Таблица 17.2 {продолжение)

1. Бета

(Б) Вычисления

(ТхЕХГ) - (IVxIX) (16x590,80) - (54,84 х 66,62)

(ТхХХ2)-(1Х)2

0,63.

(16x848,38) -(66,62)

2. Альфа :

[ZY/Т] - [Зх(1Х/Г)] = [54,84/16] - [0,63 х (66,62/16)] = 0,79% .

3. Стандартное отклонение случайной ошибки:

{[1У2-(ахЕУ)-(Рх1ЛУ)]/(Т-2)},/2 =

= {[ 1039,03 - (0,79х54,84) - (0,63 х590,80)]/( 16- 2)} 1/2 = 6,67% .

4. Стандартная ошибка беты :

Стандартное отклонение случайной ошибки/jlX2 - [(IX)2/т]} 1/2 =

= 6,67/(848,38-[(66,62)2/1б]} 1/2 =0,28.

5. Стандартная ошибка альфы :

Стандартное отклонение случайной ошибки/т- [(ХХ)2/ХХ2 ] 1/2 =

= 6,67/{l6-[(66,62)2/848.38]}1/2 =2,03.

6. Коэффициент корреляции:

(Тх1ХУ)-(1Ух1Х) {[(Тх1У2)-(ХУ)2]х[(ТхХХ2)-(ХХ)2]}1/2 (16 х 590,80) - (54,84 х 66,62)

{[(16 х 1039,03)- (54,84)2 ] х[(16х848,38) - (66,62)2 ]}

= 0,52.

7. Коэффициент детерминации:

(Коэффициент корреляции)2 = (0,52)2 = 0,27 .

8. Коэффициент неопределенности:

1 - Коэффициент детерминации = 1 - 0,27 = 0,73 .

*Все вычисления сделаны за период , где f находится в пределах от 1 до Т(в этом примере t= 1, 2..... 16).

Рыночная модель WM на рис. 17.7 соответствует линии регрессии, построенной с помощью точечной диаграммы. Поскольку прямая характеризуется своим наклоном и точкой пересечения с осью ординат, можно показать, что значения беты и альфы , при которых построенная прямая наилучшим образом приближена к графику точечной диаграммы, определяются однозначно. Иначе говоря, не существует прямой, которая бы давала меньшее значение для стандартного отклонения случайной ошибки. Таким образом, построенную прямую также называют прямой наилучшего приближения.

Иначе говоря, прямая наилучшего приближения - это та прямая, которая минимизирует сумму квадратов величин случайной ошибки. То есть 16 значений случайной ошибки, соответствующих линии регрессии, возводятся в квадрат и затем суммируются. Полученная таким образом сумма для прямой наилучшего приближения меньше, чем для любой другой прямой.

14 квартал

10% --

Рис.17.7 Рыночная модель для WM

Например, если альфа равняется 1,5 и бета - 0,8, то с помощью равенства (17.8) величина случайной ошибки е. вычисляется для всех 16 кварталов. С помощью этих 16 значений можно вычислить стандартное отклонение случайной ошибки, просуммировав их квадраты и разделив сумму на 14 (16-2). Стандартное отклонение случайной ошибки будет равно квадратному корню из этого числа. Однако полученный результат будет больше, чем 6,67%, что составляет стандартное отклонение случайной ошибки для прямой наилучшего приближения, т.е. прямой, для которой альфа равна 0,79, а бета - 0,63.

Заметим, что истинное значение коэффициента бета ценной бумаги невозможно установить, можно лишь оценить это значение. Так что даже если бы истинное значение беты оставалось постоянным всегда, его оценка, полученная по методу наименьших квадратов, все равно менялась бы во времени из-за ошибок при оценке (называемых ошибками выборки). Например, если при оценке используются различные выборки 16 кварталов, то полученные оценки беты для ценных бумаг WM будут почти всегда отличаться от 0,63 - величины, полученной для 16 кварталов, приведенных в табл. 17.2. Стандартная ошибка для беты (standard error of beta) есть попытка оценить величину таких ошибок. При необходимых предположениях (например, что истинное значение беты не менялось в течение оцениваемого 16-квартального периода) с вероятностью примерно У, можно утверждать, что истинное значение беты лежит в пределах величины стандартной ошибки от ее оценочного значения. Так, истинное значение беты для WM, скорее всего, составляет не больше 0,91 (0,63+0,28) и не меньше 0,35 (0,63-0,28). Аналогично стандартная ошибка для альфы (standard error of alpha) дает оценку величины отклонения прогнозируемого значения от истинного .

Коэффициент корреляции (correlation coefficient), приведенный в табл. 17.2, показывает, насколько доходность бумаг WM связана с доходностью рыночного индекса. Поскольку эта величина лежит в пределах от -1 до +1, то значение 0,52 для доходности бумаг (УМ говорит о средней силы положительной корреляции между доходностью WM и рыночным индексом.

Коэффициент детерминации (coefficient of determination) представляет собой пропорцию, в которой изменение доходности акций компании (УМ связано с изменением доходности рыночного индекса. Другими словами, он показывает, в какой степени колебания доходности WM можно отнести за счет колебаний доходности рыночного индекса.

При значении 0,27 для акций компании WM можно сделать вывод, что колебания их доходности за рассматриваемый 16-квартальный период на 27% можно объяснить колебаниями доходности рыночного индекса.

Based on S&P 500 Index, Using Straight Regression Page 3

Источник: Merrill Lynch, Pierce, Fenner & Smith Incorporated.

Рис. 17.8 Образец страницы из сборника по оценке риска ценных бумаг Merill Lynch, Pierce,

Fenner & Smith Inc.

Так как коэффициент неопределенности (coefficient of nondetermination) равен 1 минус коэффициент детерминации, то он представляет собой пропорцию, в которой изменение доходности акций компании WM не связано с изменением доходности рыночного индекса. Так, 73% величины колебания доходности акций компании WM нельзя приписать колебаниям доходности рыночного индекса.

На рис. 17.8 приведена страница из отчета Оценка риска ценных бумаг , подготовленного компанией Merill Lynch, Pierce, Fenner & Smith Inc. Изменения цен различных акций в процентах, подсчитанные за каждый из 60 месяцев, сравнивались затем с изменением индекса Standard & Poors 500 на основе рыночной модели, приведенной в табл. 17.2. В результате анализа было получено семь представляющих интерес величин по каждой акции.

Значения в графах Бета и Альфа представляют собой соответственно коэффициент наклона и ординату пересечения с осью OY прямой наибольшего приближения для точечной диаграммы процентных изменений цен акций каждого вида и индекса. Например, за 60 месяцев у компании Ask Computer бета и альфа равнялись соответственно 1,65 и -0,06%.