) = dan или E(rp) = гб + don,

что перекликается с результатами параграфа 6.4.2.

Полученный оптимальный портфель называется портфелем Тобина минимального риска, т.е. портфель Тобина - это портфель Марковица при наличии на рынке безрисковых ценных бумаг.

Если на рынке есть безрисковые бумаги, то задача формирования портфеля максимальной эффективности имеет решение, похожее на решение Тобина в предыдущей постановке.

Оптимальное значение долей х,- рисковых бумаг есть:

х* = , °\ a-\v-reD (68Л2)

4(V-r6l)Qr\V-r6I)

В матрично-векторной форме задача формирования портфеля максимальной эффективности при наличии на рынке безриско-ых ценных бумаг такова:

х0/ б + VX-* max,

хах = сп\ (6-8-13)

Хо + 1Х~ 1.

Для нахождения условного максимума составим функцию Лагранжа

L = xtf6 +VX + MXQX- оПг) + Ai(x0 + IX- О-

Находим частные производные L по X и по х0 и приравниваем их к нулю

- = 0

ЭХ Г гб+Я,=0,

= о, получаем {y+QX + Я,/ = 0.

Выразим из второго уравнения Я] и подставим в первое, получим V- гб1 = - k)Q,X, так что

xJr6I-V)Q-1

Для нахождения Я0 подставим найденное X в равенство XQ.X = Сп, получим

Яо Лз

отсюда

\v-r6m-\V-r6I) = u2n.