вания, равной доходности к погашению облигации); Р0 обозначает текущий рыночный курс облигации; Г - срок до погашения облигации12.

Таблица 16.1

Расчет дюрации

Время до поступления платежа

Сумма платежа (долл.)

80 80 1,080

Ставка приведения

0,9091 0,8264 0,7513

Приведенная стоимость платежа (долл.)

71,73 66,12 811,40

Приведенная стоимость

платежа, умноженная

на время

72,73 132,23 2434,21

950,25

$2639,17

2639,17

Дюрация =-- = 2,78 года.

950,25

Почему дюрацию можно определять как среднюю зрелость потока платежей, связанных с облигацией ? Это становится ясно, если понять, что текущий рыночный курс облигации Р0 равен сумме приведенных стоимостей потоков РУ(С) при ставке дисконтирования, равной доходности к погашению:

IРЦС,).

(16.2)

Таким образом, эквивалентным способом подсчета дюрации является запись уравнения (16.1) в несколько другой форме:

PV(C,)

(16.3)

Вначале приведенная стоимость каждого платежа PV{C) выражается как некоторая доля рыночного курса (Р0). Затем эти доли умножаются на величины соответствующих периодов времени до наступления платежей. Наконец, полученные результаты суммируются и в итоге получается дюрация.

В примере, приведенном в табл. 16.1, величина 0,07653 ($72,73/$950,25) - это часть рыночного курса облигации, которая должна быть получена через 1 год. Аналогично, величина 0,06958 ($66,12/$950,25) должна быть получена через 2 года и величина 0,85388 ($811,40/$950,25) должна быть получена по истечении 3 лет. Заметим, что в сумме эти доли дают единицу, что и позволяет использовать их в качестве весов при вычислении взвешенного среднего. Таким образом, чтобы вычислить взвешенное среднее платежей по облигации, каждый вес нужно умножить на соответствующий отрезок времени до наступления данного платежа и затем полученные произведения сложить: (1 х 0,07653) + (2 х 0,06958) + (3 х 0,85388) = 2,78 года.

Заметим, что бескупонная облигация имеет дюрацию, равную Т, поскольку с ней связан только один платеж. Так как для таких облигаций Р= PV(C), то уравнение (16.3) принимает вид:

PV(CT) D=-- х Т= 1 х Т= Т.

Л>

Для всякой купонной облигации дюрация будет всегда меньше, чем период времени до срока погашения Т. Это также следует из уравнения (16.3). Так как максимальное значение, которое может принимать t, равно Т, и каждое г умножается на вес PV(C)/P0, то, следовательно, D должна быть меньше Т.

16.4.2 Связь с изменением курса облигации

Одно из следствий теоремы 5 заключается в том, что облигации, имеющие одинаковые сроки погашения, но различные купонные платежи, могут по-разному реагировать на одно и то же изменение процентной ставки, т.е. курсы этих облигаций могут меняться по-разному при заданном изменении процентной ставки. Однако облигации с одинаковой дюрацией будут реагировать сходным образом. Таким образом, процентное изменение курса облигации связано с ее дюрацией по следующей формуле:

Изменение х Процентное изменение

курса (в %) ~ Х (I + доходность облигации) (16.4а)

где символ = означает приближенное равенство . Эта формула показывает, что когда доходности двух облигаций, имеющих одну и ту же дюрацию, изменяются на один и тот же процент, то и курсы этих облигаций изменяются примерно на один и тот же процент. Равенство (16.4а) иначе можно записать в следующем виде:

(16.46)

где АР означает изменение курса облигации, Р - ее начальный курс, Ау - изменение доходности к погашению облигации, у - исходную доходность к погашению.

Для примера рассмотрим облигацию, которая в настоящий момент продается по $1000 при доходности 8%. При условии, что дюрация облигации составляет 10 лет, насколько изменится ее цена при увеличении доходности до 9%? Используя равенство (16.46), получим Ау = 9% - 8% = 1% = 0,01, отсюда Ду/(1 + у) = 0,01/1,08 = 0,00926 = 0,926% и -D [Ay /(1 + у)] = -10 (0,926%) = -9,26%, т.е. рост доходности на 1% приведет к падению курса приблизительно на 9,26% до $926 [$1000 - (0,0926 х $1000)].

16.4.3 Взаимосвязь выпуклости и дюрации

Теперь будет полезно остановиться на взаимосвязи понятий выпуклость и дюрация . В конце концов и та, и другая имеют отношение к измерению зависимости курса облигации от доходности к погашению. На рис. 16.3 показана природа этой зависимости. Как и на рис. 16.2, на этом рисунке представлена облигация с текущим курсом Р и доходностью к погашению у. Заметим, что прямая есть касательная к графику кривой в точке, соответствующей текущему курсу и доходности.

Если доходность облигации увеличится до у+, то курс упадет до Р~. И наоборот, если доходность снизится до у, то курс поднимется до Р*. Однако в соответствии с уравнением (16.46) оценочные курсы будут равны P~D и P+D соответственно. Дело в том, что это равенство, как отмечалось ранее, является неточным. Эта неточность вызвана

тем, что процентное изменение курса облигации представлено как линейная функция дюрации. Следовательно, равенство (16.46) дает новый курс, подсчитанный таким образом, что изменение курса становится линейно зависимым от изменения доходности (что представлено в виде прямой линии на рисунке). Это приводит к погрешности за счет выпуклости. (В примере размеры погрешностей равны (Р~ - Р0) и (Р* - P+D) соответственно.) Итак, поскольку зависимость между изменениями доходности и изменениями курса является выпуклой, а не линейной, использование уравнения (16.46) приводит к появлению заниженного нового курса, соответствующего либо возросшей, либо понизившейся доходности облигации13. Однако для достаточно малых изменений доходности погрешность довольно мала и уравнение (16.46) дает вполне приемлемые результаты. По рис. 16.3 можно заметить, что величина погрешности при определении курса тем меньше, чем меньше величина изменения доходности. (На рисунке это соответствует тому, что расстояние от приближенной прямой до выпуклой кривой по оси ординат становится меньше при уменьшении величины изменения доходности по сравнению с у.)

Рис. 16.3. Выпуклость облигаций и дюрация

1Б.4.4 Изменения временной структуры

Как отмечалось ранее, при изменении доходности меняются курсы большинства облигаций, но некоторые изменяются сильнее, чем другие. Даже облигации с одинаковым сроком погашения могут по-разному реагировать на заданное изменение доходности. Однако уравнения (16.4а) и (16.46) показывают, что процентное изменение курса облигации связано с ее дюрацией. Следовательно, курсы двух облигаций, имеющих одну и ту же дюрацию, будут реагировать схожим образом на данное изменение доходности.