Для интерпретации Х{ можно рассмотреть чистый факторный портфель (pure factor portfolio), обозначаемый р*, имеющий единичную чувствительность к фактору, т.е. Ьр, = 1,0. (Если бы имелись другие факторы, то портфель следовало бы составить таким образом, чтобы он был к ним не чувствителен.) В соответствии с уравнением (12.9) такой портфель обладает следующей ожидаемой доходностью:

7р, = 7+Я,. (12.10а)

Это уравнение может быть переписано таким образом:

r .-rf=Xy (12.106)

Следовательно, Я, является ожидаемой избыточной доходностью (т.е. ожидаемой доходностью сверх безрисковой ставки) портфеля, имеющего единичную чувствительность к фактору. Поэтому Я, называется премией за факторный риск (factor risk premium). Пусть 8, = 7. обозначает ожидаемую доходность портфеля с единичной чувствительностью к фактору, тогда уравнение (12.106) примет вид:

5, - rf= Я,. (12.10в)

Подставляя левую часть уравнения (12.10в) вместо Я, в уравнение (12.9), получим вторую версию уравнения ценообразования APT:

П = г/+ (8, - /у) Ь,. (12.11)

Так как в рассматриваемом примере /у= 8% и Я, = 5, - /у= 4%, то получаем что 51=12%. Это означает, что ожидаемая доходность портфеля с единичной чувствительностью к первому фактору равна 12%.

Для того чтобы обобщить данное уравнение теории арбитражного ценообразования, необходимо рассмотреть случаи, когда доходы по ценным бумагам генерируются более чем одним фактором. Далее мы займемся обобщением двухфакторной модели и дальнейшим расширением анализа на случай к факторов при к > 2.

Двухфакторные модели

Для случая двух факторов, обозначаемых F{ и F2 и представляющих предсказанное состояние промышленного производства и уровень инфляции, каждая ценная бумага будет обладать двумя чувствительностями - Ьп и bj2. Таким образом, доходы по ценным бумагам определяются по следующей факторной модели:

ri = ai + bnFl + bnF2 + er (12.12)

Рассмотрим ситуацию, в которой имеется четыре ценные бумаги со следующими ожидаемыми доходностями и чувствительностями:

В дополнение рассмотрим инвестора, вложившего по $5 000 000 в каждую из этих бумаг (т.е. начальный капитал W0 равен $20 000 000). Соответствуют ли цены этих акций ситуации равновесия?

12.3.1 Арбитражные портфели

Для ответа на этот вопрос необходимо исследовать возможность формирования арбитражного портфеля. Прежде всего арбитражный портфель должен иметь структуру, удовлетворяющую следующим уравнениям:

х\ + х2 + хъ + *, = 0; (12.13)

0,9*, + 3*2 + 1,8*з + 2Z4 = °; (12.14)

2*, + 1,5*2 + 0,7*з + 3,2*4 = 0. (12.15)

Это означает, что арбитражный портфель не требует от инвестора привлечения дополнительных средств и должен иметь нулевую чувствительность к каждому фактору.

Заметим, что мы получили три уравнения и каждое из них содержит четыре неизвестных. Поскольку неизвестных больше, чем уравнений, то имеется бесконечное множество решений. Одно из решений может быть найдено, если принять *, равным 0,1 (произвольно выбранная величина) и затем решить уравнения для оставшихся переменных. В результате решения получим: *2 = 0,088, *3 = -0,108 и *4 = -0,08.

Полученные доли представляют потенциальный арбитражный портфель. Теперь остается проверить, обладает ли этот портфель положительной доходностью. Вычисляя ожидаемую доходность, получаем 1,41% [(0,1 х 15%) + (0,088 х 21%) + (-0,108 х 12%) + + (-0,08 х 8%)]. Следовательно, найден арбитражный портфель.

Этот арбитражный портфель предполагает покупку акций 1-го и 2-го вида за счет продажи акций 3-го и 4-го вида. Следовательно, деятельность по покупке и продаже повысит курсы акций 1-го и 2-го вида и понизит курсы акций 3-го и 4-го вида. В свою очередь, это означает, что ожидаемые доходности акций 1-го и 2-го вида понизятся, а акций 3-го и 4-го вида повысятся.

Инвесторы будут формировать такие арбитражные портфели, пока не будет достигнуто равновесие. Это означает, что равновесие будет достигнуто, когда любой портфель, удовлетворяющий уравнениям (12.13),(12.14) и (12.15), будет иметь нулевую ожидаемую доходность. При этом связь между доходностями и чувствительностями будет линейной:

n = XQ+X1bu+bi2. (12.16)

Как и уравнение (12.7), уравнение (12.16) линейно, но имеет три переменные г(, bn и bj2.

В рассматриваемом примере одним из равновесных сочетаний являются Я0 = 8, Я, = 4 и Aj = -2. Тогда уравнение ценообразования будет следующим:

7, = 8 + 46,., - 2ЬП . (12.17)

В результате четыре рассматриваемые акции имеют следующие равновесные значения ожидаемых доходностей:

7, = 8 + (4 х 0,9) -(2x2) = 7,6%;

72 = 8 + (4 х 3) - (2 х 1,5) = 17,0%;

73 = 8 + (4 х 1,8) - (2 х 0,7) = 13,8%;

74 = 8 + (4 х 2) - (2 х 3,2) = 9,6%.

Ожидаемые доходности акций 1-го и 2-го вида упали с 15 и 21%, тогда как ожидаемые доходности акций 3-го и 4-го вида возросли с 12 и 8% соответственно. Изменение спроса и предложения вследствие инвестиций в арбитражные портфели привело к изменениям ожидаемых доходностей в предсказанных направлениях.

Так как А, > 0, одним следствием из уравнения (12.17) является то, что акция с большей чувствительностью к первому фактору имеет большую ожидаемую доходность, если обе акции обладают одинаковой чувствительностью ко второму фактору. Но так как Я2 < 0, то акция с большей чувствительностью ко второму фактору будет иметь меньшую ожидаемую доходность, чем другая акция с меньшей чувствительностью ко второму фактору, при условии, что обе акции обладают равной чувствительностью к первому фактору. Однако этот эффект при разных чувствительностях двух акций к первому и второму факторам может быть неоднозначным. Например, акция 4-го вида имеет меньшую ожидаемую доходность, чем акция 3-го вида, несмотря на то, что обе ее чувствительности больше. Это объясняется тем, что более высокая чувствительность к первому фактору (/>41 =2,0 > />31 = 1,8) может оказаться недостаточной для уравновешивания чувствительности ко второму фактору (642 = 3,2 > Ьп = 0,7).

12.3.2 Эффекты ценообразования

Обобщение однофакторного уравнения ценообразования APT (12.7) для двухфакторной ситуации относительно несложно. Как и прежде Я0 равна безрисковой ставке, потому что безрисковый актив не обладает чувствительностью ни к какому фактору, что означает равенство нулю Ьп и bj2. Отсюда следует, что Я0 = /у Поэтому уравнение (12.16) может быть переписано в более общем виде:

ri=rf+Xlbn+X2bn. (12.18)

(В примере к уравнению (12.16) /у = 8%.)

Теперь рассмотрим хорошо диверсифицированный портфель, имеющий единичную чувствительность к первому фактору и нулевую - ко второму. Как уже упоминалось, такой портфель называется чистым факторным портфелем, так как он: (1) обладает единичной чувствительностью к единственному фактору; (2) не чувствителен ни к какому другому фактору; (3) имеет нулевой нефакторный риск. А именно, 6, = 1 и Ь2 = 0. Из уравнения (12.18) следует, что ожидаемая доходность этого портфеля, обозначаемая 5 равна /у + Я т.е. 5,- /у = А,. Тогда уравнение (12.18) может быть переписано так:

г/=/у + (51-/у)/>/1+А2/>/2. (12.19)

В примере к уравнению (12.16) 8, - /у = 4. Это означает, что 5, = 12, так как /у = 8. Другими словами, портфель, имеющий единичную чувствительность к предсказанному состоянию промышленного производства (первый фактор) и нулевую чувствительность к предсказанному уровню инфляции (второй фактор), будет обладать ожидаемой доходностью 12%, что на 4% больше, чем безрисковая 8%-ная ставка.

Наконец, рассмотрим портфель, имеющий нулевую чувствительность к первому фактору и единичную чувствительность ко второму фактору, т.е. 6, = 0 и b2 = 1. Из уравнения (12.18) следует, что ожидаемая доходность этого портфеля, обозначаемая 82, равна /у+ А2. Поэтому 82 - /у = А2, а уравнение (12.19) может быть переписано так:

г/ = /у + (<5, -/у)*;, + (<52 -rf)bn. (12.20)

В примере к уравнению (12.16) 82 - /у= -2. Это означает, что 82 = 6, так как /у = 8. Другими словами, портфель, имеющий нулевую чувствительность к предсказанному состоянию промышленного производства (первый фактор) и единичную чувствительность к предсказанному уровню инфляции (второй фактор), будет обладать ожидаемой доходностью 6%, что на 2% меньше, чем безрисковая 8%-ная ставка.