. Яо J d2

или -\~-~T и окончательно X* = -j-(V-r6I), т.е. формулу (6.8.12).

Опять видно, что структура рисковой части оптимального в этом смысле портфеля также не зависит от ограничения на величину риска.

Будем называть полученный оптимальный портфель портфелем Тобина максимальной эффективности.

6.8.3. Проблемы оценки риска

Сам Марковиц был озабочен сложностью практической реализации своих идей. Вместе с аспирантом Уильямом Шарпом, который позднее разделил с ним Нобелевскую премию, он разработал метод, позволивший обойти процесс вычисления ковариации между отдельными ценными бумагами. Он предложил оценивать дисперсию акции или облигации по отношению к рынку в целом, что значительно упростило дело. На этой основе Шарп разработал получившую широкую известность модель оценки долгосрочных финансовых активов (Capital Asset Pricing Model, САРМ, или ценовая модель рынка капитала, ЦМРК), которую мы рассмотрели в параграфе 6.5, позволяющую осуществлять оценку ценных бумаг для случая, когда все инвесторы формируют свои портфели в точном соответствии с рекомендациями Марковица. Эта модель использует коэффициент бета для описания среднего отклонения курсов отдельных акций или других ценных бумаг относительно рынка в целом за определенный период.

Другая математическая проблема заключалась в том, что портфели и сами рынки ценных бумаг описывались только двумя числами - ожидаемой доходностью и дисперсией. Зависимость именно от этих двух чисел оправданна, только если доходность ценных бумаг описывается кривой Гаусса. Отклонения от нормальной кривой недопустимы, и множество значений с каждой стороны от среднего должно быть распределено строго симметрично.

Если данные не описываются нормальным распределением, дисперсия не может со 100-процентной степенью точности характеризовать неопределенность портфеля. Ничто не совершенно в 462

реальном мире, и это действительно проблема, но для некоторых инвесторов эта проблема серьезнее, чем для других. Часто данные укладываются в нормальное распределение достаточно точно, чтобы на их основе вычислять риск и принимать решения относительно портфеля. В других случаях несовершенство распределения данных стало поводом для разработки новых стратегий, о которых речь пойдет дальше.

Решающим является вопрос об измерении риска. Как могут инвесторы решить, идти или не идти на риск, пока риск не измерен?

Изменчивость, или дисперсия, интуитивно кажется привлекательной в качестве меры риска. Статистический анализ подтверждает это интуитивное предположение: рост изменчивости, как правило, сопровождается падением курса ценных бумаг. Более того, интуиция подсказывает, что неопределенность должна характеризоваться значительными и быстрыми колебаниями стоимости. Способность к быстрому и значительному росту курса обычно сочетается со столь же выраженной склонностью к его падению.

Однако нет согласия по вопросу о причинах изменчивости, не говоря уже о причинах того, почему величина изменчивости колеблется. Мы наблюдаем изменчивость, когда происходит нечто неожиданное. Пользы от этой тавтологии никакой - никто не знает, как предсказать неожиданное.

С другой стороны, изменчивость беспокоит не всех. Наличие риска означает, что на самом деле случится лишь часть того, что может случиться, к этому и сводится определение изменчивости, - но время остается неопределенным. Вводя элемент времени, мы ослабляем связь между риском и изменчивостью. Время изменяет риск во многих отношениях, а не только его связь с изменчивостью.

Рискованность изменчивого портфеля зависит от того, с чем его сравнивать. Некоторые инвесторы и многие портфельные менеджеры не считают изменчивые портфели рискованными, если мала вероятность того, что их доходность окажется ниже определенного уровня. Этот уровень не обязательно должен быть нулевым. Это может быть подвижная точка отсчета, например необходимый минимум доходности для поддержания платежеспособности пенсионного фонда корпорации, или доходность некоего образцового индекса или портфеля.

Тем не менее измерение риска как вероятности падения курса ниже точки отсчета никоим образов не отменяет предписания

Марковица для управления портфелями. Доходность остается желательной, а риск нежелательным; ожидаемую доходность нужно максимизировать, сводя риск к минимуму; изменчивость по-прежнему свидетельствует о вероятности убытков. В этих условиях оптимизация мало чем отличается от того, что имел в виду Марковиц. Процесс идет, даже если риск представляется многомерным понятием, которое связано с чувствительностью бумаг к неожиданным изменениям таких важных экономических переменных, как деловая активность, инфляция и процентные ставки, а также колебания рынка, на котором они продаются.

Риск может быть измерен и по-иному, исключительно на основе анализа прошлого опыта. Предположим, инвестор пытается опережать рынок, т.е. старается покупать до начала роста котировок и продавать, пока они не начали падать. Какой процент ошибок он может себе позволить, чтобы при этом зарабатывать больше, чем просто владея купленными ценными бумагами?

Стратегия опережения рынка чревата опасностью упустить момент большого подъема котировок. Измерение риска значительно усложняется, если параметры не стабильны, а изменчивы. Даже сама изменчивость не стоит на месте.

Этим проблема не исчерпывается. Мало кто в течение всей своей жизни не меняет отношения к риску. Мы становимся старше, мудрее, богаче или беднее, и наше понимание риска и степень его неприятия меняются в ту или иную сторону. Так же меняется отношение к риску и у инвесторов, что вызывает значительные изменения в их отношении к будущим доходам от акций и долгосрочных облигаций.

Остроумный подход к такой возможности был предложен учеником, коллегой и соратником Марковица нобелевским лауреатом Уильямом Шарпом. В 1990 году Шарп опубликовал статью [100], в которой проанализировал соотношение между изменением богатства и желанием инвесторов владеть рискованными ценными бумагами. Хотя в соответствии с точкой зрения Бернулли и Джевонса у богатых людей вероятность неприятия риска должна быть большей, чем у других, Шарп высказал гипотезу, что изменения богатства тоже влияют на степень неприятия риска. Рост богатства повышает способность людей переносить потери, но потери эту способность уменьшают. Как следствие этого, увеличение богатства влечет за собой усиление аппетита к риску, а потери ослабляют его. Шарп предполагает, что эти изменения в не-

приятии риска объясняют, почему подъемы или падения на рынках всегда доходят до крайних пределов, но в конце концов механизм схождения к среднему вступает в свои права, когда контрапунктные инвесторы замечают, что зашли слишком далеко, и приступают к исправлению накопившихся ошибочных оценок.

Несмотря на критику, которой подвергается разработанная Марковичем концепция формирования портфеля, ее значение трудно переоценить. С 1952 года она закладывается в основу важнейших теоретических построений и растущего числа практических приложений, доминирующих в современном подходе к управлению инвестициями. В самом деле, неоднородность портфеля стала настоящей религией современных инвесторов. Нападки на Марковица только стимулировали разработку новых концепций и новых приложений, которые никогда не смогли бы появиться без его основополагающей идеи.

Однако почти все, созданное на основе достижений Марковица, зависит от того, как относиться к спорному вопросу о разумности инвестора. Необходимы исследования концепции рационального поведения и неприятия риска. Недавними исследованиями установлено, что многие отклонения от установленных норм рационального поведения являются систематическими.

Есть и другая возможность. Можно предположить, что люди сами по себе не являются неразумными, но традиционная модель разумного поведения способна охватывать только часть пути, которым рациональный человек идет к принятию решения. В этом случае проблема заключается скорее в модели рационального поведения, а не в человеке. Если выбор, который делает человек, и логичен, и предсказуем, пусть даже скорее с разными, нежели с постоянными предпочтениями или с предпочтениями, которые не прямо укладываются в нормы рационального поведения, поведение все-таки может быть смоделировано математическими средствами. Логика может следовать различными путями, не только теми, которые определяет традиционная модель.

6.8.4. Модель Блэка

Пусть инвестор ради будущих доходов, желая увеличить свой инвестируемый капитал Р°, находит дополнительную сумму Pg. Тогда при покупке разных активов на суммы Р°,Рп° будем иметь

Р° + Pg = Р° или, после деления обеих частей этого равенства

Epg х, , где Yg - -. Пусть x +i = - Y*. тогда получа-ту О

ем как и раньше х, = 1, но одна из долей средств, вкладываемых 1=1

в актив г-го типа, а именно величина х, уже отрицательная.

Ясно, что в более сложных ситуациях отрицательных компонент, отвечающих заемным средствам, может быть больше одной. Доходность портфеля в этом случае вычисляется в виде

рк - р -р8

En=P°+Ps (6 8Л4>

где Р* - стоимость актива в конце периода, Р° - стоимость актива в начале периода, Pg - дополнительный (заемный) актив.

На большинстве фондовых бирж Запада действия, которые математически формализуются в виде х,- < 0, допустимы и часто используются. Но ввиду их особой рискованности обычно есть дополнительные ограничения на такие действия, а по некоторым видам ценных бумаг и полный запрет. Портфели, удовлетворяющие условиям данного рынка, называются допустимыми. В модели Блэка допустимы любые портфели, то есть единственное ограни-

че*Ше =1-

Особенностью модели Блэка является то, что оказывается возможным реализовать любую, сколь угодно большую доходность (но за счет быстро растущего риска!). В самом деле, пусть есть два актива с ожидаемыми доходностями е\ = 1 и е2 - -1. Для портфеля X] = 1 + V, Х2 = -v доходность

Еп = 1 (1 + v) + (-1) (-v) = 1 + 2v -> оо при V -> оо.

6.8.5. Модель Тобина - Шарпа - Линтнера (ТШЛ)

Эта модель в большей степени относится к структуре рынка, а не к структуре портфеля. Считается, что есть безрисковый актив, доходность которого не зависит от состояния рынка (обычно это - государственные ценные бумаги или вклады в большие бан-

ки) оди

ки). Если доходность безрискового актива (пусть он на рынке один, его номер - ноль) rg, то ожидаемая доходность Е(ге) - гб, (?{Гб) ~ 0 и cov(/-6, /у) = 0 для всех / Ф 0, последнее означает, что в ковариационной матрице рынка есть нулевая строка и нулевой столбец. Все активы, кроме нулевого, - рисковые, то есть о2(г/)>0для/ = 1, ...,п.

В данной модели портфель с вектором х = (хо, х ..., х ) при хо * 1 можно представить в виде линейной комбинации безрискового и рискового портфеля: х = хоо + (1 - хо)уо, где, во = (1, 0,0,0), это безрисковый портфель, совпадающий с без-

Y (П * Х 1

рисковым активом, а го ;-> >;- - чисто рисковой пор-

i-x0 i-x0 )

тфель.

Например для п = 3 и х = (0,4; 0,2; 0,3; 0,1) разложение будет иметь вид

Такое разложение играет важную роль при оценке фиксированных активов.

Рассмотрим рынок двух активов, описываемый вектором ожидаемых доходстей Е-{Е\, Е2) и матрицей ковариации

( ~2

0, ро-,о-2 ро-,о-2 а\

где р = р\г - коэффициент корреляции доходностей активов, о ь сг 2 - стандартные отклонения.

Для модели Блэка, когда допустимы любые значения х, и х2 лишь бы xi + х2 - 1, имеем в двухмерном случае прямую на плоскости х\, х2, которая составлена из множества допустимых пар. Удобно представить эту прямую в параметрическом виде: х, = t, х2 = 1 - t, тогда каждый портфель описывается так: х = (г, 1 - i), t - принимает любые вещественные значения (в том числе и отрицательные).