а. Подсчитайте коэффициенты бета для бумаг А и В.

б. Если безрисковая ставка равна 6% и ожидаемая доходность рыночного портфеля -12%, то какова равновесная ожидаемая доходность ценных бумаг А и В?

21. Предположим, что САРМ выполняется и доходности соответствуют двухфакторной модели. Известна следующая информация:

с4= 324; Ьм = 0,80; Ьв = 1,00; COV(Fp г ) = 156;

ЪА2 = 1,10; Ьвг = 0,70; COV (Fv гм) = 500. Подсчитайте коэффициенты бета для бумаг А и В.

Вопросы экзамена CFA

22. Будучи менеджером большого хорошо диверсифицированного портфеля акций и облигаций, вы знаете, что изменения определенных макроэкономических переменных могут прямо повлиять на показатели портфеля. Вы используете подход теории арбитражного ценообразования (APT) к планированию портфеля и хотите проанализировать возможное влияние следующих факторов:

♦ промышленное производство;

♦ инфляция;

♦ премия за риск или спреды качества; t сдвиги кривых доходности.

а. Покажите, как каждый из этих четырех факторов влияет на денежные потоки и ставки дисконта в традиционной модели оценки дисконтированных денежных потоков. Объясните, как неожиданные изменения каждого из этих факторов могут повлиять на доходность портфеля.

б. Предположим, вы используете стратегию распределения активов в постоянной пропорции: 60% акции и 40% облигации, которую корректируете ежемесячно. Сравните вышеописанный активный подход к управлению портфелем, учитывающий макроэкономические факторы, со стратегией сохранения постоянной пропорции.

Примечания

Факторные модели подробно обсуждаются в гл. 11.

2 Существуют другие способы записи уравнения факторной модели. Заметим, что из уравнения (12.1) следует, что = а;. + bi х где и F, - ожидаемая доходность ценной бумаги / и ожидаемое значение фактора соответственно. Подставляя r(. - i(. F{ вместо о(. в уравнение (12.1), получим следующую альтернативную формулировку однофакторной модели: r(. = rf + bs (F{ - F{) + + ef; приняв/j = F{ - F{, получим третий вариант записи однофакторной модели: г( = 7( + Ь/{ + е(. (где /, интерпретируется как непредвиденное изменение значения фактора).

3 Всегда будет бесконечное множество решений, если неизвестных больше, чем уравнений. Например, рассмотрим ситуацию с одним уравнением и двумя неизвестными: У= ЗХ. Существует бесконечное множество пар Хн У, удовлетворяющих уравнению, например 1 и 3, 2 и 6, 3 и 9.

4 Если ожидаемая доходность отрицательна, то изменение знаков долей приведет к тому, что ожидаемая доходность станет положительной. Заметим, что новые доли также дают в сумме нуль и будут представлять портфель с нулевой чувствительностью к факторам. Таким образом, новые доли соответствуют арбитражному портфелю.

5 Л/Тигнорирует нефакторный риск. Поскольку общий риск портфеля аг в соответствии с однофакторной моделью (см. уравнение (11.6а) гл. 11) равен b- х а\ + а11 при условии, что арбитражный портфель не имеет факторного риска по построению (т.е. Ьгр а]. = 0, так как Ьр = 0), то

приходим к выводу, что арбитражный портфель должен быть достаточно диверсифицирован, чтобы иметь незначительный нефакторный риск и, следовательно, незначительный общий риск.

6 Технически это уравнение ценообразования верно лишь приблизительно и может быть существенно неверным в случае малого числа активов.

7 Почему выбраны А0 = 8 и Л, = 4? Значения, которые принимают эти два параметра в равновесии, зависят от многих вещей, таких, как относительная несклонность инвестора к риску, капитал и предпочтения коротких сроков.

8 Если бы точка В была изображена ниже линии оценки финансовых активов APT, то инвесторы сделали бы все противоположным описанному образом, т.е. купили бы S и продали В.

9 Эту операцию легко представлять как своп акций, при котором акция S обменивается на В. Поскольку это своп (обмен), то дополнительные ресурсы не требуются. Более того, так как В и S имеют одинаковые чувствительности к фактору, то этот своп не изменит чувствительности портфеля. Замещение S на В увеличит доходность портфеля, так как В имеет большую ожидаемую доходность, чем S.

10 Технически, прямая ценообразования APT слегка сместится вверх вследствие продажи S.

Если фактором является рыночный индекс (вместо рыночного портфеля), такой, как S&P 500, то 5{ будет соответствовать ожидаемой доходности на индекс, a bt будет представлять коэффициент бета акции /, измеренный по отношению к индексу, который в гл. 8 обозначался через /Зп.

12 Это уравнение получается путем следующих вычислений: COV(r., rM) = COV(ai + bjFl + er rM) упрощается - СОУ(гг rM) = bt COV(Ft, rM) + COV(ei, rM). Поскольку последнее слагаемое близко к нулю, это уравнение сокращается до COV(rjt rM) = bt COV(F{, гм). Деля обе части на а2м и вспоминая (гл. 10), что COV(rp гм)/ а2м = Рш, получаем уравнение (12.26).

13 COV(Fl, гм) будет положительной, если корреляция положительна, так как эта величина равна произведению корреляции и стандартных отклонений F, и гм.

14 См. примечание 13.

13 Чем теснее привязан фактор к рыночному портфелю (т.е. чем больше корреляция между и ги), тем больше связанная с этим фактором ожидаемая премия доходности Лг

16 Для понимания этого утверждения см. примечание 13.

17 В гл. 11 описывалась трехфакторная модель, разработанная Фамой и Френчем. В этой модели факторы представляли собой доходности на: (1) общий рыночный индекс; (2) разницу между индексами больших и малых акций; (3) разницу между индексами компаний с высоким и низким соотношением балансовой и рыночной стоимости компании.

18 Заметим, что третий фактор может быть интерпретирован как характеристика временной структуры процентных ставок, а четвертый фактор - как мера премии за риск неуплаты, которую инвестор требует за приобретение рисковых корпоративных облигаций вместо казначейских облигаций.

19 Технически, использована часть ставки доходности S&P 500, которая не зависела от четырех других факторов.

20 Технически, использованы реальные (с учетом инфляции) величины для всех переменных, кроме процентной ставки.

21 Модели дисконтирования дивидендов подробно обсуждаются в гл. 18.

Ключевые термины

теория арбитражного ценообразования чистый факторный портфель

чувствительность премия за факторный риск

арбитраж рыночный портфель арбитражный портфель

Рекомендуемая литература

1. Первоначальная разработка APT изложена в работах:

Stephen A. Ross, The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing*, Journal of Economic Theory, 13, no. 3 (December 1976), pp. 341-360; Risk, Return, and Arbitrage*, in Risk and Return in France, Vol. I, ed. Irwin Friend and James L. Bicksler (Cambridge, MA: Ballinger Publishing, 1977), Section 9.

2. Разъяснения первоначального описания APT С. Россом содержатся в работе: Gur Huberman, А Simple Approach to Arbitrage Pricing Theory , Journal of Economic Theory, 28, no. 1 (October 1982), pp. 183-191.

3. Фундаментальное уравнение оценки финансовых активов APT приблизительно верно во всех случаях, кроме малого числа активов. При некоторых дополнительных предположениях неточностью модели можно пренебречь. Этот вопрос рассмотрен в следующих работах (см. также работы, указанные в примечаниях 7 и 8):

Nai-fu Chen and Jonathan E. Ingersoll, Jr., Exact Pricing in Linear Factor Models with Finitely Many Assets: A Note , Journal of Finance, 38, no. 3 (June 1983), pp. 985-988. Gary Chamberlain and Michael Rothschild, Arbitrage, Factor Structure, and Mean-Variance Analysis on Large Asset Markets*, Econometrica, 51, no. 5 (September 1983), pp. 1281-1304.

Gary Chamberlain, Funds, Factors, and Diversification in Arbitrage Pricing Models*, Econometrica, 51, no. 5 (September 1983), pp. 1305-1323.

Philip H.Dybvig, An Explicit Bound on Individual Assets Deviations from APT Pricing in a Finite Economy*, Journal of Financial Economics, 12, no. 4 (December 1983), pp. 483-496.

Mark Grinblatt and Sheridan Titman, Factor Pricing in a Finite Economy*, Journal of Financial Economics, 12, no. 4 (December 1983), pp. 497-507.

Gregory Connor, A Unified Beta Pricing Theory*, Journal of Economic Theory, 34, по. 1 (October 1984), pp. 13-31.

4. Нетехническое описание APT можно найти в работах:

Richard W. Roll and Stephen A. Ross, Regulation, the Capital Asset Pricing Model, and the Arbitrage Pricing Theory*, Public Utilities Fortnightly, 111, no. 11 (May 26, 1983), pp. 22-28. Richard W. Roll and Stephen A. Ross, The Arbitrage Pricing Theory Approach to Strategic Portfolio Planning*, Financial Analysts Jounal, 40, no. 3 (May-June 1984), pp. 14-26. Dorothy H. Bower, Richard S. Bower, and Dennis E. Logue, A Primer on Arbitrage Pricing Theory*, Midland Corporate Finance Journal, 2, no. 3 (Fall 1984), pp. 31-40.

5. Некоторые из попыток определить количество значимых факторов представлены в работах:

Richard W. Roll and Stephen A. Ross, An Empirical Investigation of the Arbitrage Pricing

Theory*, Journal of Finance, 35, no. 5 (December 1980), pp. 1073-1103.

Stephen J. Brown and Mark I. Weinstein, A New Approach to Testing Asset Pricing Models:

The Bilinear Paradigm*, Journal of Finance, 38, no. 3 (June 1983), pp. 711-743.

Phoebus J. Dhrymes, Irwin Friend, and N. Bulent Gultekin, A Critical Reexamination of

the Empirical Evidence on the Arbitrage Pricing Theory*, Journal of Finance, 39, no. 2

(June 1987), pp. 323-346.