ность 14% при условии, что безрисковая ставка равна 8% и что ожидаемая доходность на рынке равна 13% [14% = 8% + (13% - 8%) х 1,2].

После того как мы установили, что факторная модель не является равновесной, имеет смысл исследовать взаимодействие параметров а. и Ъ. однофакторной модели и единственного параметра В модели САРМ.

Например, если можно считать, что фактические доходности генерируются однофакторной моделью, в которой фактор Fявляется доходностью рыночного портфеля гм, то согласно уравнению (11.3) ожидаемые доходности будут равны:

7=в, + *,ъ (1L27>

так как F= Но если согласно модели САРМ имеет место равновесие, то ожидаемые доходности можно определить из уравнения (10.7), переписанного в виде:

гГ(\-Ь.Щ+г,р.и. (11.28)

Отсюда видно, что параметры однофакторной модели и модели САРМ должны быть связаны между собой следующим образом:

а, = (1 - Р/л/)г/; (11.29)

*,= Р, . (П-30)

Это означает, что если ожидаемые доходности определены согласно модели САРМ, а фактические генерируются однофакторной рыночной моделью, то а. и Ь. должны рав-

3/л/>г/иР/л/

няться (1 - В.,)/, и В соответственно20

Краткие выводы

1. Факторная модель соответствует процессу формирования дохода, связывающему доходности ценных бумаг с изменениями одного или нескольких общих факторов.

2. Предполагается, что любой аспект доходности ценной бумаги, не объясненный факторной моделью, является специфическим для данной ценной бумаги и, следова- тельно, некоррелирован со специфическими компонентами доходностей других ценных бумаг.

3. Рыночная модель является частным примером факторной модели, в которой фактором является доходность по рыночному индексу.

4. Предположение о том, что доходности ценных бумаг реагируют на общие для них факторы, значительно упрощает задачу вычисления кривой эффективного множества Марковица.

5. Чувствительность портфеля к фактору равна взвешенной средней чувствительнос-тей составляющих его ценных бумаг. При этом весами служат доли, в которых ценные бумаги входят в портфель.

6. Полный риск для ценной бумаги складывается из факторного риска и нефакторного риска.

7. Диверсификация приводит к усреднению факторного риска.

8. Диверсификация уменьшает нефакторный риск.

9. Для построения факторных моделей применяются три основных метода: метод временных рядов, метод пространственной выборки и метод факторного анализа.

10. Факторная модель не является равновесной моделью цен на финансовые активы, как модель САРМ. Однако если равновесие имеет место, то факторная модель и САРМ связаны определенными соотношениями.

Вопросы и задачи

1. К факторам, от которых можно ожидать всеобъемлющего воздействия на экономику, относятся ожидаемые значения роста реального ВНП, реальные процентные ставки, уровень инфляции и цены на нефть. Для каждого фактора приведите пример отрасли, от которой можно ожидать высокой чувствительности (как положительной, так и отрицательной) к этому фактору.

2. Почему факторные модели значительно упрощают процесс определения кривой эффективного множества Марковица?

3. Многие фирмы, специализирующиеся на управлении инвестициями, поручают каждому из своих аналитиков по ценным бумагам исследовать определенную группу акций. (Обычно эти группы сформированы по отраслевому признаку.) Почему эти поручения можно рассматривать как неявное признание справедливости соотношений, получаемых в факторных моделях?

4. Какие два критических предположения лежат в основе любой факторной модели? Приведите гипотетические примеры нарушения этих предположений.

5. Кьюпид Чайлдс, опытный статистик по инвестициям, однажды заметил относительно факторных моделей: Схожие акции должны иметь схожие доходности . Что он имел в виду, говоря так?

6. Рассмотрим в рамках однофакторной модели ценную бумагу со значением нулевого фактора 4% и чувствительностью к фактору, равной 0,50. Пусть значение фактора равно 10%. При этом доходность ценной бумаги составляет 11%. Какая часть доходности связана с нефакторными элементами?

7. В рамках однофакторной модели рассмотрим портфель из двух ценных бумаг со следующими характеристиками:

Ценная бумага Чувствительность Нефакторный Доля

риск (сгы )

А 0,20 49 0,40

В 3,50 100 0,60

а. Если стандартное отклонение фактора равно 15%, то чему равен факторный риск портфеля?

б. Чему равен нефакторный риск портфеля?

в. Чему равно стандартное отклонение портфеля?

8. Ответьте на вопросы пункта 7, предположив, что часть портфеля инвестирована в безрисковый актив и что доля инвестиций такова:

Ценная бумага Доля

Безрисковая 0,10

А 0,36

В 0,54

9. В рамках однофакторной модели ценная бумага А имеет чувствительность -0,50, а чувствительность ценной бумаги В равна 1,25. Если ковариация между этими ценными бумагами равна -312,50, то чему равно стандартное отклонение для фактора?

10. В рамках однофакторной модели для двух ценных бумаг А и В имеют место соотношения:

гл = 5% + 0,8£ + еА; г = 7% + l,2F+ ев;

ar = 18%; оеА = 25%; a,t = 15%.

Вычислите стандартное отклонение для каждой ценной бумаги.

11. Если средний нефакторный риск (о.) всех ценных бумаг в однофакторной модели равняется 225, то каков нефакторный риск портфеля, который включает 10, 100 или 1000 ценных бумаг с равным весом?

12. Для заданного набора ценных бумаг, из которых можно составлять различные портфели, определите, исходя из обсуждения факторного и нефакторного риска, что могло бы послужить полезной мерой относительной диверсификации каждого из альтернативных портфелей?

13. Сколько параметров необходимо оценить для вычисления ожидаемой доходности и стандартного отклонения портфеля, содержащего 30 типов акций, в рамках пяти-факторной модели (предполагается, что факторы некоррелированы)? Сколько дополнительно требуется оценить параметров, если факторы коррелированы?

14. Приведите дополнительные факторы (сверх тех, что обсуждались в тексте), от которых можно было бы ожидать всеобъемлющего влияния на доходность ценных бумаг.

15. В рамках трехфакторной модели рассмотрим портфель, состоящий из трех ценных бумаг со следующими характеристиками:

Ценная Чувствительность Чувствительность Чувствительность Доля

бумага к фактору 1 к фактору 2 к фактору 3

А -0,20 3,60 0,05 0,60

В 0,50 10,00 0,75 0,20

с 1,50 2,20 0,30 0,20

Каковы чувствительности портфеля к факторам 1, 2 и 3?

16. Специалист по количественному анализу ценных бумаг Смайлер Мюррей заметил: Структура любой факторной модели имеет дело с неожиданностями, в частности, с природой корреляций неожиданностей в доходностях различных ценных бумаг . Что имел в виду Смайлер, говоря это?

17. Доуд Сикеро владеет портфелем, содержащим два вида ценных бумаг. В рамках двухфакторной модели эти ценные бумаги имеют следующие характеристики:

Ценная Нулевой Чувствительность Чувствительность Нефакторный Доля

бумага фактор к фактору 1 к фактору 2 риск(о)

А 2% 0,30 2,0 196 0,70

В 3 0,50 1,8 100 0,30

Факторы являются некоррелированными. Фактор 1 имеет ожидаемое значение 15% и стандартное отклонение 20%. Фактор 2 имеет ожидаемое значение 4% и стандартное отклонение 5%. Вычислите ожидаемое значение и стандартное отклонение для портфеля Доуда. [Подсказка: подумайте над тем, как с помощью уравнения (11.9) можно обобщить уравнение (11.6а) на случай двухфакторной модели.]

18. Сопоставьте три метода построения факторных моделей.

19. Рассмотрим факторную модель, в которой двумя факторами являются отношение дохода к цене и отношение балансовой стоимости к рыночной цене. Для акций вида А первое отношение равно 10%, а второе 2. Для акций вида В эти показатели равны