Теория арбитражного ценообразования

]У1одель САРМ является равновесной моделью, объясняющей, почему различные ценные бумаги обладают разными ожидаемыми доходностями. Эта модель образования цен на финансовые активы, в частности, утверждает, что ценные бумаги обладают различными доходностями вследствие различных коэффициентов бета . Однако существует альтернативная модель ценообразования, разработанная Стефаном Россом (Stephen Ross). Эта теория, известная как теория арбитражного ценообразования (Arbitrage Pricing Theory, APT), в некотором смысле является менее сложной, чем САРМ.

САРМ-моаель требует выполнения большого числа предположений, включая предположения, сделанные Гарри Марковицем при разработке базовой стохастической модели, например, о том, что каждый инвестор выбирает свой оптимальный портфель, используя кривые безразличия, учитывающие ожидаемый доход и стандартное отклонение. В то же время модель APT основана на меньшем числе предположений. Главным предположением теории является то, что каждый инвестор стремится использовать возможность увеличения доходности своего портфеля без увеличения риска. Механизмом, способствующим реализации данной возможности, является арбитражный портфель.

Факторные модели

APT исходит из предположения о связи доходности ценных бумаг с некоторым количеством неизвестных факторов1. Для простоты демонстрации представим, что имеется только один фактор и этим фактором является предсказанный темп роста промышленного производства. В данном случае доходность ценных бумаг определяется в соответствии со следующей однофакторной моделью:

r, = ai + bf \ + ei

где г, - стажа доходности ценной бумаги I;

F{ - значение фактора, которым в данном случае является

предсказанный темп роста промышленного производства; е{ - случайная ошибка.

В данном уравнении показатель Ь-является чувствительностью (sensitivity) ценной бумаги / к значению фактора (Иногда Ь( называют факторной нагрузкой или атрибутом ценной бумаги /2.)

Предположим, что инвестор обладает акциями трех видов и текущая рыночная цена каждого его актива равна $4 ООО ООО. В этом случае текущая стоимость инвестированного капитала W0 равна $12 ООО ООО. На первый взгляд эти акции имеют следующие ожидаемые доходности и чувствительности:

Но соответствуют ли ситуации равновесия указанные величины ожидаемых доходностей и чувствительностей к факторам? Если нет, то как, по вашему мнению, нужно изменить стоимости акций и ожидаемые доходности, чтобы восстановить равновесие?

12.1.1 Принцип арбитража

Собрания коллекционеров бейсбольных карточек давно стали частым явлением. Коллекционеры собираются и обменивают бейсбольные карточки по договорным ценам. Предположим, г-жа А посещает подобное собрание, где она встречает г-на S, предлагающего для продажи карточку Микки Мантла (Mickey Mantle) 1951 г. по $400. Позже г-жа А встречает г-на В, предлагающего $500 за такую же карточку. Видя возможность заработать, г-жа А соглашается продать карточку г-ну В, который дает ей $500 наличными. Она покупает у г-на S карточку за $400 и, отдав карточку г-ну В, кладет себе в карман $100. Совершив эти две сделки, г-жа А продолжает поиск других возможностей. Таким образом, г-жа А занимается арбитражем.

Арбитраж (arbitrage) - это получение безрисковой прибыли путем использования разных цен на одинаковые продукцию или ценные бумаги. Арбитраж, являющийся широко распространенной инвестиционной тактикой, обычно состоит из продажи ценной бумаги по относительно высокой цене и одновременной покупки такой же ценной бумаги (или ее функционального эквивалента) по относительно низкой цене.

Арбитражная деятельность является важной составляющей современных эффективных рынков ценных бумаг. Поскольку арбитражные доходы являются безрисковыми по определению, то все инвесторы стремятся получать такие доходы при каждой возможности. Правда, некоторые инвесторы имеют большие ресурсы и наклонности для участия в арбитраже, чем другие. Однако для реализации и исчерпания арбитражных возможностей (вследствие покупок и продаж акций) достаточно меньшего числа инвесторов, чем имеется желающих принять участие в этих операциях.

Сущность арбитража проявляется при рассмотрении различных цен на определенную ценную бумагу. Однако почти арбитражные возможности могут существовать и у похожих ценных бумаг или портфелей. Определить, подходит ли ценная бумага или портфель для арбитражных операций, можно различными способами. Одним из них является анализ общих факторов, которые влияют на курс ценных бумаг.

Факторная модель подразумевает, что ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам ведут себя одинаково, за исключением внефактор-ного риска. Поэтому ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам должны иметь одинаковые ожидаемые доходности, в противном случае имелись бы почти арбитражные возможности. Но как только такие возможности появляются, деятельность инвесторов приводит к их исчезновению. Это - существенное рассуждение, лежащее в основе APT.

12.1.2 Арбитражные портфели

В соответствии с APT инвестор исследует возможности формирования арбитражного портфеля (arbitrageportfolio) для увеличения ожидаемой доходности своего текущего порт-

Акция 1 Акция 2 Акция 3

15 21 12

0,9 3,0 1,8

феля без увеличения риска. Что же является арбитражным портфелем? Во-первых, это портфель, который не нуждается в дополнительных ресурсах инвестора. Если через *; обозначить изменение в стоимости ценной бумаги / в портфеле инвестора (а значит, и ее вес в арбитражном портфеле), то это требование к арбитражному портфелю может быть записано так:

*, + Х2 + *, = 0. (12.2)

Во-вторых, арбитражный портфель не чувствителен ни к какому фактору. Поскольку чувствительность портфеля к фактору является взвешенной средней чувствительностей ценных бумаг портфеля, то это требование арбитражного портфеля в общем виде может быть записано так:

/>,*, + b2X2 + />3*3 = 0; (12.3а)

или для рассматриваемого выше примера:

0,9*, + 3,0*2 + 1,8*з = °- (12-36)

При таком соотношении арбитражный портфель не обладает чувствительностью к промышленному производству.

Строго говоря, арбитражный портфель должен иметь нулевой внефакторный риск. Однако APT предполагает, что этот риск достаточно мал, поэтому им можно пренебречь. В терминах этой теории арбитражный портфель имеет нулевую подверженность воздействию факторов .

На основе выведенных нами формул можно определить множество потенциальных арбитражных портфелей. Ими являются портфели, удовлетворяющие уравнениям (12.2) и (12.36). Заметим, что в данном случае имеется три неизвестных (* Х2 и *3) и два уравнения, что означает существование бесконечного числа комбинаций значений * *2 и *3, удовлетворяющих этим двум уравнениям3. Для того чтобы найти одну комбинацию, предположим, что *, равен 0,1. В результате получим два уравнения с двумя неизвестными:

0,1 + *2 + *3 = 0; (12.4а)

0,09 + 3,0*2 + 1,8*з = °- (12-46)

Решением этих уравнений является *2 = 0,075 и *3 = -0,175. Следовательно, потенциальным арбитражным портфелем является портфель с полученными показателями (долями).

Чтобы определить, является ли портфель арбитражным, необходимо определить его ожидаемую доходность. Если доходность положительна, то портфель является арбитражным4. Математически третьим, и последним, требованием к арбитражному портфелю является следующее:

*,7,+*272 +*373 >0, (12.5а)

или для нашего примера:

15*, + 21*2 + 12*з > °- (12-5б>

Для данного портфеля ожидаемая доходность равна (15% х 0,1) + (21% х 0,075) + + (12% х -0,175) = 0,975%. Так как доходность положительна, то данный портфель является арбитражным.

Найденный арбитражный портфель предполагает покупку акций 1-го вида на $1 200 000 и акций 2-го - на $900 000. Откуда возникли эти суммы? Решение получает-