плат после периода Т, складываем два этих выражения, что в результате дает формулу вычисления приведенной стоимости акции:

V=Vr + Vr=\-- +-LJ- (18 27)

,= .(! + £) (k-g)(\ + k)T

Процедура оценки для модели переменного роста, задаваемая равенством (18.27), проиллюстрирована на рис. 18.1.

Пример

В качестве примера того, как может использоваться данная разновидность DDM, предположим, что компания Magnesium выплачивала дивиденды в размере $0,75 на акцию. В следующем году ожидается, что Magnesium будет выплачивать дивиденд в размере $2 на акцию. Таким образом, g] = (Д - D0)/D0 = ($2 - $0,75)/$0,75 = 167%. Через год дивиденд ожидается в размере $3 на акцию и, следовательно, g2 = (D2 - Dl)/D[ = ($3 - - $2)/$2 = 50%. Начиная с этого момента времени, имеется прогноз, что в будущем величина дивидендов будет расти с постоянным темпом 10% в год, т.е. Т = 2 и g = 10%. Таким образом, £>r+ = D = $3(1 + 0,1) = $3,30. При значении требуемой ставки доходности по акциям компании Magnesium в 15% величины Уг и У могут быть вычислены по формулам:

Уг = $- +-$--= $4,01;

(1+0,15) (1+0,15)2

У= = $49,9.

(0,15-0,10) (1 +0Д5)2

Складывая значения Vr и Fn получим V, равное $4,01 + $49,91 = $53,92. Таким образом, текущий курс акции $55 оказывается справедливым. Иначе говоря, акции компании Magnesium оценены примерно правильно, поскольку разница между У и Р невелика.

18.4.2 Внутренняя ставка доходности

В моделях нулевого и постоянного роста равенство для Кможет быть переписано таким образом, чтобы можно было вычислить внутреннюю ставку доходности по инвестициям в данный вид акций. К сожалению, для модели переменного роста удобных формул, наподобие равенств (18.15а), (18.156), (18.23а) и (18.236), не существует. Это очевидно, так как выражение для IRR получается, если в уравнении (18.27) заменить V на Р и к на к*:

i(l+it*) (k*-g)(\ + k*)T

(18.28)

Однако из этого равенства не удается выразить к*.

Но не все потеряно. Остается возможность вычисления /У?/? для модели с переменным ростом путем простого подбора значений. Правая часть равенства (18.28) равна приведенной стоимости потока дивидендов, для которого к* используется в качестве ставки дисконтирования. Отсюда, чем больше значение к*, тем меньше значение правой части уравнения (18.28). Подбор начинается с какого-либо начального приближения для к*. Если соответствующее значение правой части уравнения (18.28) больше Р, то затем подставляется большее значение к*. Наоборот, если полученное значение меньше Р, то подставляется меньшее значение к*. Продолжая эту процедуру далее, инвестор в

конце концов подберет значение параметра к*, при котором правая часть (18.28) будет равна левой части. Такой метод поиска к* может использоваться с применением компьютера. Большинство электронных таблиц включает подобный метод.

Пример

Применяя равенство (18.28) к акциям компании Magnesium, получаем:

$2 + $3 + S3.30

* - - - CIS 2 9 >

(l + /t*) (\+к*)2 (к*-0,Щ(\+к*)2 у

В качестве первоначальной величины к* использовалось значение 14%. Подставляя это значение в правую часть равенства (18.29), получим значение $67,54. Ранее 15% использовалось при определении У и тогда было получено значение $53,92. Это значит, что к* должно лежать в интервале между 14 и 15%, так как $55 находятся между $67,54 и $53,92. Если в качестве следующего приближения взять 14,5%, то результат окажется равным $59,97. Это показывает, что истинное значение должно быть больше. Если затем попробовать значения 14,8 и 14,9%, то получим $56,18 и $55,03 соответственно. Так как $55,03 ближе всего к Р, то IRR для инвестиций в акции компании Magnesium составляет 14,9%. При требуемой ставке доходности 15% и IRR, равной примерно 14,9%, получаем, что акции данного вида оценены справедливо.

18.4.3 Связь с моделью постоянного роста

Теперь мы можем показать, что модель постоянного роста является частным случаем модели переменного роста. В частности, если предположить, что момент времени, с которого должен начаться постоянный рост, равен нулю, то:

г-1 (\ + к)

(k-g)(\ + k)T k-g

так как Г = 0 и (l + к)0 = I. Поскольку в соответствии с моделью переменного роста У=У+ У легко заметить, что при Т = 0 У= DJk - g . Данная формула соответствует модели постоянного роста.

18.4.4 Двухэтапные и трехэтапные модели

Инвесторы также применяют две модели дисконтирования дивиденда, получившие названия двухэтапной и трехэтапной моделей5. Двухэтапная модель предполагает, что до некоторого момента времени существует одна постоянная ставка роста g , затем устанавливается другая ставка, равная gr Трехэтапная модель предполагает, что одна постоянная ставка g действует до некоторого времени Tv затем начинает действовать вторая ставка до времени Г а после этого действует третья ставка. Обозначая через У. приведенную стоимость дивидендов после того, как стала действовать последняя ставка, а через Ут приведенную стоимость всех остальных предшествующих дивидендов, получим, что обе эти модели являются частными случаями модели переменного роста.

При использовании метода капитализации дохода для оценки обыкновенных акций может оказаться полезным предположение, что когда-то в будущем акции будут

проданы. В этом случае ожидаемые финансовые потоки будут представлять собой дивидендные платежи до указанной даты и цену продажи. Так как дивиденды после даты продажи игнорируются, то применение моделей дисконтирования дивидендов может показаться неадекватным. Однако, как будет показано ниже, это не так.

18.5

Оценка с учетом конечного срока владения

Метод капитализации дохода предполагает дисконтирование всех дивидендов, которые ожидаются в будущем. Так как упрощенные модели нулевого роста, постоянного роста и переменного роста основаны на этом методе, они также учитывают весь будущий поток дивидендов. Таким образом, может показаться, что этот метод может быть использован только теми инвесторами, которые собираются сохранять акции бесконечно долго, так как лишь в этом случае можно ожидать получения всего потока дивидендов.

А если инвестор собирается продать свои акции через год?9 В этом случае денежные поступления, которые инвестор ожидает получить от приобретения акции, равны величине дивидендов за один год, считая от даты покупки (для удобства считаем, что дивиденд выплачивается раз в год), и цене продажи акции через год. Таким образом, представляется разумным вычислить истинную стоимость акции для инвестора посредством дисконтирования этих двух величин с требуемой ставкой доходности по формуле:

l + k \+к

(18.30)

где £>, и Р, - ожидаемый дивиденд и курс продажи акции в момент времени / = 1.

Чтобы воспользоваться равенством (18.30), нужно оценить курс акции в момент времени t = 1. Простейший подход состоит в том, что курс продажи акции будет базироваться на дивидендах, которые ожидаются на эту акцию после даты продажи. То есть предполагаемый курс продажи в момент времени t = 1 равен:

(1+А-)1 (1 + А-)2

(1+А )3

-Е-

-1 (1 + А:)

(18.31)

Подстановка равенства (18.31) вместо Р в правую часть формулы (18.30) дает следующее уравнение:

1 + к

(1+А-)1 о,

(1 + А-)2

(1 + А-)3

(1 + А-)1 (1+А-)2 (1+А-)3 (1+А-)4

1+А-

\ (1+А-)

что полностью совпадает с равенством (18.7). Таким образом, оценка акции путем дисконтирования дивидендов по ней до некоторого момента времени и ожидаемого курса продажи эквивалентно оценке акции путем дисконтирования всех будущих дивидендов. Проще говоря, эквивалентность следует из того, что сам курс продажи основан на последующих дивидендах. Таким образом, равенство (18.7), а также модели нулевого, постоянного и переменного роста, основанные на этом равенстве, являются