(6.8.15)

(6.8.16)

Оценкой портфеля называют ряд чисел (сгх), Е(х)), которую можно изобразить точкой на плоскости оЕо.

Плоскость (о2, Е) называют критериальной. Меняя портфель, то есть меняя вектор х, получают различные оценки, а для них разные точки на критериальной плоскости. Множество всех оценок (то есть множество пар (о2, Е), а не множество портфелей) допустимых портфелей называют критериальным множеством. Если критериальное множество не сводится к одной точке, то возникает проблема выбора. Пусть П0 - некоторый портфель, а Qo - (a2, Eq) - оценка для По.

Критериальную плоскость можно разделить на четыре квадранта (рис. 6.23). Если какой-то другой портфель П, имеет оценку в четвертом квандранте, то П] лучше По, так как Е\ > Е0 и oi2 < оо2. Если оценка для П, попадает во второй квандрант, то П, хуже По, так как Ех < £0 и а2 > ао2 (причем для обоих этих

Рис. 6.23. Соотношение портфелей в критериальной плоскости

квандрантов хотя бы одно неравенство в приведенных парах неравенств - строгое). Если же оценка Qi портфеля П, находится внутри (не на пунктирах рисунка) первого или третьего квандрантов, то имеем два таких портфеля, у которых один показатель лучше, чем у другого, но зато второй - хуже. Из выражения (6.8.15) найдем, что

Еп-Е2

а затем после подстановки этого значения / в выражение (6.8.16) получим

г о2Ех -алЕ

,с2 ах -с2 + ---ьп

Ех -Е2

(6.8.17)

Критериальное множество (6.8.17) является параболой на плоскости (от/, Еп) (рис. 6.24).

Рис. 6.24. Критериальное множество при р = 1 для двух активов

Так как Ол2> О, то есть такой портфель, у которого риск нулевой. Приравнивая (6.8.17) к нулю, имеем

Еп = Eit + Е2(\ -t) = E2 + (Ei - E2)t,

риск портфеля

2 2

°n = X X ** *;cov(r О)=

,=1 у=1

= cxt2 +2pa1cT2t(l-t) + a2(l-t)2 =

= (a,2-2pci02 +o2)t2 + 2(раха2 -c\)t+o\.

Нулевой риск (точка (О, Е*) на графике) -г- это, конечно, хорошо, но одна из компонент х* - отрицательная величина, то есть заемные средства. Более того, может быть Е* < 0, так будет либо при 1 > о21о\ > М2/Ми либо при 1 < а21о\ < М21М\. Подобное устранение риска бессмысленно, поскольку означает гарантированный убыток (рис. 6.25).

Рис 6.25. Гарантированный убыток при использовании заемных средств

В модели Блэка (то есть при наличии заемных средств, что равносильно отрицательности компоненты векторах) может быть случай, когда Е* > 0, причем возможно, что доходность портфеля как понизится, так и повысится по сравнению с доходностями используемых активов (рис. 6.26, 6.27).

Рис. 6.26. Понижение доходности портфеля

Так для случая, изображенного на рис. 6.27, имеем Ех < Е2, сг\ > 02, следовательно

>

Рис. 6.27. Повышение доходности портфеля

Возможно еще одно геометрическое представление для двумерного случая: при использовании стандартного отклонения

ст = Л/о-2~ = о-2 +(а,-o2)t\ и ЕП=Е2 +(£]-E2)t

получаем параметрическое задание критериального множества на плоскости (о2, Е) (рис. 6.28), которое будет парой лучей с верши-

Рис. 6.28. Критериальное множество

ной в точке (о2, Е). Таким образом, для р = 1 критериальное множество - парабола на плоскости (о2, Е) или пара лучей на плоскости (о2, Е), минимальная граница совпадает с критериальным множеством, эффективная граница оценок - верхняя ветвь параболы на плоскости (о2, Е) или верхний луч на плоскости (о2, Е). Пусть для модели Блэка р = 0. В этом случае:

Еп = Ег + (Еу - E2)t, од2 = о, V + Ог2(1 - г2) > 0. (6.8.19)

Можно опять выразить t через Еп, подставить в On и получить зависимость ап от Еп, эта зависимость будет, как в предыдущем случае, квадратичной. /Для нахождения min on (теперь

2 do2-!

оп > 0 строго!) решим уравнение -= 0 :

= 2(ст2г -о\(1 - 01=f)->. t* = f2 , g (0; 1), at rrf

O, + СЧ

что дает:

ого2

°l (*) = о \ +oi,0<o2n (r*) < min{o-2; o\} o i +o2

E,ol + E2ol

о , +<7

Риск портфеля меньше риска каждого из активов, но устранить его полностью нельзя. Как и в предыдущем случае: минимальная граница совпадает с критериальным множеством, эффективная граница - верхняя ветвь параболы на плоскости (о2, Е) (рис. 6.29).

При р = -1 получаем:

ЕП=Е2+(Е1 -E2)t,an =оу-ст2(1-0 . (6.8.20)

Рис. 6.29. Критериальное множество для некоррелированных активов

Анализируя зависимости (6.8.20), получим кривые рис. 6.30 и рис. 6.31, но

,* = е(0;1)

а, +о2

и £?* лежит внутри дуги 6162-

Е2 Щ*

Рис. 6.30. Случай р = -1 для модели Блэка на плоскости (сг2, Е)