A=A ,(l+g), (18.16а)

D,= D0(l+gy. (18.166)

18.3.1 Чистая приведенная стоимость

Приняв указанное предположение, в числителе равенства (18.7) следует заменить D на До (I + S),

DQ(l+g)

(18.17)

.. (1 + А:)

Равенство (18.17) можно упростить. Поскольку £>0 - фиксированное число, его можно вынести за знак суммы:

V= D

у (1+g)

(18.18)

Далее, пользуясь свойством бесконечных рядов из курса математического анализа, получим, что при к > g:

V 0+*) i+g .

- , (18.19)

,= i(l + *) k-g

С учетом последнего, из равенства (18.18) получаем следующую формулу для модели постоянного роста:

[k-g

Равенство (18.20) записывают еще и так:

(18.20)

(18.21)

поскольку £>, = D0 (1 + g). Пример

В качестве примера того, как может использоваться эта разновидность MDD, предположим, что за прошедший год компания Cooper выплатила дивиденды в размере $1,80 на акцию. Прогнозируется, что дивиденды по акциям компании Cooper будут расти на 5% каждый год в течение неопределенного срока. Ожидаемые дивиденды за следующий год составят $1,89 ($1,80 х (1 + 0,05)). С помощью равенства (18.20) и предполагая, что требуемая ставка доходности * равна 11%, можно увидеть, что курс акции компании равен $31,50 [$1,80 х (1 + 0,05)/(0,11 - 0,05) = $1,89/(0,11 - 0,05)]. При текущем курсе акции $40 из равенства (18.2) будет следовать, что NPV одной акции составляет -$8,50 ($31,50 - $40). Или иначе: так как V= $31,50 < Р = $40, то акция переоценена на $8,50 и является кандидатом на продажу.

18.3.2 Внутренняя ставка доходности

Равенство (18.20) можно использовать для вычисления IRR по инвестициям в бумаги с постоянным ростом дивидендов. При этом вместо V подставляется текущий курс акции Р, а вместо к подставляется **. В итоге получаем:

P=DQ

l+g \

(18.22)

Иначе это можно переписать так:

к* =-+g =

Пример

Применяя эту формулу к акциям компании Cooper, получаем, что к* = 9,72% [$1,80 х х (1 + 0,05)/$40 +0,05 = $1,89/$40 + 0,05]. Поскольку IRR по инвестициям в акции компании Cooper меньше требуемой ставки доходности (9,72% < 11%), то этот метод также показывает, что акции компании Cooper переоценены.

18.3.3 Связь с моделью нулевого роста

Можно показать, что модель нулевого роста, рассмотренная выше, есть частный случай модели постоянного роста. В частности, если темп роста g принять равным нулю, то величина дивидендов все время будет оставаться на одном и том же уровне, что и означает нулевой рост. Если в равенствах (18.20) и (18.23а) предположим g = 0, то придем к равенствам (18.13) и (18.15а) соответственно.

Даже если предположение о постоянстве роста может показаться менее ограничительным, чем предположение нулевого роста, тем не менее оно также нереалистично во многих случаях. Однако, как будет показано ниже, модель постоянного роста важна, так как она является составной частью модели переменного роста.

fjKH Модель переменного роста

Более общей разновидностью DDM для оценки обыкновенных акций является модель переменного роста (multiple-growth model). Главная особенность данной модели - это период времени в будущем (обозначаемый через 7), после которого ожидается, что дивиденды будут расти с постоянным темпом g. Инвестору приходится заниматься прогнозом дивидендов до периода Т, однако при этом не предполагается, что до этого времени они будут изменяться по какому-то определенному закону. Лишь после наступления периода Т предполагается, что размер дивидендов меняется с постоянным темпом роста. Иначе говоря, вплоть до времени 7 для каждого периода инвестор делает индивидуальный прогноз по величине дивидендов - Д, Д, Д ... Д Инвестор также прогнозирует наступление момента Т. Предполагается, что после наступления момента времени Т дивиденды будут расти с постоянным темпом g, что означает:

Д + 1 = ДО +S);

Д+2 = Д.+ ] + 1(1 +g) = Д<1 +gY;

д+3 = д+2+ ki +g) = д(1 +gy

и так далее. На рис. 18.1 представлена временная диаграмма величины и темпа роста дивидендов, соответствующая модели с переменным ростом.

-10 1 2 3

On D. D, D,

°х / х s Ч s х

Т- 1

- +

Г+ 1

О, Ог

X X х*.

9i 9 9

DT Dr ,

(k-g) (1 +fc)r

Рис. 18.1. Временнйя линия для модели с переменным ростом

18.4.1 Чистая приведенная стоимость

При определении курса обыкновенной акции с помощью модели переменного роста требуется вычислить приведенную стоимость прогнозируемого потока дивидендов. Это можно сделать следующим образом: разделить общий поток на две части, рассчитать приведенную стоимость каждой части и затем сложить их вместе.

Сначала необходимо определить приведенную стоимость дивидендов, выплачиваемых до периода Т включительно. Обозначая эту величину через V, получим:

Vr = L-; (18.24)

,-1(1 + *)

Затем требуется вычислить приведенную стоимость прогнозируемых дивидендов, которые будут выплачиваться после момента времени Т, для чего используется модель постоянного роста. Сперва предполагается, что начало отсчета перенесено на период Г и инвестор не изменил своего прогноза относительно динамики дивидендов. Это значит, что дивиденды в период Т + 1 (DT +,) и далее будут расти с постоянным коэффициентом g. Таким образом, инвестор будет рассматривать акции как растущие с постоянным темпом, и их курс в момент времени Т(Ут) может быть определен на основе модели постоянного роста, задаваемой равенством (18.21):

(18.25)

Можно рассматривать VT как единовременное поступление, равноценное потоку дивидендов после периода Т, т.е. наличное поступление дивидендов Утв момент времени Г эквивалентно потоку дивидендов DT+ р DT+1, DT+i и т.д. Если считать, что инвестор находится в нулевом моменте времени, а не в моменте Т, то нужно определить приведенную стоимость поступления VT при t = 0. Это делается путем ее дисконтирования за время Г по ставке *, откуда получаем следующую формулу расчета приведенной стоимости всех дивидендов, выплачиваемых после периода Г в момент времени 0 (данную величину обозначим через VT+):

(1 + *)г

<*-*><! + *> <18-26)

Найдя с помощью равенства (18.24) приведенную стоимость всех выплат до периода Т включительно и с помощью равенства (18.26) приведенную стоимость всех вы-