результате возросшего спроса на рисковые инвестиции их ожидаемые доходности поползли бы вниз до уровня эффективности безрисковых вложений.

Следовательно, с полным основанием можно сказать, что наиболее адекватно поведение инвестора описывает графическая модель б), изображенная на рис. 7.1. Эту выпуклую функцию называют функцией уклонения от риска, а линейную и вогнутую функции (рис. 7.1 в) и г))-соответственно нейтральной относительно риска и функцией стремления к риску.

Примерами функций полезности являются квадратическая и = а + be - се2, логарифмическая и = \пе, логарифмическая со сдвигом и = ln(l + ore), экспоненциальная и = 1 - е , степенная и = еа, где 0 < or < 1.

Однако эти функции зависят только от дохода е и поэтому не учитывают влияния внешних факторов на предпочтения ЛПР и, следовательно, на вид кривых полезности.

7.2.2. Теория ожидаемой полезности

Предположим, что вам предлагают купить лотерейный билет, по которому немедленно будет проведен розыгрыш. У вас равные шансы выиграть сумму Р = 100 руб. и остаться при своих - ничего не выиграть и не проиграть. За какую сумму вы купили бы этот билет?

Математическое ожидание выигрыша М = 50 руб. и если вы согласились бы купить билет за 50 рл б., то вас можно назвать объективистом. Если вы согласны заплатить за билет менее М, то вы не любите рисковать. И если вы согласны заплатить за билет более М, то вас можно назвать оптимистом, и вы любите рисковать.

Рассмотрим теперь более общие лотереи Ьп с п исходами 1;и . Эти исходы не равноценны в системе предпочтений ЛПР.

Трудность выбора лучшей лотереи усугубляет их сложная природа. В процессе исследования данного круга вопросов были найдены аксиомы, которые значительно упрощают систему предпочтений ЛПР на множестве лотерей.

Ожидаемая полезность рискового решения определяется на основе функции рисковой полезности с учетом вероятностей получения будущих доходов и отражает как рисковые предпочтения лица, принимающего решения, так и отношение его к размеру дохода.

Обозначим U{V) функцию рисковой полезности, которая представляет собой полезностную оценку дохода К с учетом склонности или несклонности инвестора к риску. Для выбора наиболее предпочтительного среди рисковых проектов с разным распределением будущих доходов необходимо найти проект, обеспечивающий максимальную ожидаемую полезность, на основе следующего выражения

тахЯ,- =тахР;С/(Уу)Я,0/ = 1,п, (7.2.1)

где Я, - полезностная оценка рискового проекта, у-\,п.

Для составления более точного представления о форме учета склонности или несклонности инвестора к риску, а также для формулирования предпосылок, на основании которых функция рисковой полезности соответствует рисковым предпочтениям данного лица, и описания возможного метода ее построения пользуются понятием простого шанса, или простой лотереи, под которой понимается лотерея с двумя исходами, вероятности которых известны и в сумме равны единице, а также понятием гарантированного эквивалента, под которым понимается такой гарантированный доход, который для данного лица эквивалентен простому шансу. Простой шанс можно записать так:

L={VU V2:P}

1где V\ - выигрыш с вероятностью Р,

Vj. - выигрыш с вероятностью 1 - Р.

Например, если из 1000 лотерейных билетов только один приносит выигрыш 1 тыс. руб., то такая лотерея представляет собой простой шанс вида L = {1,0 : 0,001}. Если под гарантированным эквивалентом понимать сумму, которую некое лицо согласно заплатить за право участия в простой лотерее, то склонность или несклонность этого лица к риску определяется в зависимости от соотношения ожидаемого выигрыша в простую лотерею и гарантированного эквивалента. Если гарантированный эквивалент Б больше ожидаемого выигрыша в простую лотерею, т.е.

PVl + (l-P)V2<B,

(7.2.2) 493

и данное лицо согласно заплатить сумму, равную В, за право участия в данной лотерее, т.е. за (100 х Р)%-й шанс выиграть V\ рублей, то оно считается склонным к риску.

Если гарантированный эквивалент меньше ожидаемого выигрыша в простую лотерею, т.е.

PVl + (l-P)V2> В, (7.2.3)

и рассматриваемое лицо согласно заплатить за право участвовать в ней только сумму, равную В, то это лицо не склонно к риску. Если гарантированный эквивалент для данного лица совпадает с математическим ожиданием выигрыша в простую лотерею, т.е.

PVi + (l-P)V2 = B, (7.2.4)

то данное лицо безразлично к риску.

Полученные условия позволяют сделать вывод о виде функции рисковой полезности. В соответствии с условием (7.2.1) значение функции рисковой полезности на простой лотерее можно определить так

U{Vi, V2:P} = PU(VX) + (1 -P)U(V2).

Соответствие простой лотереи гарантированному эквиваленту означает, что их полезность для инвестора одинакова

U(B) = Щ Vu V2:P} = PU(V\) + (1 - P)U(V2).

Тогда, учитывая, что функция рисковой полезности, возрастающая в случае, если лицо, принимающее решение, склонно к риску, с учетом выражения (7.2.2) принимает вид

U(B) = PU(VX) + (1 - P)U(V2) > Щ(РУХ) + (1 - P)V2),

то функция £/( V) является выпуклой.

Если лицо, принимающее решение, не склонно к риску, то с учетом условия (7.2.3) имеем

U{B) = PU(VX) + (1 - P)U(V2) < U((PVX) + (1 - P)V2),

и функция U(V) вогнутая. 494

Если лицо, принимающее решение, безразлично к риску, то с учетом условия (7.2.4) верно равенство

U(B) = PU(VX) + (1 - P)U(V2) = U((PVX) + (1 - P)V2),

и функция U{V) линейная.

Это подтверждается кривыми, приведенными на рис. 7.1.

Согласно аксиомам Дж. Неймана и О. Моргенштерна, которым должны удовлетворять рассматриваемые предпочтения лица, принимающего решения, этим предпочтениям можно поставить в соответствие некоторые количественные оценки, которые сохраняют порядок предпочтения и позволяют производить их сравнительный анализ путем сопоставления значений функции рисковой полезности. Впоследствии названные аксиомы были сформулированы применительно к анализу поведения лица, принимающего решение, в условиях риска в предположении, что его выбор производится в условиях простых лотерей. Были предложены разные варианты таких аксиом. В изложении американского экономиста П. Шумейкера более поздний вариант этих аксиом выглядит следующим образом.

1. Аксиома порядка и транзитивности.

Порядок в системе предпочтений означает, что лицо, осуществляющее выбор между двумя простыми лотереями, может однозначно указать одно из трех соотношений: лотерея L\ предпочтительнее лотереи L2 или, наоборот, лотерея L2 предпочтительнее лотереи L\, или обе лотереи эквивалентны. Следовательно, возможно одно из трех соотношений:

L > L2, Li < L2, или L\ ~ L2.

Транзитивность означает, что если первая лотерея предпочтительнее второй, а вторая предпочтительнее третьей, то первая лотерея всегда предпочтительнее третьей, т.е. если

L\ > L2, и L2> L3, то L\ > L3.

2. Аксиома устойчивости.

Если значения V\, У2и V3 таковы, что V\ > V2 > V3, то существует вероятность Р*, 0 < Р* < 1, при которой простая лотерея L = {V\, V3: Р*} эквивалентна гарантированному доходу V2, т.е.

L={Vi, V3:P*} = V2.

3. Аксиома доминирования

Если две лотерея с одинаковыми выигрышами и разными вероятностями их получения имеют вид

Li = {V{, V2:Pl},L1={Vu V2:P2},

причем Pi > Р2, то первая лотерея всегда предпочтительнее второй: L\ > L2.

4. Аксиома заменяемости.

Пусть из двух проектов с гарантированными доходами V\ и V2 для некоторого лица проект 1 привлекательнее проекта 2. Тогда для любой вероятности Р и при любом значении дохода V лотерея L\ = {Vu V : Pi} всегда привлекательнее лотереи L2={V2, V: Р} т.е. LX~U

Если проекты с гарантированным доходом эквивалентны, то и указанные простые лотереи также эквивалентны:

Ц~1*

5. Аксиома последовательности.

Любая составная лотерея, в которой каждый исход сам является лотереей, эквивалентна лотерее с несколькими исходами, вероятности наступления которых определяются путем перемножения вероятностей всех возможных состояний по правилу произведения вероятностей сложных событий. Пусть L\ = {L2, L3: Р}, где L2 = {V\, V2 : Q), L3 = {V3, V4 : R}. Тогда лотерея L4 = = {Vx, V2, K3, V4 : PQ, P(l - 0, (1 - P)R, (1 - R)}, эквивалентна лотерее L\, т.е. L\ ~ L4.

Используя приведенные пять аксиом, можно показать, что существует порядковая функция рисковой полезности, такая, что упорядочение лотерей по ожидаемой полезности их выигрыша соответствует действительным предпочтениям лица, принимающего решение, если оно в своих действиях учитывает аксиомы 1-5.

Для случая и исходов множество лотерей L есть {(Р, Рп): все

Р(>0 и 2Р,=1}.

Если принять все пять аксиом, то можно доказать следующую теорему:

Возможно каждому исходу i - \,...,п приписать число щ такое, что для любых двух лотерей L - (р\,..., р ), L= (р{, р ) будет верно L<V, если и только если р,м, < р\и{ . 496

Число Щ1 приписанное г-у исходу, называется его полезностью. Число же u(L) = ptu которое приписывается лотерее L, называ-

ется средней ожидаемой полезностью этой лотереи. С точки зрения теории вероятностей это просто математическое ожидание лотереи.

Полезности же лотерей можно вычислить по формуле математического ожидания.

Пример. Возьмем две простые лотереи L\ - (0,2; 0,8) и L2 = (0,3; 0,7). Теперь рассмотрим составную лотерею (L\, 0,4; L2, 0,6). По аксиоме последовательности эта составная лотерея эквивалентна простой (0,2 0,4 + 0,3 0,6; 0,8 0,4 + 0,7 0,6) = (0,26; 0,74).

Припишем исходу 1 полезность 10, а исходу 2 - полезность 100. Найдем средние ожидаемые полезности всех трех лотерей.

Итак, Ui = 10, U2 = 100. Значит U(L\) - 0,2 10 + 0,8 100 = 82; U(L2) = 0,3 10 + 0,7 100 = 72 и для составной лотереи, которую мы свели к простой t/(L3) = 0,26 10 + 0,74 100 = 76,6.

Пример. Пусть начальный капитал ЛПР составляет 9 руб., а

его функция полезности денег есть U{x) = -Jx. Ему предлагают лотерею, в которой возможны выигрыш 27 руб. с вероятностью 0,5 и выигрыш 0 руб. также с вероятностью 0,5. Следует ли ЛПР участвовать в такой лотерее?

Решение. Полезность 9 для ЛПР равна С/(9) = л/9 =3. Полезность его капитала после выигрыша 27 руб. равна С/(9 + 27)=л/36 = =6; после выигрыша 0 руб. - U(9) = 3; средняя ожидаемая полезность равна: 0,5 6 + 0,5 3 = 4,5, что меньше первоначального капитала. Следовательно, ему не нужно участвовать в лотерее.

Если лотерея задается распределением вероятностей на множестве всех неотрицательных сумм R+ = [0, °о], то из теории ожидаемой полезности полезность лотереи L рассчитывается по формуле

U(L)= ju(x)dL{x).

Пример. Если функция полезности для ЛПР имеет вид

м(х) = л/х, а выигрыши лотереи равномерно распределены на отрезке [0, 4], то средняя ожидаемая полезность лотереи равна

JJxdx = f-. о 3