можно увидеть, если вспомнить, что доходность портфеля равна взвешенной средней доходностей составляющих его ценных бумаг:

v=EV/,- olid

/= 1

Подстановка правой части уравнения (11.7) вместо л. в правой части уравнения (11.11) дает:

= а + b ,F.+b ,F., + e

р р\ и р2 2l t

I- 1

N i= 1

bP2=!*h;

i= i

ея=У,Х.е.,

Pt imJ I It

i= 1

Заметим, что чувствительности портфеля bfX и b 2 являются взвешенными средними соответствующих индивидуальных чувствительностей Ьп и bj2.

11.3.2 Отраслевые факторные модели

Курсы ценных бумаг, относящихся к одной и той же отрасли экономики, часто меняются сходным образом в ответ на изменения перспектив этого сектора. Некоторые инвесторы принимают это во внимание, применяя специальный тип многофакторной модели, известный как отраслевая факторная модель (sector-factor model). Чтобы построить отраслевую факторную модель, следует каждую из рассматриваемых ценных бумаг отнести к некоторому сектору экономики. В случае двухсекторной факторной модели каждая ценная бумага должна быть отнесена к одному из двух секторов.

Например, пусть сектор I состоит из промышленных компаний, а сектор 2 - из непромышленных компаний (коммунальное хозяйство, транспорт, финансовые компании). При этом можно считать, что Fx и F2 представляют доходности по индексам промышлен-

ных и непромышленных акций соответственно. (Например, они могли бы быть компонентами индекса S&P 500.) Следует, однако, иметь в виду, что как число секторов, так и состав каждого сектора - это открытый вопрос, который остается на усмотрение инвестора9.

В двухсекторной факторной модели процесс формирования дохода по ценным бумагам имеет тот же общий вид, что и в двухфакторной модели, описываемой уравнением (11.7). Но в двухсекторной факторной модели Fl и F2 теперь обозначают сектор-факторы 1 и 2 соответственно. Далее, любая конкретная ценная бумага принадлежит к одному из секторов, 1 или 2, но не к обоим. По определению, чувствительность ценной бумаги к фактору того сектора, к которому эта ценная бумага не относится, принимается равной нулю. Это означает, что либо Ьп, либо bj2 равно нулю в зависимости от того, к какому из секторов ценная бумага / не относится. Величина других коэффициентов чувствительности нуждается в оценке. (В целях простоты ему иногда приписывается значение 1.)

В качестве иллюстрации рассмотрим компании General Motors (GM) и Delta Airlines (DAL). Двухсекторная факторная модель для GM (временной индекс t опущен для простоты изложения) представлена уравнением:

гс,м = аам + ba.m Fi + bc,mFi + еам (11 13)

Однако из-за того, что GM как промышленная компания принадлежит к сектору 1, коэффициенту Ьст приписывается нулевое значение. После этого уравнение (11.13) сводится к уравнению:

rGU= ат+ ЬшА + еам- О1-14)

Итак, в двухсекторной факторной модели для GM необходимо оценить только значения аш, Ътх и оЛм. Для сравнения отметим, что в двухфакторной модели необходимо оценить значения асм, Ьсш, Ьсш и а сд/.

Аналогично, поскольку DAL принадлежит к непромышленному сектору, двухсекторная факторная модель для нее имеет вид:

гпм. = а,ш. + Ь,ы,Л + Ьпл,Л + <W (11-15)

что сводится к уравнению:

так как 6 приписывается нулевое значение. В итоге в двухсекторной факторной модели нужно оценить только значения aDAL, bDAL1 и otDAL.

В общем, в то время как в двухфакторной модели для каждой ценной бумаги нужно оценить четыре параметра (a., bjV bj2 и aej), в двухсекторной факторной модели нужно оценить лишь три параметра (a., aej и либо 6. либо bj2). Имея эти оценки вместе с оценками для Fv F , ал и ап, инвестор может применить уравнения (11.8) и (11.9) для расчета ожидаемых доходностей и дисперсий для каждой ценной бумаги. Парные ковариаций могут быть оценены с помощью уравнения (11.10). Это даст инвестору возможность определить кривую эффективного множества Марковица, а затем касательный портфель для заданной безрисковой ставки.

11.3.3 Обобщение моделей

Для обобщения модели при наличии более двух факторов придется отказаться от диаграмм, поскольку обсуждение выходит за рамки трех параметров. Тем не менее все понятия остаются прежними. Для случая к факторов многофакторная модель может быть записана в следующем виде:

г. = а. + b.,F. + bnFlt + ... + b.,F + е. , (П.17)

it i ;1 lr i2 21 ik kt it 4

где каждая ценная бумага характеризуется к чувствительностями, по одной на каждый из к факторов.

Уравнение (11.17) может содержать как факторы, так и сектор-факторы. Например, F\ и F2 могут обозначать ВВП и инфляцию, как в табл. 11.1, тогда как F} и FA могут представлять доходности промышленных и непромышленных акций соответственно.

Следовательно, акции каждого типа имели бы три чувствительности: промышленных и Ь..

bj2 и bj4 для непромышленных акций10.

/Г /2

b., для

Оценки факторных моделей

Хотя для оценок факторных моделей используется много методов, все они могут быть отнесены к трем основным группам:

1. Методы временных рядов.

2. Методы пространственной выборки.

3. Методы факторного анализа.

Л Л АЛ Методы временных рядов

Методы временных рядов, возможно, являются наиболее интуитивно понятными для инвесторов . Построение модели начинается с предположения о том, что инвестор заранее знает, какие факторы влияют на доходность ценных бумаг. Идентификация соответствующих факторов обычно происходит на основе экономического анализа фирм, включаемых в модель. При этом главную роль играют аспекты макроэкономики, микроэкономики, организации промышленности и фундаментальный анализ ценных бумаг.

Например, как обсуждалось ранее, можно ожидать, что некоторые макроэкономические переменные очень значительно влияют на доходность ценных бумаг. К ним относятся, в частности, ожидаемый темп прироста ВВП, инфляция, процентные ставки и цены на нефть. После выбора таких факторов следующий шаг при построении модели состоит в сборе информации об их значениях и доходности ценных бумаг от периода к периоду. Затем полученные данные используются для вычисления чувствительности доходностей к факторам, нулевых факторов и собственной доходности ценных бумаг, а также стандартных отклонений факторов и их корреляций. В этом подходе решающим моментом является точное измерение значений факторов. На практике это может оказаться довольно трудным.

КЛЮЧЕВЫЕ ПРИМЕРЫ И ПОНЯТИЯ

Многофакторная модепь BARRA для ценных бумаг США

Для профессиональных инвесторов, заинтересованных н количествен пои стропе дела, мнигифакюрпые модели являются интуитивно привлекательным методом анализа. Они в точном и легко проверяемом виде учитывают сущность фундаментальных экономических и финансовых сил, влияющих на доходности ценных бумаг. Однако переход от абстрактных рассуждений к разработке факторных моделей, которые были бы достаточно всесторонними и мощными для обслуживания разнообразных потребностей

институциональных инвесторов, является сложной задачей. Беглый обзор многофакторной модели BARRA для ценных бумаг США дает представление о сложностях строительства факторных моделей.

Модель BARRA основана на работе Барра Розенберга, специалиста по эконометрике в области финансов. В начале 1970-х гг., работая в Университете шт. Калифорния w Беркли, он и Виней Марат сформулировали сложную факторную модель. Эта модель связывала доходности акций с множеством фак-