Многофакторные модели

В случае когда доходы генерируются по двухфакторной модели вместо однофакторной, уравнения ценообразования APT(12.7) и (12.11) получались путем введения в уравнения (12.16) и (12.20) дополнительного фактора. Что произойдет с этими уравнениями, когда доходы генерируются по многофакторной модели с числом факторов большим, чем два? Оказывается, и в этом случае основные уравнения ценообразования снова можно обобщить очевидным образом.

В случае к факторов (Fv F2, Fk) каждая ценная бумага будет обладать чувствительностями (/>. bj2, bjk) в следующей /:-факторной модели:

= а> + Ь;А + baF2 + - + V. + ei (12-21>

Это в свою очередь приводит к уравнению, которое аналогично уравнениям (12.7) и (12.6):

~r,= \ + \bn + Х2Ь12 + ... + \bik. (12.22)

Как и прежде, это - линейное уравнение, но с к + 1 неизвестными: r(., bn, Ьп, bjk.

Расширение ЛРГ-уравнений ценообразования (12.11) и (12.20) для данного случая относительно несложно. Как и прежде, Я0 равно безрисковой ставке, так как безрисковый актив не чувствителен ни к какому фактору. Каждое значение 5у. равно ожидаемой доходности портфеля акций, имеющего единичную чувствительность к фактору j и нулевую чувствительность ко всем остальным факторам. В результате уравнения (12.11) и (12.20) обобщаются следующим образом:

~г,= г,+ (8, - rf)bn + (52 - ,y)bi2 + ... + (8, - rf)bik. (12.23)

Следовательно, ожидаемая доходность акции равна сумме безрисковой ставки и к премий за риск, основанных на чувствительностях акций к -факторам.

Синтез APT и САРМ

В отличие от APT CAPMwt предполагает того, что доходы генерируются по факторной модели. Однако из этого не следует, что САРМ не согласуется с теорией, в которой доходы генерируются по факторным моделям. В действительности можно построить теорию, по которой доходы генерируются по факторной модели и при этом выполняются все предположения APT и САРМ. Рассмотрим подобную ситуацию.

12.5.1 Однофакторные модели

Рассмотрим, что происходит, если доходы генерируются по однофакторной модели и этим фактором является рыночный портфель (market portfolio). В этой ситуации 8, соответствует ожидаемой доходности рыночного портфеля и Ь; означает коэффициент бета акции / по отношению к рыночному портфелю. Следовательно, модель САРМ описывает этот случай.

Что делать, если доходы генерируются по однофакторной модели и этот фактор не является рыночным портфелем? Тогда 8, соответствует ожидаемой доходности портфеля с единичной чувствительностью к фактору, а Ь. означает чувствительность акции /, измеренную по отношению к фактору . Однако если САРМ справедлива, то ожидаемая доходность ценной бумаги / связана и с ее коэффициентом бета , и с чувствительностью:

г i = r, + (r.u -r,)B

(12.24)

ri = rf+(8l-rf)bl

(12.25)

Это наводит на мысль о том, что коэффициенты бета и чувствительности должны быть связаны друг с другом. Эта связь будет рассмотрена далее.

ключевые примеры и понятия

Применение APT

С момента своего появления в середине 1970-х гг. теория арбитражного ценообразования (APT) предоставила исследователям и практикам понятную и гибкую основу яля работы по важным темам инвестиционного управления. По сравнению с САРМ с ее специфичными предположениями о предпочтениях инвестора и ключевой роли рыночного портфеля, APT использует относительно более слабые предположения. Вследствие упора на многообразие источников систематического риска ЛРГпредставляет значительный интерес как инструмент для лучшего объяснения результатов инвестиций и более эффективного контроля за риском портфеля.

Несмотря на свои положительные свойства, АРТне слишком широко используется инвесторами. Главной причиной этого является основной недостаток APT: неопределенность относительно факторов, которые систематически влияют на доходы по ценной бумаге, а также на долгосрочную доходность, связанную с каждым из этих факторов. Справедливо иди ошибочно, но САРМ недвусмысленно утверждает, что ковариация ценной бумаги с рыночным портфелем - это единственный систематический источник инвестиционного риска для хорошо диверсифицированного портфеля. APT, напротив, умалчивает о конкретных систематических факторах, влияющих на риск и доходность ценной бумаги. Поэтому инвесторы должны надеятся на себя при определении этих факторов.

Количество институциональных инвесторов, действительно использующих APT для управления активами, очень мало. Наиболее известной среди таких организаций является Roll& Ross Asset Management Corpo-

ration (R&R). Интересно проследить за тем, как R&R применяет эту теорию на практике, R&R начинает с определения систематических источников риска {т.е. факторов), которые, по ее мнению, в настоящее время действуют на рынках ценных бумаг (ссудного капитала). Затем выбирает пять факторов, которые в основном воздействуют на доходности акций:

♦ Бизнес-цикл.

♦ Процентные ставки.

♦ Доверие инвестора.

♦ Краткосрочная инфляция.

♦ Долгосрочные инфляционные ожидания.

R&R измеряет эти величины, сопоставляя их с определенными экономическими переменными, используемыми в качестве количественных характеристик. Например, фактор бизнес-цикла отражается с помощью реальных (учитывающих инфляцию) процентных изменений индекса промышленного производства, а краткосрочная инфляция - с помошью ежемесячных процентных изменений индекса потребительских цен.

Подход R&R содержит несколько предположений. Во-первых, каждому источнику систематического риска соответствуют текущая неустойчивость и вознаграждение. Неустойчивость и вознаграждение по факторам и даже сами факторы могут изменяться со временем. Во-вторых, отдельные ценные бумаги и портфели обладают различными чувствительностями к каждому фактору. Эти чувствительности также могут изменяться во времени. В-третьих, ожидаемая доходность и риск хорошо диверсифицированного портфеля определяются на основе анализа рассматриваемых факторов. В-четвертых, конструируемый портфель должен обладать наилучшим обшим соотношением

когда роль рыночного портфеля играет найденный индекс-представитель. К сожалению, поскольку рыночный портфель неизвестен, невозможно проверить, удовлетворяет ли какой-либо индекс-представитель двум введенным условиям.

12.5.2 Многофакторные модели

Теория САРМ может работать, даже если процесс формирования доходов описывается многофакторной моделью. Рассмотрим, например, двухфакторную модель. Уравнения (12.24) и (12.25) могут быть обобщены для демонстрации связи между ожидаемым доходом ценной бумаги, ее коэффициентом бета и двумя чувствительностями:

ri=rf + (ru-rf)PiM

(12.29)

n=rf+(8i-rf)bn +(S2-rf)bi2. (12.30)

В этом случае уравнение (12.26) обобщается для отражения линейной зависимости между коэффициентами бета и чувствительностями:

COV(FltrJ COV(FvrJ

(12.31)

где COV{Fv гы) и COV(F2, rj означают ковариацию между первым фактором и доходностью рыночного портфеля и между вторым фактором и доходностью рыночного портфеля соответственно. Если COV{Fx, rv)/aM и COV(F2, rJ/otl постоянны, то из уравнения (12.31) следует, что /}. будет функцией Ьп и bi2 (при условии выполнения уравнений (12.29) и (12.30)). Это означает, что коэффициент бета акции будет линейной комбинацией ее чувствительностей к двум факторам, что в нашем примере означает зависимость величины коэффициента бета акции от величины чувствительности акции к предсказанным промышленному производству и инфляции.

Если в уравнении (12.29) вместо f}jM подставить правую часть уравнения (12.31), то получим:

г i = rf+(r м-г}

COV(FltrJ

COV(F7,r)

.11 .1!

Уравнение (12.32a) можно переписать в другом виде:

(12.32а)

г/ = /у +

{гм-гУ

COV(FrrJ

COV(F2,r)

(12.326)

Сравнение этого уравнения с уравнением (12.18) показывает, что если одновременно выполнены предположения ЛРГ(двухфакторной) и САРМ, то справедливы следующие соотношения:

Я, =(.r -rf)

COV(F.,r)

(12.33а)

COV(F2,r)

(12.336)