зависит от того, измеряется ли спрос на бензин в литрах или в тоннах. В первом случае производная измеряется в л/руб., во втором - в т/руб., соответственно ее значение при одном и том же значении цены будет различным в зависимости от единиц измерения величины спроса. Поэтому для измерения чувствительности изменения функции к изменению аргумента в экономике изучают связь не абсолютных изменений переменных х и у (Дх и Ду), а их относительных или процентных изменений, вводя понятие эластичности.

Эластичностью Еу{х) функции у = f[x) называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращецию переменной х при Дх- Q:

,. AY АХ X ,. AY

£r(y)= hm (-:-) = - hm -,

хКУ) дх-V Y X Y дх->о ДХ

X dX X , , у

Е*{уУ1х=ТПх) = Пху-х =

=/(*). 1 d\nf(x) Mf

fix)X d\nx Af У

где Mf- маржинальное значение функции /в точке х, Af - среднее значение функции в точке х.

Эту эластичность называют также предельной или точечной эластичностью.

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция у = Дх) при изменении независимой переменной х на 1%.

Исследуя зависимость экономических показателей относительно других аргументов (доходов, цен, покупательных и товарных фондов, запасов и т.д.), мы можем получить корреляционную зависимость двух показателей у - Дх), принимающую различные формы: линейную и нелинейную. Рассчитанная по формуле (1.3.5) эластичность изменения экономических показателей служит важной характеристикой сложившихся закономерностей. Для функций, наиболее часто встречающихся в экономико-математических исследованиях, в табл. 1.2 приведены коэффициенты эластичности.

Таблица 1.2

Функция

Уравнение

Производная

Коэффициент эластичности

Линейная

у = а + Ьх

a+bx , а 1 + Тх

Парабола

у = а + Ьх + сх

у = Ъ + 2сх

хф + 2сх) а+Ьх+сх

Гирербола

у = а + -

Показательная

у=аЬх

у = аЬхЫ>

Exiy) = x\nb

Степенная

у = ахь

аЪхъ~

Для степенной функции у - ахь при любых значениях аргумента будет постоянной мгновенная эластичность Ех(у) = Ь. Параметр b удобно определить как процент прироста функции при увеличении аргумента на один процент. Эта формулировка показывает, что широкое применение в экономике понятия эластичность вызвано распространенностью в хозяйственной практике процентного (относительного) способа оценки изменений показателей и сравнения этих изменений. Например, для прямой у = Ьх эластичность равна 1, для параболы у - сх эластичность

равна 2, а для параболы у = а4х эластичность равна 0,5 и т.д., т.е. эти функции прирастают соответственно на 1,2 и 0,5%, когда аргумент прирастает на 1%.

В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичность спроса по цене. Пусть D = D(P) - функция спроса от товара Р. Тогда

ЕЛО) =

( dD D

(dP Р

dD Р dP D

(1.3.6)

есть эластичность спроса по цене, показывающая относительное изменение (выраженное в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении цены этого блага на один процент и

характеризующая чувствительность потребителей к изменению цен на продукцию.

Различают три вида спроса в зависимости от величины fip (D):

а) если \Ер (£>) > 1 (Ер (D) < -1), то спрос считается эластичным;

б) если \ер (D) = 1 (Ер (D) = -1), то спрос нейтрален;

в) если \Ер (£>) < 1 (Ер (D) > -1), то спрос неэластичен (совершенно неэластичен при нулевой эластичности спроса).

Пусть функция спроса описывается формулой

D(P) = D0exp(-kP2), (1.3.7)

где Don К известные величины. По формуле (1.3.6) находим

£рф)о-ехр(-Ъ-(-2)-Р= 2№2 D0exp(-kp )

Для того чтобы спрос был эластичным, необходимо, чтобы выполнялось неравенство -2кР2 < -1 или 2кР2 > 1, откуда

Р> Лк

Процесс формирования рыночных цен на товары включает ряд этапов: постановку задач ценообразования, определение спроса, оценку издержек, проведение анализа цен и товаров конкурентов, выбор метода установления цен, определение окончательной цены и правил ее будущих изменений, учет мер государственного регулирования цен.

При постановке задач ценообразования фирма четко должна знать: чего она желает добиться с помощью политики цен на свои товары. И здесь возможны различные варианты:

фирму интересует увеличение объемов продаж, завоевание репутации и захват как можно большей доли рынка. Тогда следует обратиться к модели ценовой конкуренции: установление первоначально пониженных цен на продукцию. Такая цена порождает большой потребительский спрос, что позволяет резко увели-

чить объемы производства данного товара. Это ведет к снижению издержек, новый товар становится рентабельным и в сочетании с большими объемами его сбыта компания имеет значительную прибыль;

но цель может быть и иной - получение наибольшей прибыли в кратчайшие сроки. Тогда нужно устанавливать цены с высокой долей прибыли в них, если состояние рынка и качество товара позволяет надеяться на сбыт даже при такой цене. Это может быть эффективно применено к так называемым престижным товарам, адресованным людям, которые обладание подобными товарами считают необходимым для утверждения своего социального статуса;

широкое распространение получила политика ценообразования, рассчитанная на обеспечение стабильности ассортимента выпускаемых товаров.

Перейдем к рассмотрению и анализу функций покупательского спроса цен на товары фирмы, т.е. нужно оценить эластичность спроса на товары от цен, по которым фирма хочет их продать. Речь идет о том, сколько товаров можно будет продать при различных уровнях цен. Нужно уметь определить зависимость возможного объема предполагаемых продаж от уровня цен.

Важнейшими инструментами маркетинговых исследований являются кривые спроса и предложения товара.

Анализ определения спроса на новый товар позволил установить, что функция спроса имеет вид:

а функция предложения -

где DuS - количество товара соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, Р - цена товара.

График функции P(D), представленный на рис. 1.12, показывает, какое количество товаров может быть продано на рынке при том или ином уровне цен на них. Площадь заштрихованных прямоугольников - выручка от реализации при разных уровнях цен. Для данного вида кривой найдем при какой цене выручка будет

-Р+8 : Р + 2

Р + 0,5,

1 г 2 3 4 D

Рис. 1.12. Кривая эластичности спроса от цен

максимальной. Для этого рассмотрим прямоугольник О ABC, для которого ВС - P(D) и AB = D и площадь есть функция от J9:

5(Л) = 5-5С = Р(£>)Л = Находим производную

£> + 1

10£>

-2D = 10-2D-

10 D+\

S\D) =

-2(D2+2D-4) (D + l)2

и из условия S\D) = 0 определяем стационарную точку D0 = -JE -1. Достаточный признак существования экстремума функции S(D) показывает, что в этой точке функция принимает максимальное

значение. При этом Smax - \2-a45, а Р = 2(>/5-1).Таким образом, максимальный объем реализации равный Smax = 3,056 ден.ед. достигается при цене Ро = 2,48 ден.ед. Отметим, что не всегда хорош и максимальный объем реализации, если он достигнут при самой низкой цене, не обеспечивающей достаточной доли прибыли в выручке от продаж (например, при цене F, при которой выручка от реализации равна площади прямоугольника OFNE).

Данный график эластичности спроса от цен показывает, на сколько сокращается количество проданных товаров при росте цен на них и насколько оно может возрасти при определенном снижении цен.

Для заданной функции спроса, исходя из формулы (1.3.6), имеем

р (Р -8)(Р + 2)

и при изменении Р от 0 до 8 эластичность уменьшается от 0 до -°°, принимая значение, равное -1, при р = 2,48.

Эластичность спроса от повышения цены представляет собой отрицательную величину. Видим, что, когда цена товара повышается, то значение эластичности по модулю увеличивается, а это означает рост риска для повышающего цену на свой товар предпринимателя, так как вероятность покупки товара снижается с возрастанием отрицательного значения эластичности. Однако, если руководство фирмы видит, что с повышением цены значение эластичности спроса по модулю невысоко, т.е. находится в пределах норм, установленных им в зависимости от конкретных обстоятельств, то оно может прийти к экономически обоснованному выводу, что данное увеличение уровня коммерческого риска, связанное с повышением цен на собственный товар до определенного предела величины эластичности, незначительно и им следует пренебречь с целью достижения ожидаемого результата.

Эластичность спроса по цене тем выше, чем выше удельный вес расходов на данное благо в доходе потребителя. Например, спрос потребителя на спички, практически не изменится, даже если их цена возрастет в несколько раз, что свидетельствует о его низкой эластичности. Если на данный товар расходуется лишь незначительная часть потребительского бюджета, то покупателю нет нужды менять свои привычки и пристрастия при изменении цены. Одна и та же сумма расхода на покупку при большом доходе составляет малую долю бюджета, а при низком доходе - значительную. Поэтому эластичность спроса на один и тот же товар у потребителей с высоким уровнем доходов меньше, чем у потребителей с низким уровнем доходов.

Эластичность спроса ниже всего на товары, являющиеся, с точки зрения потребителя, самыми необходимыми. Особенно низка эластичность спроса на товары, потребление которых не может быть отложено. Покупатель при этом становится более сговорчивым. Обычно считают, что спрос на предметы роскоши более эластичен, чем спрос на предметы первой необходимости. Но