Например, облигация, показанная в табл. 16.1, имеет дюрацию 2,78 и доходность 10%. Если ее доходность меняется до 11%, то процентное изменение величины (1 + доходность) равно 0,91% [(1,11 - 1,10)/1,10], т.е. ее курс должен измениться примерно на -2,53% (-2,78 х 0,91%). Используя ставку дисконтирования 11%, можно точно вычислить курс, который будет равен $926,69, при этом фактическое изменение курса составит -$23,56 ($926,69 - $950,25), а соответствующее процентное изменение будет равно -2,48% (-$23,56/5950,25). Любая другая облигация с дюрацией 2,78 даст похожее изменение курса при таком же изменении доходности.

Рассмотрим облигацию со сроком обращения 4 года, которая также имеет дюрацию 2,78 года. При одинаковых изменениях процентных ставок и доходностей по трехгодичным и четырехгодичным облигациям, их курсы также изменятся одинаково. Например, если доходность по четырехгодичным облигациям увеличивается с 10,8% до 11,81%, а доходность по трехгодичным облигациям увеличивается с 10 до 11%, то процентное изменение приведенной стоимости четырехгодичной облигации будет примерно равно -2,53% {-2,78 х [(1,1181 - 1,108)/1,108] = 2,78 х 0,91%}, что совпадает с процентным изменением приведенной стоимости трехгодичной облигации.

Что произойдет, если процентные изменения величины (1 + доходность) будут различными? Другими словами, что случится, если временная структура изменится таким образом, что процентные изменения величины (1 + доходность) окажутся различными для разных бумаг? Например, доходность по трехгодичным облигациям поднимется с 10 до 11% [процентное изменение 0,91% = (1,11 - 1,10)/1,10], а доходность по четырехгодичным облигациям увеличится с 10,8 до 11,5% [процентное изменение 0,63% = = (1,115 - 1,108)/1,108]. В этом случае процентное изменение цены четырехгодичной облигации примерно составит -1,75% {-2,78 х [(1,115 - 1,108)/1,108]}, что меньше -2.53% для трехгодичной облигации. Так что даже в том случае, если две облигации имеют одну и ту же дюрацию, это еще не значит, что их цены будут одинаково реагировать на любые изменения доходности, поскольку эти изменения могут быть различными для облигаций, имеющих равную дюрацию.

Иммунизация

Введение понятия дюрации привело к развитию техники управления пакетами облигаций, которая известна под названием иммунизация {immunization). Именно эта техника позволяет портфельному менеджеру быть относительно уверенным в получении ожидаемой суммы дохода. Иначе говоря, когда портфель сформирован, он иммунизируется от нежелательных эффектов, связанных с будущими колебаниями процентных ставок.

1В.5Л Как достигается иммунизация

Иммунизация достигается путем вычисления дюрации обещанных платежей и формирования на этой основе портфеля облигаций с одинаковой дюрацией. Такой подход использует преимущество того, что дюрация портфеля облигаций равна взвешенному среднему дюрации отдельных бумаг в портфеле. Например, если одну треть портфеля составляют бумаги с дюрацией 6 лет, а две трети - бумаги с дюрацией 3 года, то сам портфель имеет дюрацию 4 года (/з х 6 + 2/з х 3).

Рассмотрим простую ситуацию, когда менеджер должен через 2 года осуществить за счет своего портфеля только один платеж величиной в $1 000 000. Поскольку выплата только одна, то ее дюрация составляет 2 года. Менеджер рассматривает возможности инвестирования в облигации двух видов. Первый тип облигаций показан в табл. 16.1 и имеет срок до погашения 3 года. Второй тип - это облигации со сроком погашения

1 год, с единовременным платежом $1070 (состоящим из $70 купонного платежа и $1000 номинала). Текущий курс этих облигаций равен $972,73, и, значит, их доходность к погашению равна 10%.

Рассмотрим альтернативы менеджера. Во-первых, все средства могут быть вложены в облигации со сроком погашения 1 год и реинвестированы через год вновь в ценные бумаги со сроком погашения 1 год. Однако такой подход сопряжен с риском. В частности, если процентные ставки снизятся в течение следующего года, тогда средства, полученные от погашенных облигаций, будут вложены по более низкой ставке, чем та, которая имеется в настоящее время, - 10%. Таким образом, менеджер сталкивается с риском, связанным с возможностью реинвестирования средств по более низкой ставке14.

Во-вторых, он может вложить все средства в трехгодичные облигации, но это тоже сопряжено с риском. В частности, трехгодичные ценные бумаги должны быть проданы через 2 года, с тем чтобы получить $1 000 000. Риск состоит в том, что процентные ставки поднимутся до этого момента, приводя к общему снижению курсов облигаций. В этом случае облигации, возможно, не будут стоить $1 000 000, т.е. и здесь менеджер сталкивается с риском изменения процентной ставки.

Одно из возможных решений - инвестировать часть средств в одногодичные облигации, а часть в трехгодичные облигации. В какой пропорции их следует делить? При использовании иммунизации решение можно получить, решив систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

Wt + IV} = !; (16.5)

(W, х 1) + (Ц/ х2,78) = 2. (16.6)

Здесь И7, и Wt обозначают веса (или пропорции), по которым средства инвестируются в один и другой тип облигаций соответственно. Заметим, что уравнение (16.5) требует, чтобы сумма весов была равна 1. В соответствии с уравнением (16.6) взвешенное среднее дюрации бумаг портфеля должно быть равно дюрации выплаты, которая составляет

2 года. Решение этой системы уравнений найти легко. Перепишем вначале уравнение (16.5) в виде:

W, = 1 - Wy (16.7)

Затем подставим (1 - вместо Wx в уравнение (16.6) и получим:

[(1 - 1V}) х !] + (ИТ, х 2,78) = 2. (16.8)

Это одно уравнение с одним неизвестным может быть легко разрешено. В результате получим W = 0,5618. Подставляя это значение в уравнение (16.7), получим W = 0,4382. Таким образом, менеджер должен вложить 43,82% средств в одногодичные облигации, а 56,18% - в трехгодичные облигации.

В этом случае менеджеру понадобится $826 446 ($1 000 000/(1,10)2), с тем чтобы приобрести облигации, которые составят полностью иммунизированный портфель. При этом $362 149 (0,4382 х $826 446) пойдет на приобретение одногодичных облигаций, а $464 297 (0,5618 х $826 446) - на приобретение трехгодичных облигаций. Поскольку текущие рыночные курсы одногодичных и трехгодичных облигаций равны $972,73 и $950,25 соответственно, это значит, что будет приобретено 372 ($362149/$972,73) одногодичных облигаций и 489 ($464297/$950,25) трехгодичных облигаций.

Что достигается посредством иммунизации? Теоретически, при росте доходности потери от продажи трехгодичных облигаций через два года с дисконтом будут в точности компенсированы прибылью от реинвестирования по более высокой ставке средств от погашенных одногодичных облигаций (и купонных платежей от трехгодичных облигаций через год). В противном случае при падении доходности потери в результате реинвестирования средств от одногодичных облигаций (и купонных платежей от трехгодичных облигаций через год) по более низкой ставке будут компенсированы возможностью продать

трехгодичные облигации через 2 года с премией. Таким образом, портфель иммунизирован от влияния различных колебаний процентной ставки в будущем.

В табл. 16.2 более точно показано, что будет происходить с портфелем. Во второй колонке показана стоимость портфеля через 2 года при условии, что процентная ставка оставалась на уровне 10% в течение этих 2 лет. Как можно увидеть, стоимость портфеля одногодичных и трехгодичных облигаций будет примерно равна ожидаемой сумме $1 ООО ООО. Если, например, доходность падает до 9% или поднимается до 11% до того, как истек 1 год, и остается на новом уровне, то стоимость портфеля будет несколько выше $1 ООО ООО15.

16.5.2 Проблемы, связанные с иммунизацией

В предыдущем параграфе было описано, что иммунизация дает теоретически. Однако весьма вероятно, что на практике она не будет работать столь хорошо. Каковы же тому причины? В основе лежит ответ на следующий вопрос: почему дюрация не всегда точно отражает риск изменения процентной ставки? В терминах рассмотренного примера, по каким причинам стоимость указанного портфеля через 2 года может оказаться ниже $1 ООО ООО?

Таблица 16.2

Пример иммунизированного портфеля

Доходность к погашению на конец первого года

Сумма на момент времени г = 2, полученная в результате реинвестирования дохода от одногодичных облигаций

[$1070 х 372,3 х (1 + у)] = Стоимость трехгодичных облигаций в момент времени г = 2:

Сумма, полученная от реинвестирования купонов, выданных в момент времени г = 1:

[$80 х 488,6 х (1 + у) = Купоны, полученные в момент времени г = 2:

[$80 х 488,6] = Цена продажи в момент времени г = 2:

[$1080 х 488,6/(1 + у)] =

Общая стоимость портфеля в момент времени г = 2:

$434 213 $438 197

42 606 42 997

39 088 39 088

484 117 479 716

$442 181

43 388

39 088

475 395

$1 000 024 $999 998 $1 000 052

Риск отзыва и риск неуплаты

Начнем с того, что иммунизация (и дюрация) основана на предположении, что ожидаемые потоки платежей по облигации будут выплачены полностью и своевременно. Данное положение означает, что иммунизация основана на том, что облигации будут оплачены и не будут отозваны до срока, т.е. по облигации отсутствует риск неуплаты и