имость собственности акционеров согласно балансовой ведомости фирмы, а под рыночной стоимостью - то же самое, что и размер капитализации, использованный в определении предыдущего фактора. Индекс акций с высоким отношением состоит из тех акций, что находятся в верхней трети спектра значений HMLt, а индекс акций с низким отношением состоит из тех акций, что находятся в нижней трети.)

Фама и Френч также определили два фактора, которые объясняют месячные доходности по облигациям. В виде уравнения их факторная модель для облигаций выглядит так:

ri, ~ rf, = / + bJERM, + baDEFf + v (11.19)

Этими двумя факторами являются фактор временной структуры и фактор риска неуплаты13. Фактор временной структуры (TERM() - это просто разность в месячной доходности между долгосрочными облигациями и одномесячными векселями казначейства. Фактор риска неуплаты (DEFt) - это разность в месячной доходности между портфелем долгосрочных облигаций корпорации и долгосрочными казначейскими облигациями14.

11.4.2 Метод пространственной выборки

Метод пространственной выборки (gross-sectional approaches) менее распространен, чем метод временных рядов, но часто оказывается не менее мощным средством. Построение модели начинается с оценки чувствительности ценных бумаг к определенным факторам. Затем для некоторого периода времени оцениваются значения этих факторов на основе анализа доходностей ценных бумаг и их чувствительности к факторам. Этот процесс повторяется для большого числа временных интервалов, что позволяет дать оценки для стандартных отклонений факторов и их корреляций.

Заметим, что метод пространственной выборки совершенно отличен от метода временных рядов. В последнем методе известны значения факторов, а чувствительности к ним оцениваются. После чего анализ проводится для одной ценной бумаги на большом числе временных интервалов, затем для другой ценной бумаги и т.д. В методе пространственной выборки известны чувствительности, а оцениваются значения факторов. В этом методе чувствительности иногда называются атрибутивными (attribute). Анализ в этом методе проводится для одного временного интервала и группы ценных бумаг, затем для другого временного интервала и той же группы бумаг и т.д. С целью иллюстрации метода пространственной выборки мы переходим к рассмотрению примеров однофакторной и двухфакторной моделей.

Однофакторные модели

На рис. П.З приведен гипотетический пример связи между доходностями акций нескольких типов за определенный период времени и одним из атрибутов ценных бумаг - ставкой дивиденда - для каждого типа акций. Каждая точка относится к одному определенному типу акций, показывая их доходность и ставку дивиденда в рассматриваемом временном интервале. В этом примере акции с более высокой ставкой дивиденда имеют тенденцию к более высокой доходности, чем акции с низкой ставкой дивиденда. В то время как рис. П.З (пример метода пространственных выборок) основан на использовании данных по различным типам акций для одного момента времени, рис. ll.l (пример метода временных рядов) основан на данных по одному типу акций для различных моментов времени.

Для того чтобы получить количественное выражение связи, показанной на рис. П.З, статистическим методом простой регрессии было проведено приближение точек прямой линией. Уравнение для прямой на рис. П.З имеет вид:

ги = 4 + 0,5/3., (11.20)

или в более общем виде:

~ru= al+bitFt, (11.21)

где гп - ожидаемая доходность акций типа i в период t при условии, что фактическое значение фактора равнялось Ff;

а, - нулевой фактор в период г,

bit - ставка дивидендов акций типа i в период г,

/ - фактическое значение фактора в период Г.

Вертикальное смещение а: дает ожидаемую доходность типичных акций с нулевой ставкой дивиденда. Поэтому, как и в случае уравнения (11.1), оно называется нулевым фактором. На рис. 11.3 он равен 4%. Наклон, равный 0,5, соответствует приросту ожидаемой доходности на каждый процент ставки дивиденда. Поэтому он представляет собой фактическое значение фактора ставки дивиденда (Ft) в рассматриваемом временном интервале.

Из этого примера видно, что метод пространственной выборки использует чувствительности для оценки значений факторов. Поэтому такие факторы называются эмпирическими. В методе временных рядов, напротив, известные значения факторов ис-

пользуются для получения оценок чувствительности ценных бумаг. Такие факторы называются фундаментальными (fundamental).

Фактическая доходность по любой данной ценной бумаге может лежать выше или ниже прямой линии благодаря нефакторному компоненту доходности. Поэтому полное описание соотношений факторов в рассматриваемой однофакторной модели дается уравнением:

r =4 + 0,5Aft + e. (11.22)

где е обозначает нефакторную доходность ценной бумаги / во временном интервале t. На рис. 11.3 ценная бумага X имела ставку дивиденда 6%. Поэтому согласно уравнению (11.18) она имела в этот период ожидаемую доходность, равную 7% (4 + 0,5 х 6). Поскольку ее фактическая доходность равнялась 9%, то ее нефакторная доходность составила +2% (9% - 7%).

В периоды, подобные тому, что рассмотрен на рис. 11.3, акции с высокой ставкой дивиденда приносят больший доход, чем акции с низкой ставкой дивиденда. Это указывает на положительность фактора ставка дивиденда в этом временном интервале. Однако в другом временном интервале акции с низкой ставкой дивиденда могут дать большую доходность, чем акции с высокой ставкой дивиденда. Прямая регрессии на соответствующей диаграмме шла бы вниз, и фактор ставки дивиденда был бы отрицательным. Кроме того, в некоторых временных интервалах связь между ставкой дивиденда и обычной доходностью может вообще отсутствовать. В этом случае прямая регрессии горизонтальна, а фактор ставки дивиденда равен нулю.

Двухфакторные модели

В некоторые периоды времени акции с низкой капитализацией в основном имеют большую доходность, чем акции с высокой капитализацией. В другие периоды может быть верно обратное. Поэтому многие модели в методе пространственной выборки используют показатель размера (size attribute), который часто определяется как логарифм полной рыночной стоимости размещенных фирмой ценных бумаг, измеренный в миллионах долларов. Эта стоимость, в свою очередь, вычисляется путем умножения курса акции на общее количество размещенных акций и путем деления полученного результата на 1 млн.16 То есть пакету акций стоимостью в $1 млн. соответствует показатель размера капитализации, равный нулю, пакету в $10 млн. - значение, равное 1, пакету в $100 млн. - значение 2 и т.д. Это правило основано на эмпирическом наблюдении, согласно которому влияние показателя размера на ценную бумагу с большой рыночной стоимостью оказывается примерно в два раза более сильным, чем на ценную бумагу, рыночная стоимость которой в десять раз меньше. Более сжато, эффект размера является линейно-графическим (linear in the logarithms).

Для того чтобы оценить фактор размера в данном месяце, можно воспользоваться процедурой, примененной при построении рис. 11.3 для оценки фактора дивиденда. Показатели размера капитализации ценных бумаг можно отложить по горизонтальной оси, а их доходности в данном временном периоде - по вертикальной оси (как на рис. 11.3). Наклон полученной в результате прямой линии регрессии дает оценку показателя размера капитализации в данном периоде времени.

Однако эта процедура обладает недостатками. Акции с большим размером капитализации обычно имеют более высокую ставку дивиденда. Поэтому разность в доходности между акциями с большим и малым размером капитализации может быть частично связана не только с разницей в размере капитализации, но и с разницей в ставке дивиденда. Оцененный показатель размера капитализации может частично отражать влияние фактора истинной ставки дивиденда. Проблема симметрична в том смысле, что оцененный фактор ставки дивиденда может также частично учитывать показатель истинного размера капитализации.